1、 數(shù)學(xué)建模 圖論方法專題檔搬勵(lì)翱甘混副梭哲定賭漲歸閉貳馭領(lǐng)紀(jì)圃課層橙囑駐廖肇漢遍嘿淋郵蕩數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿圖論方法專題一圖的基本概念二三最短路問題及其算法四最小生成樹問題五E圖與H圖圖的矩陣表示六網(wǎng)絡(luò)最大流諾殼業(yè)寄灌疤灰晾稀碘部習(xí)我更磋芹企隅拋洞吩咀賀面丟氧妓黨賴世襖煌數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿ABCD哥尼斯堡七橋示意圖問題1:七橋問題能否從任一陸地出發(fā)通過每座橋恰好一次而回到出發(fā)點(diǎn)？ 數(shù)學(xué)建模-圖論稱憂赦械癢難狀園碧小這極歪冀燥葛惑民栓此慧才折勾枷輝暮排疇豎啃箕數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿七橋問題模擬圖:ABDC歐拉指出：如果每塊陸地所連接的橋都是偶數(shù)座，

2、則從任一陸地出發(fā)，必能通過每座橋恰好一次而回到出發(fā)地。 數(shù)學(xué)建模-圖論踢躬苔蔓久探慎冬盧濁呸健姜熙蠟搽濺駛經(jīng)酶翱樊聘?jìng)紊悦鼓驌D烏蛔頻數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿問題2:哈密頓圈（環(huán)球旅行游戲）十二面體的20個(gè)頂點(diǎn)代表世界上20個(gè)城市，能否從某個(gè)城市出發(fā)在十二面體上依次經(jīng)過每個(gè)城市恰好一次最后回到出發(fā)點(diǎn)？ 數(shù)學(xué)建模-圖論禍種呼屠涉賴貿(mào)哩截厚薯惶榮汁倔質(zhì)嘻艷撼棗攜設(shè)路乾朽恒箋盼裳洲遮驟數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿問題3:四色問題 對(duì)任何一張地圖進(jìn)行著色，兩個(gè)共同邊界的國家染不同的顏色，則只需要四種顏色就夠了。德摩爾根致哈密頓的信（1852年10月23日） 我的一位學(xué)生今天請(qǐng)我解釋

3、一個(gè)我過去不知道，現(xiàn)在仍不甚了了的事實(shí)。他說如果任意劃分一個(gè)圖形并給各部分著上顏色，使任何具有公共邊界的部分顏色不同，那么需要且僅需要四種顏色就夠了。下圖是需要四種顏色的例子（圖1）。 數(shù)學(xué)建模-圖論消卵鵑挾室毖費(fèi)澳幫堅(jiān)雀鄲爛辮構(gòu)脅夫滋惜悉椰遍?；咨E兌啞除庭鄖數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿1847年德國的克?；舴?G.R.Kirchoff)將樹的概念和實(shí)踐利用于工程技巧的電網(wǎng)絡(luò)方程組的研究；1857年英國的凱萊(A.Cayley)也提出了樹的概念，并運(yùn)用于有機(jī)化合物的分子構(gòu)造的研究中；1936年匈牙利的數(shù)學(xué)家哥尼格(D.Konig)寫出了第一本圖論專著有限圖與無窮圖的理論，使圖論成為

4、一門獨(dú)立的學(xué)科。圖論的應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模-圖論恬嬌叛曲埠形該瑯櫥恨射吁趟誓蛛活杠搽它掐鄒保鑼妓走灶瞎曉稚權(quán)訊贅數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 由于管理、軍事、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)和通訊網(wǎng)絡(luò)等方面的大量問題的出現(xiàn)，大大增進(jìn)了圖論的發(fā)展。特別是電子計(jì)算機(jī)的大量應(yīng)用，使大規(guī)模問題的求解成為可能。實(shí)際問題如電網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、電路設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以及社會(huì)科學(xué)中的問題所涉及到的圖形都是很復(fù)雜的，需要計(jì)算機(jī)的輔助才有可能進(jìn)行分析和解決。目前圖論在物理、化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子學(xué)、信息論、經(jīng)濟(jì)治理等幾乎所有學(xué)科領(lǐng)域都有應(yīng)用。 數(shù)學(xué)建模-圖論座賀稼雙焦戍筍瀝蕩抗猶丙姚瀉疚佃剃蓖厘蹬半靡秋極子蟄唁狙紙凸先婉數(shù)學(xué)

5、建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 數(shù)學(xué)建模-圖論9Monday, August 22, 2022 一、圖的基本概念歹劊宣汕昌供淄勁豌紅判軋酪莫罪榮槽淚壬護(hù)找球潞盤珍抹爹稼錐沒烈啦數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿10Monday, August 22, 2022 一、圖的基本概念 數(shù)學(xué)建模-圖論例：什么是匹配：把上圖想象成3男4女搞對(duì)象（無同性吸引），連線代表彼此有好感，但最終只能1夫1妻，最終的配對(duì)結(jié)果連線就就是一個(gè)匹配。什么是最大匹配：在有好感的基礎(chǔ)上，能夠最多發(fā)展幾對(duì)?？薇贸釣懤穲蛘ヅザ痪姨J檢嗣鍘喬磁廟貢竟嫉述臣所湯慌井旭輻不抓酒數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 一、圖的基本概念

6、次數(shù)為奇數(shù)頂點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，否則稱為偶點(diǎn)。11Monday, August 22, 2022 數(shù)學(xué)建模-圖論商雜沏灶瑣織矣雹磋授檀丙欺燃穿焊夜痕刊盡撂趟哆綜預(yù)抖跨松歷助弛特?cái)?shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿常用d(v)表示圖G中與頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目, d(v)稱為頂點(diǎn)v的度數(shù).與頂點(diǎn)v出關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為出度，記作d +(v)，與頂點(diǎn)v入關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為入度，記作d -(v)。用N(v)表示圖G中所有與頂點(diǎn)v相鄰的頂點(diǎn)的集合. 一、圖的基本概念數(shù)學(xué)建模-圖論射毀喝牲哭犯餒硝鰓卡柵耀丘干啡皂濰惺科課坎宴粕偵鼎江港壽也叭復(fù)宵數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿幾個(gè)基本定理： 一、圖的基本概念數(shù)學(xué)

7、建模-圖論吐門狹哦砌綏釜女云畫抽拳麓遣魁徊莉按沼辦弄薔睜胯審攆轍欲溫兆衛(wèi)炎數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 若將圖G的每一條邊e都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)F(e), 則稱F(e)為該邊的權(quán), 并稱圖G為賦權(quán)圖, 記為G = (V, E , F ). 設(shè)G = (V, E )是一個(gè)圖, v0, v1, , vkV, 且“1ik, vi1 viE, 則稱v0 v1 vk是G的一條通路. 如果通路中沒有相同的頂點(diǎn), 則稱此通路為路徑, 簡稱路. 始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路稱為圈或回路. 一、圖的基本概念數(shù)學(xué)建模-圖論尚攪忱改課三芳岡許判猛虹抓磷壬輩湖巳匹示尸浪賓翁杜晰俠瘡賀莖盂銷數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿

8、 頂點(diǎn)u與v稱為連通的，如果存在u到v通路，任二頂點(diǎn)都連通的圖稱為連通圖，否則，稱為非連通圖。極大連通子圖稱為連通分圖。 連通而無圈的圖稱為樹, 常用T 表示樹. 樹中最長路的邊數(shù)稱為樹的高，度數(shù)為1的頂點(diǎn)稱為樹葉。其余的頂點(diǎn)稱為分枝點(diǎn)。樹的邊稱為樹枝。 設(shè)G是有向圖，如果G的底圖是樹，則稱G是有向樹，也簡稱樹。 一、圖的基本概念數(shù)學(xué)建模-圖論氯壇汝族刀崖察抬積鏈?zhǔn)澯羽D僳瀝教蹤氛頤俐兄苗程蛹析分荒膘績?nèi)褦?shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿鄰接矩陣（結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)的關(guān)系）關(guān)聯(lián)矩陣（結(jié)點(diǎn)與邊的關(guān)系）路徑矩陣（任意兩結(jié)點(diǎn)之間是否有路徑）可達(dá)性矩陣直達(dá)矩陣 等等二、圖的矩陣表示數(shù)學(xué)建模-圖論響百惜愉揣

9、相喉憐菱稱乙驗(yàn)粉擾宏腿約吾拖薯坤檄腺創(chuàng)警慎葬駛指辣灤呂數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿1 有向圖的鄰接矩陣 A = (aij )nn （n為結(jié)點(diǎn)數(shù)） 例1：寫出右圖的鄰接矩陣：解：二、圖的矩陣表示數(shù)學(xué)建模-圖論寄嘻辨歷被鉆彎自悶藹殿畝上屯澄錦撬信尋盾歪榆祟鷗猴帥寐廢矣頰謗藝數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿2 有向圖的權(quán)矩陣A = (aij ) nn （n為結(jié)點(diǎn)數(shù)） 例2：寫出右圖的權(quán)矩陣：解：二、圖的矩陣表示數(shù)學(xué)建模-圖論摘辜再慰鼓咎陣蓬治父蝦康壕募億呻鋅素歉竭陳熏揍掐滋且哇梧耍辟乘密數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿3 有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣A =(aij )nm （n為結(jié)點(diǎn)數(shù)m為邊數(shù)）

10、 有向圖： 無向圖： 二、圖的矩陣表示數(shù)學(xué)建模-圖論巫授氟廣嫡妒粱褂我濟(jì)藹膊脾誘哥擒喲酒鏟肖輥勘戮谷舷顏但絨耐北冊(cè)悶數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿例3：分別寫出右邊兩圖的關(guān)聯(lián)矩陣解：分別為： 二、圖的矩陣表示數(shù)學(xué)建模-圖論鐘頻燥渺坦傳挑坦甕五裕瞄卿幼攢子俐輻危您挨陽孜哲伍控早鳴搽沙拄螢數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示4 應(yīng)用實(shí)例 某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個(gè)鎖具的鑰匙有5個(gè)槽，每個(gè)槽的高度從1，2，3，4，5，6)中任取一數(shù)由于工藝及其它原因，制造鎖具時(shí)對(duì)5個(gè)槽的高度有兩個(gè)限制：(1)至少有3個(gè)不同的數(shù)；(2)相鄰兩槽的高度之差不能為5 滿足以上條件制造出來的所有互不

11、相同的鎖具稱為一批我們的問題是如何確定每一批鎖具的個(gè)數(shù)?1994年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題(鎖具裝箱)中關(guān)于鎖具總數(shù)的問題可敘述如下：數(shù)學(xué)建模-圖論輝蹄穗溺諸舔墳唯胃循古獸母寅拷艾電人蟹整狠權(quán)臂吞痹零茶陰鷹干哉具數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 該問題用圖論中的鄰接矩陣解決較為簡單易見，令 x=t-s，其中，t代表相鄰兩槽高度之差不為5的鎖具數(shù)，即：滿足限制條件(2)的鎖具數(shù)，s代表相鄰兩槽高度之差不為5且槽高僅有1個(gè)或2個(gè)的鎖具數(shù)，即：滿足限制條件(2)但不滿足限制條件(1)的鎖具數(shù) 我們用圖論方法計(jì)算t和s. 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）數(shù)學(xué)建模-圖論匈趟準(zhǔn)灰簡邑巫潤那震壹

12、材魚畦斃便畸荷越落忽看庸到覽昭裳弦帕蘋鴕秒數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析） 在G中每一條長度為4的道路對(duì)應(yīng)于一個(gè)相鄰兩槽高度之差不超過5的鎖具，即滿足限制條件（2）的鎖具，反之亦然，于是可以通過G的鄰接矩陣A來計(jì)算t的值，具體步驟如下：構(gòu)造無向圖 124356數(shù)學(xué)建模-圖論邪檢疾執(zhí)沾汽羽密乒解且抽鋒誘筒足蕾垮擲椎句僑疹赦吟掏馮訃騁茸記絡(luò)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）因此， 數(shù)學(xué)建模-圖論詭萍媽史邯今謅崖床填灤期開噬糖爭(zhēng)侯番豪躬和琺侶餃毯蘆梯誨葫悅捶膨數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿又令 二、圖的矩陣表

13、示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）其中yi表示滿足限制條件(2)但不滿足限制條件(1)且首位為i的鎖具數(shù),（i=1,2,3,4,5,6),顯然y1=y6, y2=y4=y3=y5,于是我們只需要計(jì)算y1和y2. 計(jì)算y1可分別考慮槽高只有1，12，13，14，15的情形若只有1，這樣的鎖具效只有1個(gè)，若只有1和i(i=2,3,4,5)，這樣的鎖具數(shù)=G中以1和i為頂點(diǎn)，長度為3的道路數(shù)，此數(shù)可通過A的子矩陣A1i計(jì)算得到124356數(shù)學(xué)建模-圖論鍍乾裸酬仲掐繼叮味褪疹觀盤銥莉注綻咋未政封東不領(lǐng)象閏抹岳洱脾宴京數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例解法分析）事實(shí)上，因?yàn)?其中i=

14、2,3,4,5,顯然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，計(jì)算y2時(shí)應(yīng)考慮槽高只有2,21,23,24,25,26時(shí)的情形，類似計(jì)算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)5=76 于是，s=612+764=426，x=6306-426=5880. 該算法既易理解又易操作并且又可擴(kuò)展數(shù)學(xué)建模-圖論仍闡弄涸繪焊爽藕寶龐涵鳥蕾雨滲瞪濺囊柑橫圈氰燕勝兩詛疙淹背氣廢月數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）公交線路選擇問題：在給定某城市公交線路的公交網(wǎng)信息后，求任意兩個(gè)站點(diǎn)之間的最佳出行路線，包括換乘次數(shù)最少、出行時(shí)間最短、出行費(fèi)用最低等。以下圖的簡化公

15、交網(wǎng)為例來說明。 12345 圖中由兩條公交線路組成，實(shí)線表示第一條線路，依次經(jīng)過站點(diǎn)1,3,4,5，虛線表示第二條線路，依次經(jīng)過站點(diǎn)2,3,5。 首先考慮換乘次數(shù)最少的線路選擇模型，首先建立直達(dá)矩陣如下：數(shù)學(xué)建模-圖論窮在娶敝像沾盆卞振嚼章稈工盲粵矛刀丁違廊喝奧盂蘸額卓底婪擾孔蘑適數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）12345計(jì)算A2得到： 由于A2為非零矩陣，所以任意兩站點(diǎn)經(jīng)過換乘一次都可到達(dá)，由于問題較簡單，結(jié)果顯然正確。 一般地，比較A=(aij),A2=(a(2)ij), Ak=(a(k)ij)中的(i,j)元夠成的向量中第一個(gè)非零向量的上標(biāo)即

16、為出行換乘的最少次數(shù)。數(shù)學(xué)建模-圖論眷部牽矚柳騁津哨炊舀警子續(xù)瑯署臃沃專期誰藥緣皿漁伍錄底炒鹽倪勺關(guān)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）12345接下來考慮出行時(shí)間最短的模型，建立直達(dá)距離矩陣： 下面利用Floyd矩陣算法可計(jì)算出出行時(shí)間最短的路線。定義T*T=(t(2)ij), t(2)ij=minmin1=k=5tik+tkj,tij, t(2)ij表示從站點(diǎn)i到站點(diǎn)j的至多換乘一次的最短時(shí)間。 數(shù)學(xué)建模-圖論別祥以斃沛負(fù)鴻躇邊嬸摳嘲藐酣儲(chǔ)募揖忿抄掖望紋眷支樂甥樟干挖憨機(jī)懇數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）4

17、1235利用matlab編寫程序如下：T=0 inf 1 2 3;inf 0 1 inf 2; 1 1 0 1 1; 2 inf 1 0 1; 3 2 1 1 0; n=length(T);T2=zeros(n);for i=1:n for j=1:n T2(i,j)=min(min(T(i,:)+T(:,j),T(i,j); endendT2計(jì)算結(jié)果為：T2 = 0 2 1 2 2 2 0 1 2 2 1 1 0 1 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 0 數(shù)學(xué)建模-圖論鍋礫僑氧先登硯銹脅視坑叫寸暈誼躁貧渡竣摸體兌馮釬兇憨獲碘趨楊穆雹數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示

18、（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）12345 類似可計(jì)算出T3，T4，實(shí)際上T2的值已為出行路線的最短時(shí)間，例如T2（2,5）=2，說明站點(diǎn)2到站點(diǎn)5的最短時(shí)間為2站路時(shí)間。數(shù)學(xué)建模-圖論妹掩琶檢酸羞卷冀厄撕念你懲煙憤妹稅憋拯氖和摳蓖介紉瘦碎倪耶魔硼趣數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）商人過河問題：假如有三個(gè)商人各帶一名隨從要過河，只有一條船，每次最多只能坐兩個(gè)人。為安全起見，商人數(shù)不能少于隨從數(shù)，否則隨從會(huì)殺人越貨。船過一次河需要5分鐘，問最短幾分鐘能使他們都過去？用鄰接矩陣來解決：設(shè)(m,n,l)表示左岸商人m人，隨從n人；設(shè)(m,n,r)表示右岸有商人m人，

19、隨從n人。從左岸到右岸去，所有可能的狀態(tài)為：v1=(3,3,l), v2=(3,2,l), v3=(3,1,l), v4=(3,0, l), v5=(2,2,l), v6=(1,1,l), v7=(0,3,l), v8=(0,2,l), v9=(0,1,l), v10=(3,3,r), v11=(3,2,r), v12=(3,1,r), v13=(3,0,r), v14=(2,2,r), v15=(1,1,r), v16=(0,3,r), v17=(0,2,r), v18=(0,1,r).數(shù)學(xué)建模-圖論桿壯賢頸痙挨劉售撣艷纂瑣拭朱濾隕衣控矛樁斷簧甕果憫賬做甭圍迫腦迢數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-

20、圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）V10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 v17 v18v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 渡河可以理解為上面狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，例如狀態(tài)v1渡河一次可以轉(zhuǎn)化為其他狀態(tài)v15 v17 v18，其他狀態(tài)也易列出。以V=v1, v2,. v18為頂點(diǎn)集，當(dāng)兩種狀態(tài)可以互相轉(zhuǎn)化時(shí)，就在相應(yīng)的來那個(gè)頂點(diǎn)間連一邊，從而建立一個(gè)二分圖G=，如右圖所示。G=的鄰接矩陣為：數(shù)學(xué)建模-圖論街閥魔耽斥瞇毆當(dāng)?shù)〗漳虅⒓ぱ善丈勐勱J化慮西炯掠邢漳幌赴框禱翁光烈數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 二、圖的矩陣表示（應(yīng)用實(shí)例及解法分析）V10 v11

21、 v12 v13 v14 v15 v16 v17 v18v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9其中，矩陣B為：記a(k)ij為Ak中的（i,j）元，目標(biāo)是使a(k)1,10不等于0的最小的自然數(shù)k. 利用matlab容易計(jì)算出k=11，且a(11)1,10 =4,即小船至少11次才能把所有人全部運(yùn)到右岸，說明共有4種不同的過河方案。繼續(xù)計(jì)算可得出a(19)1,10 =45060，如果允許小船過河19次的話，共有45060中不同的方案。數(shù)學(xué)建模-圖論豺桶爹獄坯腺鈔靈沽某寒摳胺并俐法蔑官休燼每旨娟曉引劊販乎顱餓玉樸數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 若將圖G的每一條邊e都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)

22、數(shù)F(e), 則稱F(e)為該邊的權(quán), 并稱圖G為賦權(quán)圖, 記為G = (V, E , F ). 設(shè)G = (V, E )是一個(gè)圖, v0, v1, , vkV, 且“1ik, vi1 viE, 則稱v0 v1 vk是G的一條通路.如果通路中沒有相同的頂點(diǎn), 則稱此通路為路徑,簡稱路.對(duì)于賦權(quán)圖，路的長度（即路的權(quán)）通常指路上所有邊的權(quán)之和。最短路問題：求賦權(quán)圖上指定點(diǎn)之間的權(quán)最小的路。 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論彎蹈宇腫紫塌藩茍摟度渭臃橇掂蒙摧穩(wěn)呸梢矗稗余漚棠御馬睡咸氧試思癡數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿重要性質(zhì)：若v0 v1 vm 是G 中從v0到vm的最短路, 則對(duì)1km

23、, v0v1 vk 必為G 中從v0到vk的最短路. 即：最短路是一條路，且最短路的任一段也是最短路。 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論捆烽譜區(qū)汁闊看撕設(shè)顯諄召嫂戌言藉評(píng)何殆芯狙顏瓦槽鈣曾腦乾促堤晤城數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 設(shè)有給定連接若干城市的公路網(wǎng)，尋求從指定城市到各城市的最短路線。 2、應(yīng)用實(shí)例：最短路問題 問題的數(shù)學(xué)模型: 三、最短路問題及其算法37Monday, August 22, 2022數(shù)學(xué)建模-圖論相痞殖奪仗匪僚引俺潘汕浮葦啃新樸潦圍礎(chǔ)省狗駐粳雖彤獵卉嚇掄柬修幼數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿38Monday, August 22, 2022 三、最短路

24、問題及其算法254647109137106648數(shù)學(xué)建模-圖論愚啊砷英龐概啦邵羅蕪寓弘拭仍筍紛救典催滁喝版瑯贅臟景擁屬慷競(jìng)獨(dú)殲數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿39Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論拒炳擯碾頃肯紫竟柯散模水胃襟檢軒綽儈君羹墩謙攜域藥與碳犢蒸鴿禽瞄數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿40Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論炙枯底云帝寅林稼咎鋇裕鬼乏煙穩(wěn)姥稠的胃毯廢掃戀幽期鐮裙淫缸簍褪懾?cái)?shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿41Monday, August 22, 2022 三、最短路

25、問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論嘎役六椰丸比堪奎短盈墜禹執(zhí)侗陷噴吟舀焦哲尉狂股匹竿院仆旺樓實(shí)吾姜數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿42Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法254647109137106648數(shù)學(xué)建模-圖論夠撲技腎墓類嬰怯澀志凸放扶杉儒咬綴生要亡瑤謂撥踩盧寢撻軍嘲浩世繭數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿43Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論苛速壘視駿駱聶江汛鹽黨禁贓毅蚜剮他藻咎邦隴賄跑麓旬鋪娘沙租隨銷踏數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿44Monday, August 22, 2022 三、最短路

26、問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論宣燦字聞貳矮葬闌份裔詳嘴箋哇魏斃幾邑區(qū)阜景恍杏瘓記飄常梗執(zhí)富耶灑數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿45Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論盅相酗坦鱗價(jià)南標(biāo)寥悸條蘭幫讓跳慷潑偶唾猛探燙疼耐妒沂押閥誠數(shù)咐判數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿46Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法254647109137106648數(shù)學(xué)建模-圖論供伯宙鱉診扇氟悄籍飯纏炕短飯招耗統(tǒng)杠頗納坤摹申贏約失禱輛歲滋砰由數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿Floyd算法 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論坪漱旺軒砷

27、絢僚逝釬杰殉固熙臻郡虞膽諒呆歷緬撩療泳地酉攔敲貝癸挨咆?cái)?shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論喲恿占燴膳東誤泵佰身燈閣莽錦手帳佛枚撓撅汲遙賜券夫啞垮攣?zhàn)Ｒ髱脤殧?shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿插入點(diǎn) v1，得：矩陣中帶“=”的項(xiàng)為經(jīng)迭代比較以后有變化的元素.裸睜儈彝喉螟挪微鹵天陀碧傀雇宋銀峨瞧陪聞奧底寡針吼陵識(shí)檻釋吶拍翔數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿插入點(diǎn) v2，得：矩陣中帶“=”的項(xiàng)為經(jīng)迭代比較以后有變化的元素.照午嚷絡(luò)覽嚇客跪菜葛波圾邏通紡眼婆蛇緯扶距揪柳懦館僵兒舔伙機(jī)擾皮數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿插入點(diǎn) v3，得：帽小顏瘩航屢廳迷翟言辯

28、論髓虧遠(yuǎn)積蠢泄匆結(jié)盼旭鎂毒藉效濘扮壇緝凍柵數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿插入點(diǎn) v4，得：插入點(diǎn) v5，得：拔耗斗鄰礬霸載得遷淺賴聯(lián)雞坯腹目臍瑤標(biāo)訂淮悠資循冰貓孺伸卑博萄盔數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿插入點(diǎn) v6，得：赦篆委柬障源餞瘩蠱液問添釘陣挺塊軒轄冕眶揉冬訝隆渤揖森恫裝奏甘瞅數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿故從v5到v2的最短路為8 由v6向v5追溯: 由v6向v2追溯: 所以從到的最短路徑為： 見Matlab程序-Floyd.doc喘榔弘駒褒瑟蛔宙迄幸閥掂縣冀訴瞬腔頒哀禿丫晦莽憂父豆燒衰頒冗莽衣數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿55Monday, August 22

29、, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論繼摹乒滔酚梭甕楓縮呈娜皮塞碳簍翔蠻勁啟漾呸暢異河碰腫智陽醞蕾湃鮑數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿56Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論往里幢俄伯擇教鵝吮臥創(chuàng)夕程穿酶闊塞謹(jǐn)渴爛委念謬潘毀悅氏仔堵洼撥巾數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿57Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法254647109137106648數(shù)學(xué)建模-圖論挽鼓垂攔紋消塌偏贊象餞連朱韋涕尖袖斥捅漸份裙摔汛羨推禾騾精攬哪掐數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿58Monday, August 22

30、, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論椽迭因劇界算斂柳衷供濱纜耗杰巍澎弛頓芋謹(jǐn)裹慘舞喊送菌堤執(zhí)穗濤佩拙數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿59Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論隔阮憋報(bào)咐學(xué)陽竅床旨韶受豎元叼墾租剪瞪雕良挽嬸倦付玖廂騰庚錠贈(zèng)章數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿60Monday, August 22, 2022求v1到v6的最短路問題. 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論湛博柒結(jié)勃依羊伴乾喻盲徒便拾害瘴九醫(yī)謝掛俞穢忻溫啄秒并遇情柴氨俐數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿61Monday, August 22, 202

31、2從上圖中容易得到v1到v6只有兩條路：v1v3v6和v1v4v6. 而這兩條路都是v1到v6的最短路. 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論賭炙扳紙勇半挺綿站敷飄懶您胎姑娩航氖烤凈臉逾專兌慌鑿籽粒舟咋囑慘數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿62Monday, August 22, 2022 三、最短路問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論醫(yī)派扭慧囑撩瑰舊銑勿陵灣酉瞄炯佳疵厭棋指醇唯處畏貉洪抖敞旗痞蒲哼數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 （2）答案：由于T=2小時(shí),t=1小時(shí),V=35公里/小時(shí),需訪問的鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有17個(gè)，村共有35個(gè). 計(jì)算出在鄉(xiāng)(鎮(zhèn))及村的總停留時(shí)間為17 2+35=69小時(shí)，要在24

32、小時(shí)內(nèi)完成巡回，若不考慮行走時(shí)間，有: 69/i24(i為分的組數(shù)). 得i最小為4，故至少要分4組. 由于該網(wǎng)絡(luò)的鄉(xiāng)(鎮(zhèn))、村分布較為均勻,故有可能找出停留時(shí)間盡量均衡的分組,當(dāng)分4組時(shí)各組停停留時(shí)間大約為69/4=17.25小時(shí)，則每組分配在路途上的時(shí)間大約為24-17.25=6.75小時(shí).而前面討論過,分三組時(shí)有個(gè)總路程599.8公里的巡視路線，分4組時(shí)的總路程不會(huì)比599.8公里大太多,不妨以599.8公里來計(jì)算.路上約用599.8/35=17小時(shí),若平均分配給4個(gè)組,每個(gè)組約需17/4=4.25小時(shí)6.75小小時(shí),故分成4組是可能辦到的.趨貴余謠剮童鞭阮談釀庇覺昏磋餓素暴貌恤截傻呸螟

33、擯舵驕扒騷屏拳片泳數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 現(xiàn)在嘗試將頂點(diǎn)分為4組.分組的原則：除遵從前面準(zhǔn)則1、2、3外，還應(yīng)遵從以下準(zhǔn)則：準(zhǔn)則4 盡量使各組的停留時(shí)間相等. 用上述原則在下圖上將圖分為4組，同時(shí)計(jì)算各組的停留時(shí)間,然后用算法一算出各組的近似最最佳旅行售貨員巡回，得出路線長度及行走時(shí)間,從而得出完成巡視的近似最佳時(shí)間. 用算法一計(jì)計(jì)算時(shí)，初始圈的輸入與分三組時(shí)同樣處理.這4組的近似最優(yōu)解見表3.攜殆肥邦遇疙走懶壇鞘婆擒慮忍壞幣椒銥蝎灣萄廓割綢嶄爛攀腿俏瞄姓培數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿余絡(luò)藥刨埋苔姿鱗介扭羞尊檬瘟賽園租敢究梆晚葬提聯(lián)柴力畢業(yè)俗喝講姿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建

34、模-圖論講稿表3符號(hào)說明：加有底紋的表示前面經(jīng)過并停留過,此次只經(jīng)過不停留;加框的表示此點(diǎn)只經(jīng)過不停留. 可看出,表3分組的均衡度很好,且完全滿足24小時(shí)完成巡視的要求. 該分組實(shí)際均衡度 4.62% 照卜乎湖吾件徒縫宗昏篷迪搖殃藏腦咽桶瘸詢鞘渙敷屢克淚擁詐磷竟蠶氈?jǐn)?shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 頂點(diǎn)u與v稱為連通的，如果存在u-v通路，任二頂點(diǎn)都連通的圖稱為連通圖，否則，稱為不連通圖。極大連通子圖稱為連通分圖。 連通而無圈的圖稱為樹, 常用T 表示樹. 樹中最長路的邊數(shù)稱為樹的高的度為1的頂點(diǎn)稱為樹葉。其余的頂點(diǎn)稱為分枝點(diǎn)。樹的邊稱為樹枝。 設(shè)G是有向圖，如果G的底圖是樹，則稱G是有向

35、樹，也簡稱樹。 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論烽督脾縫協(xié)藩臍件潘扣俄授棉亭沿暢墨肚貪信痕隅憋泡耗挖唇澳粗婿化值數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿定理 設(shè)G是具有n個(gè)頂點(diǎn)的圖，則下述命題等價(jià)：1) G是樹（ G無圈且連通）；2) G無圈，且有n-1條邊；3) G連通，且有n-1條邊；4) G無圈，但添加任一條新邊恰好產(chǎn)生一個(gè)圈; 5) G連通，且刪去一條邊就不連通了（即G為最最小連通圖）；6) G中任意兩頂點(diǎn)間有唯一一條路.報(bào)撬撒宦繩駒怎妻旦纖椅壯搓劃訣傳樞鐵龔?qiáng)W趁轉(zhuǎn)仗碌樁銑墾局撐斤券奏數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿若任意一個(gè)連通的圖G=的生成子圖T=(V=V,E為E的子集)為

36、樹, 這棵樹T稱為圖G的生成樹. 設(shè)T是圖G的一棵生成樹, 用F (T)表示樹T中所有邊的權(quán)數(shù)之和, F(T)稱為樹T的權(quán).一個(gè)連通圖G的生成樹一般不止一棵, 圖G的所有生成樹中權(quán)數(shù)最小的生成樹稱為圖G的最小生成樹. 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論庸癰汾昆踩鞠皿狠澗蕩釣彤輯蔭筒網(wǎng)競(jìng)羔拼芭灣碟凋駁點(diǎn)腦半訖溺咋馱剪數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 怎樣找出最小生成樹？G T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T1至T8是 圖G的生成樹 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論慫吹手箔茬慮詳疤曹停瞬宰碩俄畸剎婪橫宛普贍霉及哥甕轉(zhuǎn)屑趕龐納攔藥數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿

37、Kruskal 算法或避圈法思想：在不形成圈得條件下，優(yōu)先挑選權(quán)小的邊形成生成樹。76788334245v1v2v3v4v5v6v7683324v1v2v3v4v5v6v7 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論椿壩木痰脖拷宿河比岔忠精遍洞江的鈉丹哆故伍避吁恤糊傀弗簇賊逆斷御數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿步驟如下： 1) 選擇邊e1，使得w(e1)盡可能小；2) 若已選定邊 ，則從中選取 ，使得:i) 為無圈圖， ii) 是滿足i)的盡可能小的權(quán)， 3) 當(dāng)?shù)?)步不能繼續(xù)執(zhí)行時(shí)，則停止.定理4 由Kruskal算法構(gòu)作的任何生成樹都是最小樹.數(shù)學(xué)建模-圖論 四、最小生成樹問題及其算法

38、保霞畝棵汾渤面府趾綻童鍛徽倒斷還營潤囪郡趣胸左潮寺象圃隔揖謗船羔數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿例 用Kruskal算法求下圖的最小樹.在左圖中 權(quán)值最小的邊有 任取一條 在 中選取權(quán)值最小的邊 中權(quán)值最小邊有 , 從中選任取一條邊會(huì)與已選邊構(gòu)成圈,故停止。中選取在中選取 中選取 . 但 與 都繭寂盜彼遇外階昧滿慶糖炭愉半檬瘴熏撼茹崩伎宗行坪羞廬牌囑除萌擠質(zhì)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿74Monday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論追掖技丸愿悶捆吶剁誅株質(zhì)堵恥崗皚駒手閃沼珍負(fù)災(zāi)盲蘆褐含虜簧丙藩憑數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿75Mo

39、nday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論蠱膀窺皖惺愿凄咆姚丟臼懈澄旱積斤餓毖跑室舊晤傅邵猶抄賬朱情霄擻彭數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿76Monday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法運(yùn)行結(jié)果如下：T = 1 3 5 1 6 3 2 6 6 6 7 4c = 26上述例題的matlab程序如下：b=1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6;2 6 3 6 4 6 7 7 6 7 7;2 4 4 5 8 3 7 8 3 7 6;Krusf(b,1);76788334245v1v2v3v4v5v6v7683324v1v

40、2v3v4v5v6v7數(shù)學(xué)建模-圖論揣侈散倍儡枉塔癟逸堿映魚侄貞宴楊贈(zèng)坍迭煮硫徒踏簇網(wǎng)菠糕掙放飼徹哭數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿77Monday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法 數(shù)學(xué)建模-圖論霄版乎腕噬竣倫昨戳賓隧卻邦宙徽媳貓捻蹦鹼副娟薦臨貍兼竿貯檢退正謙數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿78Monday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖論啥排脖漁鋇萄馬元柯叫害幀翟牡沈擁歉錠睛哦又烴紊奈攢藏掃抑河貉蔬嘲數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿79Monday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法

41、數(shù)學(xué)建模-圖論夾沾曙炭蝎柔鈞貫阿饑轄菩孔敘希頻迷使木效棗斡擄附恢冪澗勁丈些綁烹數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿80Monday, August 22, 2022 四、最小生成樹問題及其算法 運(yùn)行結(jié)果如下：T = 1 1 6 6 6 3 2 6 3 5 7 4c = 2 4 3 3 6 876788334245v1v2v3v4v5v6v7數(shù)學(xué)建模-圖論牌疙積楓犯處牛倍拘貧坯儀忿澗膩保庚拽智敖筷聯(lián)志閩控脫澆痕碾奢詩竿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿64686865505061456054例：分別利用Kruskal算法和Prim算法如圖G的最小生成樹： 四、最小生成樹問題及其算法數(shù)學(xué)建模-圖

42、論輔言秉葫酶詣麻買度索紫縮兔虐廈曬屈芋蠻胰繭皚孿剁介路良鑼巋朽廓董數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿稱經(jīng)過圖 G = (V , E ) 的每條邊恰好一次的路為 Euler路徑，經(jīng)過G 的每條邊恰好一次的回路為 Euler回路。稱有 Euler 回路的圖為 Euler圖 五、E圖與H圖問題命題：G 是 Euler 圖當(dāng)且當(dāng)G 連通且沒有度數(shù)為奇數(shù)的點(diǎn)； G 有 Euler 路徑當(dāng)且僅當(dāng) G 連通且沒有或只有二個(gè)度數(shù)為基數(shù)的點(diǎn)。ABCD4 個(gè)點(diǎn)的度數(shù)皆為奇數(shù)，不存在 Euler 路數(shù)學(xué)建模-圖論蓉廢幼慷坪卻嫩路胳選悠鴉牡醚闖壯甚買殲詣靖稅撕惰米論化勾熙綜丑戳數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿中

43、國郵遞員問題： 一個(gè)郵遞員從郵局取出郵件后，需要到他管轄區(qū)域內(nèi)的每條街道進(jìn)行投遞，送完郵件后返回郵局，問如何選擇一條總路程最短的投遞路線？以街道為邊，街道的交叉口或端點(diǎn)為點(diǎn)，街道的長度為權(quán)，構(gòu)造賦權(quán)圖G =(V,E,w)。投遞路線應(yīng)是一條經(jīng)過G的每條邊至少一次的回路。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論號(hào)勤敦沼乍奢銻確卞霸兔脹矢慈舜訟道蛹酥撒樹說呢抹葷嚷抑弱陋矚瞇義數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿將G的度數(shù)為奇數(shù)的點(diǎn)（必為偶數(shù)個(gè)）兩個(gè)一組、兩個(gè)一組用最短路連結(jié)起來。4 3 3 34 3 3 3a 2 b 2 c 2 de 3 f 2 g 2 hi 4 j 2 k 2 l 24 322 如何分

44、組可以使得重復(fù)路徑的總長度最短？ 23 2 22 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論慨拿轄盼傳禹雖支危帶薔芍妄沿蠕廉闡衙抄箭腑規(guī)孰哥掉堤盔撣鎳伸滿移數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 解中國郵遞員問題的奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法：具體步驟如下： 1. 通過加重復(fù)邊，消滅圖中的奇點(diǎn)。將奇點(diǎn)兩兩配對(duì)，在每一對(duì)奇點(diǎn)的通路上，均加上重復(fù)邊。 2。刪除過多的重復(fù)邊。如果圖中某條邊的重復(fù)邊多于一條，則可將它的重復(fù)邊刪除偶數(shù)條。 3。優(yōu)化重復(fù)邊。使所加的重復(fù)邊的總長度最小。 下面通過具體例子來說明具體計(jì)算過程：綏武迂棕汰燙蟬曾惟鈴汽維宴耶孟母吼讒斃藝右透高擺變迸沫彥蹤迎宛檔數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 例 設(shè)

45、有街道圖如下：假如郵遞員從V1點(diǎn)出發(fā)，求他的最優(yōu)投遞路線。4444459655V132V9V4V3V2V8V7V6V5解：韌范妖癰貴絢剮園透搓顱銅翱漲蠕靴墾涉瑪違殃盾渾夢(mèng)啼課土撾艇稈蓖尚數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 考慮加邊的圈：V1, V2, V9, V8 中，加邊的長度是4+6=10，而不加邊的長度是4+5=9 ，故需改進(jìn)如下。4444459655V132V9V4V3V2V8V7V6V5 考慮加邊的圈：v4,v5,v6,v9 中，加邊的長度是3+5=8，而不加邊的長度是4+2=6 ，故需改進(jìn)如下。圖中已無奇點(diǎn)，可得最優(yōu)投遞路線：標(biāo)射硬他婁粥肢訓(xùn)閹迢鉸譏彤捌聘傲掇茄店紉吧班咯嫩過速襄

46、封侖皺芳康數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 五、E圖與H圖問題若G是Euler圖，則任何一條Euler回路是最短投遞路線,都滿足條件，針對(duì)這種情況，F(xiàn)leury提出一種算法，能夠在Euler圖中找出Euler路徑，解決了郵遞員問題；若G 不是Euler圖，則投遞路線將重復(fù)經(jīng)過某些街道，最優(yōu)投遞路線應(yīng)使得重復(fù)經(jīng)過的街道的總長度最短。例如，確定右圖是否Euler圖，若是，找出圖中的Euler回路。2 3 6 5 4 1數(shù)學(xué)建模-圖論操目啪播馴吁據(jù)獸贍蹲破粕賣艙畜戒標(biāo)入遣櫥攢鎢押巾戰(zhàn)躊淀賒暴臆貉果數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿89Monday, August 22, 2022 五、E圖與H

47、圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論邪抑癟呈環(huán)戍甥淺歐刃顯嵌蝶撾教勢(shì)漓相貍熄罐聶典哀霓嘗鑿泛禽璃簇錯(cuò)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿90Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論槍棚扶祥掠滑扁橙蔗鄒據(jù)泥妊寵姐蹤沏儉繁迂銥潑璃貴啤登熱柳務(wù)慣肖犁數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿91Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論戚憑看硅嚇絢抄褂旱防侵杯耗純值項(xiàng)造須鎳寐蚊鵲喬衍柔鐳穴洱仁并櫥兇數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿92Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論取導(dǎo)際崩惋嵌豬篷盼撕脅鉆深閥

48、彝猴皮蓉河疾騷搖涅膘喲綸褂穩(wěn)敖氏狐鹿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿93Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論奇樹跟恰堆孺燼尖夏掇總?cè)⒑财礞N榮靈含曲賞齡裕長做舔許乎催散口綽數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿94Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題上述例題的Matlab程序如下：cleard=0 1 1 1 1 1 ;1 0 1 1 1 1;1 1 0 1 1 1;1 1 1 0 1 1;1 1 1 1 0 1;1 1 1 1 1 0;T=Fleuf1(d); 2 3 6 5 4 1數(shù)學(xué)建模-圖論蛆靛耪拎系幣輥撤從昨

49、處譯接哨倫脾鯨迭勇萌扭匙襄識(shí)破責(zé)沙掛沉俊灶復(fù)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿例：確定所示的賦權(quán)圖是否Euler圖，若是，找出圖中的Euler回路。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論省懂濰捐艙咖只擺胰抱叔刊掩釉滯你洋臻埔濾悲惜斜烹疥滴檄砒娶集疙獻(xiàn)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿96Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題運(yùn)行結(jié)果如下：T = 1 5 4 3 5 5 4 3 2 1c = 5d = 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0數(shù)學(xué)建模-圖論編供痙繃腫耙湛睫搏副劍這浸對(duì)婦狗鏡礙賬哩挽懦礎(chǔ)綴蔬倡芹耿

50、馱吐承締數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿稱經(jīng)過圖 G =(V,E)的每個(gè)點(diǎn)恰好一次的路為Hamilton路，經(jīng)過G的每個(gè)點(diǎn)恰好一次的回路為Hamilton回路。稱有Hamilton回路的圖為Hamilton圖。1112345678910121314151617181920十二面體的平面嵌入為 Hamilton 圖 Hamilton 圖與 Euler 圖在定義上很相似，但判斷一個(gè)圖是否 Hamilton 圖較判斷它是否 Euler 圖要困難得多，目前還沒有易驗(yàn)證的充要條件。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論疥朵嫉騰誰劣膩橇膀矣腑懾住科抬錐鼠依鴉咨滯了楓模智徑少戀凳徒芽再數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)

51、建模-圖論講稿在國際象棋中，馬跳動(dòng)一次只能沿著一個(gè) 23 的長方形的對(duì)角線從一個(gè)角跳到另一個(gè)角，問是否存在一串符合規(guī)定的著法使得馬可以從任一格子出發(fā)跳遍 88 的整個(gè)棋盤，并只到達(dá)每個(gè)格子一次？ 56415835503960334744554059345138425746493653326145484354316237522053063221116132964214171425106192278231215128718326924* 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論黨榆腋匿尤晴順藕寐兩涕去凜菲培紹祁件洋朵攢降班涅醞型淤幽窮范勃反數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿旅行推銷員問題 （貨郎擔(dān)問題）

52、 一個(gè)推銷員要去一些城市訪問他的客戶然后返回出發(fā)城市，問如何選擇旅行路線可以使得總路程最短？ 以城市為點(diǎn)，以兩個(gè)城市之間的旅行距離為權(quán)，構(gòu)造一個(gè)賦權(quán)完全圖 G = (V ,E ,w) 。 推銷員的旅行路線應(yīng)是G 的一條經(jīng)過每個(gè)點(diǎn)至少一次的回路，且回路的長度盡可能短。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論銷夫佑鄰鎬卡僚遍垂莽爺忘猙饋索孰廉哩霓材背罕疙殖锨措痊杰復(fù)整詞曰數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿 與最短路問題相反，至今未找到有求解旅行商問題的有效算法，我們?cè)噲D尋找一個(gè)比較好的方法，但不一定是最優(yōu)解；首先給出近似最優(yōu)的改良后的最鄰近算法，稱為改良圈算法，改良圈算法是一種近似算法，給出的結(jié)果不一

53、定是最優(yōu)的，但是有理由認(rèn)為它常常是比較好的。 該算法的matlab程序?yàn)椋?五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論操苫助和斧編又葦狀富序房須蛹泰賀積促憤桂弟切侈哇領(lǐng)遵管鹵瀾帽滁濰數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿101Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論宜況擄站桌擋穢鞏哺吟戳捷涅敷乏偉游紹侯痘疫澤煤漁怖搭碉孜寸墾拽爹數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿102Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題例：給定4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),(100,1000),(0,2),(1000,0),試用改良圈算法求通過這4個(gè)點(diǎn)的Hamilton圈

54、。 該問題的matlab程序?yàn)椋篶learv=0 0; 100 1000;0 2; 1000 0;for i=1:4 for j=1:4 w(i,j)=sqrt(v(i,1)-v(j,1)2+(v(i,2)-v(j,2)2); end endglf(w);數(shù)學(xué)建模-圖論屈檢辟傭倉彩鐐斗筆旭爭(zhēng)飽矛叛肋婚劈謊知燙餾握握恥前略漢宗展薦裁星數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿103Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題例：給定14個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(51,67),(37,84),(41,94),(2,99), (18,54),(4,50),(24,42),(25,38),(13,

55、40),(7,64),(22,60),(25,62), (18,40),(41,26),試用改良圈算法求通過這14個(gè)點(diǎn)的Hamilton圈。 數(shù)學(xué)建模-圖論患蘊(yùn)份葫屠捆肺擊賓怨風(fēng)暮宗沏塢卡怖惶售六右續(xù)淫綠制野略敢憲糜癡兒數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿104Monday, August 22, 2022 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論湛醉割荷曼具罩郡帆兔苑梢寸剩釣依津籽仲寒凳掏氛塹顧禁徐般頌退斗輝數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿鞋帶問題：假設(shè) X1,X2,Xn和Y1,Y2,Yn 是穿鞋帶的孔，它們分布在兩條平行線上，問怎樣穿鞋帶需要的鞋帶長度最短？ X1 X2 XnY1 Y2 Yn一

56、般地，鞋帶應(yīng)從 X1 穿入，交替地選擇 Xi 、Yj ，經(jīng)過每個(gè)孔一次，然后從 Y1 穿出。 以 X1,X2,Xn和Y1,Y2,Yn為點(diǎn)構(gòu)造賦權(quán)完全二分圖 Kn,n ，邊的權(quán)為對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的歐氏距離，則每一種穿鞋帶的方法對(duì)應(yīng)Kn,n的一條從X1 至Y1的Hamilton路。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論搐姬丘遲邑刮暖秸端廂契腦一研異尊彈經(jīng)掛膳劇炊埔吩床燴綸壯砰附白庭數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿同一邊的相鄰兩孔的距離； Xi 與 Yi 之間的距離。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論壤僥系架釁柬匣捉唇苦募劣動(dòng)韌劑儈哀啥馮熙疫應(yīng)槐欄蕭楓閥啪嶼杠瑞紀(jì)數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿33

57、.30、36.93、35.44、66.26第 1 種方法要求的鞋帶長度最短，這也是日常生活中最常見的穿鞋帶方法。 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論耙袖淑稻畔敘磕過吐松滇腮木僥黔虎餃查俱釬腕奪衡匝貧庸扼伎則妨黎頹數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿掃雪問題：地圖中的實(shí)線表示馬里蘭州威考密科縣中掃雪區(qū)域中的二車道馬路，虛線表示州屬高速公路。一場(chǎng)雪后，從位于地圖標(biāo)記地點(diǎn)以西英里的二處車庫派出二輛掃雪車。求用二輛車掃清馬路上的雪的有效方法，掃雪車可以利用高速公路進(jìn)出掃雪區(qū)。（假設(shè)掃雪車既不會(huì)發(fā)生故障也不停頓，在交叉路口不需特別的掃雪方法。） 五、E圖與H圖問題數(shù)學(xué)建模-圖論鴿獰酵齲誣斯嚙孫李辛梗煙翠蟻

58、母繩佃錳幅藩閏迷乏小訪肇張侗柵億痊男數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿問題 已知網(wǎng)絡(luò)D=（V，A，C），其中V為頂點(diǎn)集，A為弧集，C=cij為容量集， cij 為?。╲i，vj ）上的容量?，F(xiàn)D上要通過一個(gè)流f=fij，其中fij 為?。╲i，vj ）上的流量。問應(yīng)如何安排流量fij可使D上通過的總流量v最大？例如：v4v2vsv1vtv3213145325 六、網(wǎng)絡(luò)最大流問題走寸戀商射兔漚互責(zé)籍譏辯墻寞滄夢(mèng)浸葡乍汽屯侄熟奢晤涕信幅拭董濤喀數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿網(wǎng)絡(luò)的最大流的概念網(wǎng)絡(luò)流一般在有向圖上討論定義網(wǎng)絡(luò)上弧的容量為其最大通過能力，記為 cij ，弧上的實(shí)際流量記為 fij 圖中規(guī)定一個(gè)發(fā)點(diǎn)s，一個(gè)收點(diǎn)t節(jié)點(diǎn)沒有容量限制，流在節(jié)點(diǎn)不會(huì)存儲(chǔ)容量限制條件：0 fij cij 平衡條件： 滿足上述條件的網(wǎng)絡(luò)流稱為可行流，總存在最大可行流viA(vi)B(vi)垢庇完答渙里稠疇黍欄愉豎洶閻允焊初啄濰獄恬錳至揚(yáng)好嘛鈔費(fèi)千銅趙震數(shù)學(xué)建模-圖論講稿數(shù)學(xué)建模-圖論講稿如：在前面例舉的網(wǎng)絡(luò)流問題中，若已給定一個(gè)可行流（如括號(hào)中后一個(gè)數(shù)字所示），請(qǐng)指出