1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué) 第五章 一元微分學(xué)的應(yīng)用腳本編寫：王利平教案制作：王利平 高 等 數(shù) 學(xué) A（1）一、曲線的凹凸性、拐點二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第二講 曲線的凹凸性、 函數(shù)圖形的描繪我們說一個函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù)所對應(yīng)的曲線的圖形嗎? !. 一、曲線的凹凸性、拐點 在區(qū)間 I 上 :曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方時, 稱之為凸的;曲線弧段位于相應(yīng)的弦線下方時, 稱之為凹的.凸凹成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凸的 ;成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凹的 .定義成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凸的 ;成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凹的 ;1.

2、曲線凹凸性的定義及其判別法例1分析有何體會？能不能根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號來判別函數(shù)所對應(yīng)的曲線的凸凹性呢？以上過程實際上證明了下面的判別曲線凹凸性的一個方法.定理在運用該定理時要注意：但僅在個別孤立點處等于零 , 則定理仍然成立 .該函數(shù)的圖形 請自己繪出. 例2解例3解只是使的孤立點,不是曲線凹凸性的分界點.例3解連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度分界點 , 稱為曲線的拐點.2. 曲線拐點的定義及判別法定理( 判別拐點的必要條件 )證稱為曲線的拐點可疑點 .定理( 判別拐點的充分條件 )根據(jù)拐點的定義立即可證明該定理 . 拐點拐點例4解例5解例6解例7 函數(shù)的凹凸性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的

3、二階導(dǎo)數(shù)有關(guān).你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?畫畫圖就能搞清楚.若動點 P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點時, 動點 P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x ) 的一條漸近線 . 二、曲線的漸近線定義曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線水平漸近線這里的極限可以是垂直漸近線想想： 怎么求 a ,b ?這里的極限過程可以是以上的極限實際是 斜漸近線 曲線可以穿過其漸近線 .例8解例9解曲線無水平漸近線(函數(shù)間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解所以, 該曲線無水平漸近線和垂直漸近線 .例11解現(xiàn)在給定一個函數(shù) , 我們可以討論它的：定義域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 連續(xù)性、 間斷點、 可微性、單調(diào)性、 極 值、 最 值、 凹凸性、拐 點、 漸近線、 零點位置 .用極限討論函數(shù)的變化趨勢 .用泰勒公式將函數(shù)離散化 .作函數(shù)圖形的一般步驟如下：(1) 確定函數(shù)的定義域 , 觀察奇偶性、周期性 .(2) 求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù) , (3) 列表 , 確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點 .(4) 求曲線的漸近線 .(5