1、4，一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編(難題易錯(cuò)題)1解下列方程：X2-3x=1.12(y+2)2-6=0.【答案】x二出13,x二鼻13；(2)y=2+2再,y=2-2勇122212【解析】試題分析：(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接開方法解即可；試題解析：解：(1)將原方程化為一般式，得x2-3x-1=0，tb2-4ac=130.K2X1TOC o 1-5 h z3+7133-屈x二,x二1222(y+2)2=12,或-f-.,-y2+2：3,y22空3122.已知關(guān)于x的方程X2-(2k+1)x+k2+1=0.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；若方程的兩根恰好是一個(gè)矩形

2、兩鄰邊的長(zhǎng)，且k=2,求該矩形的對(duì)角線L的長(zhǎng).【答案】(1)k4；(2)；15.【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2(2k+1)x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出0,再解不等式即可；當(dāng)k=2時(shí)，原方程x2-5x+5=0，設(shè)方程的兩根是m、n,則矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是m、n,利用根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=5,mn=5,則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為Jm2+n2,利用完全平方公式進(jìn)行變形即可求得答案.【詳解】(1)t方程x2(2k1)xk21=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,=(+1)24x1x(k2+1)=4k30,k3；當(dāng)k=2時(shí)，原方程為X25x+5=0,設(shè)方程的兩個(gè)根為m，n，m+n=5,mn=5,矩形的對(duì)

3、角線長(zhǎng)為:pm2+n2=(m+n1一2mn=：15.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、矩形的性質(zhì)等，一元二次方程根的情況與判別式厶的關(guān)系：(1)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)0,.0，.對(duì)任意實(shí)數(shù)m,方程總有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；解：T方程的一個(gè)根是2,4-14+12-m2=0,解得m=_原方程為x2-7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值為一二，方程的另一個(gè)根是5.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一兀二次方程根的判別式,熟練掌握一兀二次方程的根的判別式與根的關(guān)系是關(guān)鍵.當(dāng)厶=b2-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)厶=b2-4ac=0

4、時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)厶=b2-4ac0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.將m看作已知量，分別寫出當(dāng)0 xm時(shí)，-與二之間的函數(shù)關(guān)系式;(問題)如圖，在axbxc(長(zhǎng)x寬x高，其中a,b,c為正整數(shù))個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是多少？探究)探究一：(1)如圖，在2x1x1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上共有1+2二字=3條線段,棱AC,AD上分別只有1條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為3x1x1=3.一-3x4如圖，在3x1x1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上共有1+2+3=廠=6條線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為6x1x1=6.依此類推，如圖，在ax1x1個(gè)小立

5、方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上共有a(a+1)1+2+.+a=線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為2探究二：a(a+1)如圖，在ax2x1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上有一-條線段，棱AC2x3上有1+2=3條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為a(a+1)3a(a+1)x3x1=一22a(a+1)(5)如圖，在ax3x1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上有一-一條線段，棱AC3x4上有1+2+3=6條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為(6)依此類推，如圖，在axbx1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為探究三：(7)如圖，在以axbx2個(gè)

6、小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上有a(a+1)_2條線段,AC上有b(b+1)22x3條線段，棱AD上有1+2=3條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為3a(a+1)b(b+1)3ab(a+1)(b+1)xx3=224(8)如圖，在axbx3個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，棱AB上有+1)條線段,棱AC上有b(b+1)2條線段，棱AD上有1+2+3=3x42=6條線段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為(結(jié)論)如圖，在axbxc個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為應(yīng)用)在2x3x4個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為拓展)如果在若干個(gè)小立方塊組成的正方體中共有1000個(gè)長(zhǎng)方體，那么組成這個(gè)正方體的小立方塊的個(gè)數(shù)是多

7、少？請(qǐng)通過計(jì)算說明你的結(jié)論a(a+1)【答案】探究一：(3)；探究二：23ab(a+1)(b+1)探究三：(8)；【結(jié)論】2ab(a+1)(b+1)(5)3a(a+1)；(6)4abc(a+1)(b+1)(c+1)；【應(yīng)用】：180；【拓展】：組成這個(gè)正方體的小立方塊的個(gè)數(shù)是64，見解析.【解析】【分析】根據(jù)規(guī)律，求出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù)，即可得出結(jié)論;根據(jù)規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數(shù)，即可得出結(jié)論;根據(jù)規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數(shù)，即可得出結(jié)論;(8)根據(jù)規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數(shù)，即可得出結(jié)論;8即可得出結(jié)論；即可得出結(jié)論(結(jié)論)根據(jù)規(guī)律，求

8、出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù)，即可得出結(jié)論;(應(yīng)用)a=2,b=3,c=4代入(結(jié)論)中得出的結(jié)果，(拓展)根據(jù)(結(jié)論)中得出的結(jié)果，建立方程求解【詳解】棱AC，AD上分別只有1條線段，a(a+1)解：探究一、(3)棱AB上共有線段,-a(a+1)a(a+1)則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為x1x1=-故答案為氣-探究二：(5)棱AB上有a條線段，棱AC上有6條線段，棱AD上只有1條線2段，則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為塵衛(wèi)x6xl=3a(a+1),2故答案為3a(a+1)；a(a+1)b(b+1)(6)棱AB上有條線段，棱AC上有條線段，棱AD上只有1條線段,-a(a+1)b(b+1)ab(a+1)(b+1)

9、則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為xx1=-ab(a+1)(b+1)故答案為探究三：(8)棱AB上有叢型-條線段，棱AC上有b(；+1)條線段，棱AD上有6條2a(a+1)則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為-23ab(a+1)(b+1)故答案為線段，b(b+1)3ab(a+l)(b+1)TOC o 1-5 h zxx6=2a(a+1)b(b+1)c(c+1)(結(jié)論)棱AB上有一-一條線段，棱AC上有一-一條線段，棱AD上有一-一條線厶厶厶段，a(a+1)b(b+1)c(c+1)abc(a+1)(b+1)(c+1)則圖中長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為xx=-abc(a+1)(b+1)(c+1)8(應(yīng)用)由(結(jié)論)知，abc(a+1)(b+

10、1)(c+】)故答案為在2x3x4個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為2x3x4x（2+l）x（3+l）x（4+1）=180,8故答案為為180；拓展：設(shè)正方體的每條棱上都有x個(gè)小立方體，即a=b=c=x,由題意得X3（X+1）3=1000,8x（x+1）3=203，x（x+1）=20，X=4,x2=-5（不合題意，舍去）4x4x4=64所以組成這個(gè)正方體的小立方塊的個(gè)數(shù)是64【點(diǎn)睛】解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知得出規(guī)律,題目較好,但有一定的難度,是一道比較容易出錯(cuò)的題目工人師傅用一塊長(zhǎng)為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，需要將四角各裁掉一個(gè)正方形.（厚度不計(jì)）求長(zhǎng)方體底

11、面面積為12dm2時(shí)，裁掉的正方形邊長(zhǎng)【解析】試題分析：設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm，則制作無蓋的長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為（10-2x）dm,寬為（6-2x）dm,根據(jù)長(zhǎng)方體底面面積為12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形邊長(zhǎng).試題解析：設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm,由題意可得（10-2x）（6-2x）=12,即X2-8x+12=0,解得x=2或x=6（舍去），答：裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm，底面積為12dm2.某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元.假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同.(1)求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率

12、；(2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本【答案】(1)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；(2)預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元【解析】【分析】設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為X,根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本x(1-下降率)，即可得出結(jié)論【詳解】設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x,根據(jù)題意得：400(1-x)2=361,解得：X=0.05=5%,x2=1.95(不合題意，舍去).答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；361x(1-5%)=342.95(萬元),答：預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.

13、95萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程；(2)根據(jù)數(shù)量關(guān)系,列式計(jì)算.8已知：關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m2-2=0.4若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求沒m的最小整數(shù)值；1若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x，x，且滿足x2+xx=18丁m2-x2，求m的值.1211242【答案】(1)-4；(2)m=3【解析】【分析】利用根的判別式的意義得到，然后解不等式得到m的范圍，再在此范圍內(nèi)找出最小整數(shù)值即可；1利用根與系數(shù)的關(guān)系得到現(xiàn)+x2=-(m+1)，xx=丁m2-2，然后解關(guān)于m的一12124元二次方程，即可確定m的值.【詳解】解：(1

14、)Tx2+(m+1)x+m2-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，41A=(m+1)2一4xlx(m2一2)0，42m+90，9m一一；2，m的最小整數(shù)值為：m=-4；1由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-(m+1)，x1x2=4m2-2,1由x2+x2+xx=18一一m2得:12124_(m+)2-(1I。1m2一2=18一一m214丿二m2+2m一15=0,解得：m=3或m=一5；2m=3.【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若X,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的兩根時(shí)，則bcx+x=-一，xx=.也考查了根的判別式.解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系12a12a和根的判別式.9.已知：關(guān)于

15、x的方程x24mx+4m21=0.不解方程，判斷方程的根的情況；若厶ABC為等腰三角形，BC=5,另外兩條邊是方程的根，求此三角形的周長(zhǎng).2【答案】(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)周長(zhǎng)為13或17【解析】試題分析：(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出厶=40,由此可得出：無論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及0,可得出5是方程X2-4mx+4m2-1=0的根，將x=5代入原方程可求出m值，通過解方程可得出方程的解，在利用三角形的周長(zhǎng)公式即可求出結(jié)論.試題解析：解：(1)T=(-4m)2-4(4m2-1)=40，無論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)v0，ABC為等腰三角形，另外兩條邊是方程的根，5是方程X2-4mx+4m2-1=0的根.將x=5代入原方程，得：25-20m+4m2-1=0，解得：m1=2，m2=3.當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x2-8x+15=0，解得：x1=3，x2=5.v3、5、5能夠組成三角形，.該三角形的周長(zhǎng)為3+5+5=13；當(dāng)m=3時(shí)，原方程為X2-12x+35=0，解得：x1=5，x2=7.v5、5、7能夠組成三角形，二該三角形的周長(zhǎng)為5+5+7=17.綜上所述：