1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 例說(shuō)用二次函數(shù)的學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題 湖北省建始縣景陽(yáng)鎮(zhèn)清江中學(xué) 劉代榮 用二次函數(shù)的學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題是近幾年中考熱點(diǎn)題型, 它以現(xiàn)實(shí)生活中人們熟識(shí)的問(wèn) 題為背景, 具有猛烈的時(shí)代氣息,貼近同學(xué)的生活實(shí)際, 備受命題者青睞 本文通過(guò)舉例來(lái) 說(shuō)明用二次函數(shù)的學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題常常見的幾種類型,供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考 一,解決與“最大利潤(rùn)”相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 解決這類問(wèn)題一般先求二次函數(shù)的解析式, 然后將二次函數(shù)寫成頂點(diǎn)式的形式, 最終用 二次函數(shù)的極值學(xué)問(wèn)解決 涉及主要學(xué)問(wèn)： 二次函數(shù) y ax 2 bxc a0,當(dāng) x b2a 時(shí) , 取得最值為 y 4ac b 2 4a 例 （ 202

2、2 年貴陽(yáng)市）某賓館客房部有 60 個(gè)房間供游客居住,當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為 每天 200 元時(shí),房間可以住滿當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加 10 元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空 閑對(duì)有游客入住的房間,賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出 設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加 x 元求： 20 元的各種費(fèi)用 （ 1）房間每天的入住量 y （間）關(guān)于 x （元）的函數(shù)關(guān)系式 （ 2）該賓館每天的房間收費(fèi) z （元）關(guān)于 x （元）的函數(shù)關(guān)系式 （ 3）該賓館客房部每天的利潤(rùn) w（元）關(guān)于 x （元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個(gè)房間的 定價(jià)為每天多少元時(shí), w 有最大值？最大值是多少？ 析解 : （ 1）每個(gè)房間每天的定價(jià)增加 x 元時(shí), 每個(gè)

3、房間每天的定價(jià)就增加 x 個(gè) 10 元, 10 而每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加 10 元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間閑暇,因此每個(gè)房間每天的定價(jià)增 加 x 元時(shí),有 x 個(gè)房間閑暇又房間每天的入住量 =總房間量每天房間閑暇量,所以 10 y 60 x 10 （ 2）由于每天的房間收費(fèi) =每天每個(gè)房間的實(shí)際價(jià)格 每天房間的入住量,所以 x 1 2z x 200 60 x 40 x 12022 10 10 （ 3）該賓館客房部每天的利潤(rùn) =每天的房間收費(fèi)入住房間每天支出的各種費(fèi)用, 因此, x x 1 2 1 2w x 200 60 20 60 x 42x 10800 x 210 15210 10 10 10

4、10 所以,當(dāng) x 210 時(shí),有最大值此時(shí), x 200 410,就是說(shuō),當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每 天 410 元時(shí),有最大值,且最大值是 15210 元 二,解決點(diǎn)是否在“拋物線”上的實(shí)際問(wèn)題 解決這類問(wèn)題一般先求出二次函數(shù)的解析式, 然后將二次函數(shù)中的自變量, 函數(shù)分別用 點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)代換并運(yùn)算,再依據(jù)運(yùn)算結(jié)果判定點(diǎn)是否在圖象上涉及主要學(xué)問(wèn)：如 第 1 頁(yè),共 4 頁(yè)點(diǎn) P（ a,b ）中意 y ax 2學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 bx c 上；反之,就點(diǎn) P 不 bx c ,就點(diǎn) P 在拋物線 y ax 2在拋物線 y ax 2 bx c 上 例（臨沂市, 2022）某學(xué)校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃

5、球競(jìng)賽中,如圖 1 隊(duì)員甲正在投籃,已 知球出手時(shí)離地面 20 m,與籃圈中心的水平距離為 7m,當(dāng)球出手后水平距離為 4m 時(shí)到達(dá)9 最 大高度為 4m,設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線,籃圈距地面 3m 建立如以下圖的平面直角坐標(biāo)系,問(wèn)此球能否精確投中？ 此時(shí)如對(duì)方隊(duì)員乙在甲面前 m 處跳起蓋帽攔截,已知乙的最大摸高為 . ,那么 他能否獲得成功？ y 析解：由題意可知該拋物線的頂點(diǎn)為 E（ 4,4）并且經(jīng)過(guò) D（ 0, 20 9）,因此,可設(shè) a x 424 , 將 x 0, y 20 代入可求出 a 1于是 , y 1x 424999判定此球能否精確投中 , 就是判定籃圈的位置 （ 7,3）是

6、否在拋 物線上 , 而當(dāng) x 7 時(shí) , y 3, 即點(diǎn)（ 7, 3）在該拋物線上故此 球能精確投中 y 乙在甲面前 m 處跳起蓋帽攔截能否獲得成功,就是看球水 平飛行米時(shí)的垂直高度與乙跳起時(shí)的最大高度 3.1 誰(shuí)大誰(shuí)小,如 果前者較小,就攔截能獲得成功,否就攔截不能獲得成功而球水 平飛行米時(shí)的垂直高度就是求當(dāng) x 1 時(shí) , 函數(shù) y 的值此時(shí) y 3 4圖 1 3x ,即球水平飛行米時(shí)的垂直高度小于乙的最大摸高 3.1m , 故乙在甲面前 m 處跳起蓋帽攔截能獲得勝利 三,解決呈“拋物線”型上的點(diǎn)的相對(duì)高度與相對(duì)水平距離的實(shí)際問(wèn)題 解決這類問(wèn)題一般求出二次函數(shù)的解析式, 然后將拋物線上的點(diǎn)

7、的相對(duì)高度與相對(duì)水平 距離轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)的橫坐標(biāo)或求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的問(wèn)題 例 3：（ 2022襄樊市）如圖 2,一名男生推鉛球,鉛球行進(jìn)高度 y （單位： m）與水平距 離 x（單位：m）之間的關(guān)系是 y 12 1x 2 23 x 53就他將鉛球推出的距離是 m 析解：鉛球推出的距離是指原點(diǎn)與鉛球落地點(diǎn) （拋物線與 x 軸的正半 軸的交點(diǎn)）之間的水平距離,即該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的確定值,因此,需求出 此點(diǎn)的坐標(biāo), 而此點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0,于是,求其橫坐標(biāo)就可轉(zhuǎn)化成, 當(dāng) y 0 圖 2 時(shí),求 x 的值,即解方程 1x2 2x 50 的問(wèn)題,此時(shí), x 10 12 33x2 2 舍去 ,故填 10 例 4：（

8、 2022年桂林市） 桂林紅橋位于桃花江上, 該橋的部分橫截面如以下圖,上方可看作是一個(gè)經(jīng)過(guò), 是桂林兩江四湖的一道亮麗的風(fēng)景線, , 三點(diǎn)的拋物線,以橋面的水 平線為軸, 經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)與軸垂直的直線為軸, 建立直角坐標(biāo)系, 已知此橋垂 第 2 頁(yè),共 4 頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 直于橋面的相鄰兩柱之間距離為米 米,米 （） 求經(jīng)過(guò), 三點(diǎn)的拋物線的解析式 . （） 求柱子的高 度. （圖中用線段, ,等表示橋柱） 圖 3 析解：由題意可知該拋物線的頂點(diǎn)為 E（ 0, 1）并且經(jīng)過(guò) F （ -4 , 2）因此,因此, 可設(shè) y ax 2 1 , 將 x 4 , y 2 代入可求出 a 16

9、 1于是 , y 16 1x 2 1 求柱子的高度,就是求點(diǎn) A 的縱坐標(biāo),而此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 8,于是,求其縱坐 標(biāo)就可轉(zhuǎn)化成,當(dāng) x 8 時(shí),求 y 的值的問(wèn)題, 此時(shí), y 5,故柱子的高度為 5 米 練習(xí) ： 1（ 2022 年巴中市）王強(qiáng)在一次高爾夫球的練習(xí)中,在某處擊球,其飛行路線中意拋 物線 y 1 x2 58 x ,其中 x （m）是球的飛行高度, 5y （ m）是球飛出的水平距離,結(jié)果球離球洞的水平距 離仍有 2m （ 1）請(qǐng)寫出拋物線的開口方向, 頂點(diǎn)坐標(biāo), 對(duì)稱軸 （ 2）請(qǐng)求出球飛行的最大水平距離 （ 3）如王強(qiáng)再一次從今處擊球, 要想讓球飛行的最 大高度不變且球剛好進(jìn)洞,就球飛行路線應(yīng)中意怎樣的 拋物線,求出其解析式 圖 4 2 2022 年安徽省 雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演,演員從蹺蹺板右端 A 處彈跳到人梯頂端椅 子 B 處,其身體 看成一點(diǎn) 的路線是 拋物線 y= 3 x 5如圖 . 23x1 的一部分, （ 1）求演員彈跳離地面的最大高 度； （ 2）已知人梯高 BC 米,在 圖 140 元,每星期可 一次表演中,人梯到起跳點(diǎn) A 的水平 . 距離是 4 米,問(wèn)這次表演是否成功？請(qǐng)說(shuō)明理由 3（ 2022 年武漢市） 某商品的進(jìn)價(jià)為每件 30 元,現(xiàn)在的售價(jià)為每件 1 元（售價(jià)每件不能高于 45 元）,那么每 賣出 150 件. 市場(chǎng)調(diào)查反