1、 龍文教育教務(wù)管理部Q龍文教育龍:文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義 龍文教育教務(wù)管理部教學(xué)內(nèi)容知識(shí)總結(jié)歸納因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式；題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；因式分解的一般步驟是：()通常采用一“提”二“公”三“分”四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次

2、看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；()若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)(添項(xiàng))等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。方法介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：()土土土土)下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：例已知a，b，c是ABC的三邊，且a2+b2+c2，ab+be+ca，則ABC的形狀是()直角三角形等腰三角形等邊三角形等腰直角三角形解：a2+b2+

3、e2，ab+be+can2a2+2b2+2e2，2ab+2be+2ca 龍文教育教務(wù)管理部,(b-c)2,(c-a)2=三、分組分解法分組后能直接提公因式例1分解因式：am,an,bm,bn分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有，后兩項(xiàng)都含有，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式(am+an)+(bm+bn)a(m+n)+b(m+n)每組之間還有公因式！(m+n)(a+b)例、分解因式：2ax-10ay+5by-解法一：第一、二項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。解：原式(2ax

4、-10ay)+(5by-bx)2a(x-5y)一b(x一5y)(x-5y)(2a一b)練習(xí)：分解因式、a2-ab+ac-bbx解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第二、三項(xiàng)為一組。原式(2ax-bx)+(-10ay+5by)x(2a-b)-5y(2a-b)(2a-b)(x-5=)、xy-x-y+1 #龍文教育教務(wù)管理部 #龍文教育教務(wù)管理部分組后能直接運(yùn)用公式例、分解因式：x2-y2,ax,ay分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式(x2一y2),(ax,ay)(x+y)(x-y)+a(x+y)(x+y)(x-y+a)例、分解

5、因式：a2-2ab+b2-c2解：原式(a22ab,b2)c2(ab)2c2(abc)(ab+c)練習(xí)：分解因式3x2x9y23y、2y2z22yz #龍文教育教務(wù)管理部 #龍文教育教務(wù)管理部綜合練習(xí)：()x3+x2y-xy2-y3()x2,6xy，9y216a2,8a1()a42a3+a29()x22xyxz,yz，y2()ax2-bx2+bx-ax+a-b()a2-6ab+12b+9b2-4a()4a2x4a2yb2x,b2y()a22a+b22b+2ab+1 #龍文教育教務(wù)管理部 龍文教育教務(wù)管理部(0(ab)2abc+c)(a一c)+b(b一2a)a3+b3+c3一3abc #龍文教育

6、教務(wù)管理部 #龍文教育教務(wù)管理部四、十字相乘法(一)二次項(xiàng)系數(shù)為的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2(pq)xpq，(xp)(xq)進(jìn)彳丁分解。特點(diǎn)：()二次項(xiàng)系數(shù)是；()常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；()一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。例、分解因式：x2-7x6解：原式x2(一1)(一6)x(一1)(一6)(x一1)(x一6)x34x一5(2-10 x一24練習(xí)、分解因式x)14x24a2-15a36練習(xí)、分解因式x2x一2(2-2y一15(二)二次項(xiàng)系數(shù)不為的二次三項(xiàng)式ax2bxc條件：()()()分解結(jié)果:a，aaa(c121JXc，cca(f(c1222b，acacb，acac12211221ax2b

7、xc(axc)(axc)1122例、分解因式：3x2-11x10分析：x(解:3x211x10(x2)(3x5)練習(xí)、分解因式：()5x27x6()3x2一7x2()10 x2-17x3()一6y211y10二次項(xiàng)系數(shù)為的齊次多項(xiàng)式例、分解因式：a2-8ab-128b2中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 龍文教育教務(wù)管理部分析Mb看成常數(shù)，把原多項(xiàng):看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。解:a28ab128b2a2+8b+(16b)a+8bx(16b)(a,8b)(a16b)練習(xí)、分解因式x)一3xy+2y2m2一6mn,8n2a2一ab一6

8、b2（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為的齊次多項(xiàng)式例82x2一7xy+6y2X把xy例9x2y2-3xy+2看作一個(gè)整體I/”解：原式（x一2y）（2x一3y）練習(xí)、分解因式：（）15x2+7xy-4y2解：原式(xy-1)(xy-2)()a2x2一6ax,8中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龍文教育教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龍文教育教務(wù)管理部綜合練習(xí)（）8x67x3-1()(x+y)2一3(x+y)一10()12x2一11xy一15y2()(a+b)2一4a一4b+3中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(

9、a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龍文教育教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龍文教育教務(wù)管理部()5(a+b)2+23(a2b2)10(ab)2(012(x+y)2+11(x2一y2)+2(x一y)2()x2y2一5x2y一6x2()x2+4xy+4y2一2x一4y一3()4x2一4xy一6x+3y+y2一10m2一4mn,4n2一3m,6n,2中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龍文教育教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 龍文

10、教育教務(wù)管理部思考：分解因式：abcx2+(a2b2+c2)x+abc五、換元法。例、分解因式()2005x2(200521)x2005()(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2解：()設(shè)a,則原式ax2(a21)x-a(ax,1)(x-a)(2005x,1)(x2005)()型如abcd+e的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2設(shè)x2,5x,6=A，貝Ix2,7x,6=A,2x原式(A+2x)A+x2A2,2Ax,x2(A,=)2(x2+6x+6)2練習(xí)、分解因式()(x2+xy+y2)2一4xy(x2+y2)()(x2+3x+

11、2)(4x2+8x+3)+90中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家，（X1）（X2）2 龍文教育教務(wù)管理部Q龍文教育中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家(x31)(x6x31x311) 龍文教育教務(wù)管理部教師1對(duì)1例、分解因式()2x4x36x2x2觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于x的降幕排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式x2(2x2一x一6一一)x2b(x2)一(x)-6xx2x2設(shè)x+丄t，則x2t22,xx22(t22)t6x2212t10 x2(215)C2)(x1)2(2x1)(x2)解：原式x2(x2

12、一4x1+)xx2設(shè)x丄y，貝Ix2y2xx2原式x2(y2一4y3)x2(y1)(y3)11(x2(x_一1)(x3)xx練習(xí)、()6x47x3一36x2一7x+6()x42x3x212(xx2)x2x1六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例、分解因式()x33x24解法拆項(xiàng)。，原式x313x23添項(xiàng)。解法原式x3一3x2一4x4x4中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家，（X1）（X2）2 #龍文教育教務(wù)管理部Q龍文教育中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家(x31)(x6x31x311) #龍文教育教務(wù)管理部(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)(x2x13x3)x(x1)(x一4)4(x1)x(x23x4)(4x4)

13、(x1)(x24x4)中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家，（X1）（X2）2 #龍文教育教務(wù)管理部Q龍文教育中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家(x31)(x6x31x311) #龍文教育教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家，（X1）（X2）2 龍文教育教務(wù)管理部Q龍文教育中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家(x31)(x6x31x311) #龍文教育教務(wù)管理部(x1)(x24x4)(x1)(x2)2(x1)(x2)2x9x6x3一3解：原式(x91)(x61)(x31)(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x31)2x33）練習(xí)、分解因式（）x3一9x+8（）（Xl）4（X2一l）2（X一l）4（）X4一7X21（）X

14、4y4（xy）4（4x4x22ax1一a2（）2a2b22a2c22b2c2一a4一b4一c4因式分解思想升級(jí)通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例分解因式X5x4X3x2x1分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把x5x4X3和一x2X1分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把X5X4，x3X2，X-1分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式,（X5-X4X3）-（X2-X1），X3（X2一X1）一（X2一X1），（X3一1）（X2一X1），（X一1）（X2一X1）（X2X1）解二：原式（X5-X4）（X3-X2）（X-1）

15、，X4（X1）X2（X1）（X1），（X1）（X4X21），（X1）（X42X21）X2，（X一1）（X2一X1）（X2X1）通過變形達(dá)到分解的目的例分解因式X33x24解一：將3x2拆成2x2X2，則有原式，X32x2（x2-4），X2（X2）（X2）（x2），（X2）（x2X2）中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家 龍文教育教務(wù)管理部Q龍文教育中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家(x31)(x6x31x311) #龍文教育教務(wù)管理部解二：將常數(shù)4拆成13原式=X31,(3x23)=(x1)(x2,x,1),(x1)(3x,3)=(x1)(x2,4x,4)=(x1)(x,2)2在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式(x24)(x210 x,21),100的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：(x24)(x210 x,21),100=(x,2)(x2)(x3)(x7),100=(x,2)(x7)(x2)(x3),100=(x25x14)(x25x,6),100設(shè)y=x2-5x則原式=(y14)(y,6),100=y28y,16=(y4)2無論y取何值都有(y4)20(x24)(x210 x,21),100