1、工程電磁場南京航空航天大學 0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結x=0 平面dydzdxdydxdzdydxdzP(x,y,z)0.1 標量場和矢量場1. 坐標系直角坐標系（笛卡爾坐標系）xyz0原點z=0 平面y=0 平面dV=dxdydz0.1 標量場和矢量場2. 標量和標量場標量：僅具有大小特征的量。用一個實數表示，例如：距離L，高度H用兩個實

2、數表示，例如：正弦電壓標量場：標量在空間的分布。例如 電位場：高度場：等值面（線），等位面（線）單位矢量模矢量：不僅具有大小，而且具有方向特征的量。0.1 標量場和矢量場3. 矢量和矢量場矢量場：矢量在空間的分布。例如 電場：例如：電場強度 ，速度矢量線0.1 標量場和矢量場矢量：大?。＃较颍▎挝皇噶浚?. 矢量運算（1） 代數運算加減運算：（平行四邊形法則）乘法運算：（點乘，叉乘） 0.1 標量場和矢量場（2） 積分運算 線積分:定義：若矢量場 的線積分值與積分路徑l 的形狀無關，則稱 為守恒場（或保守場）。0.1 標量場和矢量場 環(huán)量積分: 通量積分:S閉合時，有：物理意義：環(huán)量表示

3、漩渦源的強弱。物理意義：通量表示通量源的強弱。：S 內有源：S 內有匯0.1 標量場和矢量場5. 矢量微分算子標量場的梯度矢量場的散度矢量場的旋度哈密頓算子0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結0.2 標量場的梯度圖1 等高線問：P 點處，三個顏色標注的方向，哪個山勢最陡？P紅色的那條路徑山勢最陡0.2 標量場的梯度設一個標量函數(x,y,z)，若函數 可微，定義：梯度(gradient)哈密頓算子式中物理意義： 標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數; 梯度的方向為該點最大方向導數的方

4、向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數的增加方向. 梯度的大小為該點標量函數 的最大變化率，即該點最大方向導數;0.2 標量場的梯度梯度的計算公式0.2 標量場的梯度例：設一標量函數 描述了空間標量場，試求：(1) 該函數在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；(2) 該函數沿單位矢量 方向的方向導數，并求得該方向導數在點P(1,1,1)處的值。答案：(1)(2)0.2 標量場的梯度課后習題：（1） 和 ；xyz0（2） 。如圖所示， 為空間中源點 與場點 之間的距離，即矢量 的模， ，求：其中，0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0

5、.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結0.3 矢量場的散度 0 (有正源) 0 (有負源) = 0 (無源)圖3 矢量場的通量 通量的物理意義： 如果包圍點P的閉合面S 所圍區(qū)域V 以任意方式縮小為點P 時, 通量與體積之比的極限存在，即:散度(divergence)計算公式物理意義: 矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；散度的概念和物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性：這點有正源這點有負源連續(xù)場，無源場散度和通量源(無源）(正源）(負源） 在矢量場中，若 ，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 ，稱之為無源場。散度的計算公式注意： 散

6、度是一種矢量運算，但結果是一個標量； 通量源的性質只有兩種，對應散度的正負號，散度無需方向信息。例題與習題如果 ，求原點處解：是常數2，與位置無關。課后習題：1. 求點 P(2,3,-1) 處的 ，其中，通量高斯散度定理 高斯散度定理意義： 在三重積分與二重積分之間，建立起了聯(lián)系0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結0.4 矢量場的旋度旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。旋度(curl)在直角坐標系下旋度也可描述成單位面積上的環(huán)流量max以“流速場”為例，利用

7、一個小漿輪作為“旋度計”。如圖所示：流速場1. 流速均勻2. 流速不均旋度的物理意義物理意義： 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。 在矢量場中，若 ,稱之為旋度場(或旋渦場)， 稱為旋度源(或旋渦源)； 若矢量場處處 ，稱之為無旋場（保守場）。旋度的物理意義旋度的計算公式注意： 旋度是一種矢量運算，但結果也是一個矢量； 旋度的方向垂直于矢量線圍成的面，與矢量線的方向滿足右手螺旋法則。例題與習題設在 區(qū)域內 ，其余區(qū)域 ，如圖所示。計算邊長為d，中心位置在 y0 平面上 處的正方形路徑的 值，其中 。xyzdd解1： 當面積趨于0 時，有：其他分量值為0，所以：例題與習題解2： 而課后習題

8、：2. 已知 ，求沿著 到 到 到 再到 的矩形路徑的閉合回路積分 ；作為 的近似，求閉路線積分與該閉路圍成的面積的商；計算該面積中心點的 。斯托克斯旋度定理 斯托克斯旋度定理意義： 在面積分與線積分之間，建立起了聯(lián)系。由散度的定義：有：0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結0.5 亥姆霍茨定理1. 矢量恒等式證明：由斯托克斯定理，有：在矢量場中，任取一有向曲面，做面積分，而，而 是任取的， 0.5 亥姆霍茨定理2. 場的分類無旋場無源場一般場調和場判斷矢量場的類型=0=0=000=00.5

9、 亥姆霍茨定理在有限區(qū)域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。在電磁場中3. 亥姆霍茨定理：已知矢量 的通量源密度矢量 的旋度源密度場域邊界條件矢量 唯一地確定電荷密度 電流密度場域邊界條件唯一地確定了電磁場無源場無旋場0.5 亥姆霍茨定理線性空間，根據矢量的疊加原理： 其中結論： 任意矢量場可描述成無旋場和無源場之和，且無旋場由該矢量場的散度決定，無源場由該矢量場的旋度決定。物理意義：0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結0.6 三種特殊的場1.平行平面場：如果在經過某一軸線(設

10、為 Z 軸)的一族平行平面上，場 的分布都相同，即 ，則稱這個場為平行平面場。2.軸對稱場：如果在經過某一軸線(設為 Z 軸)的一族子午面上，場 的分布都相同，即 ，則稱這個場為軸對稱場。3,球面對稱場：如果在一族同心球面上(設球心在原點)，場 的分布都相同，即 ，則稱這個場為球面對稱場。0 場論0.1 標量場和矢量場0.2 標量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內容總結主要內容1. 矢量場和標量場：d100 V+-0 d /2 d50100間距zv/V電壓v的分布：電場強度 的分布：xyz0+ + + + + + + + + +- -

11、 - - - - - - - - - - - -100V0Vyz0主要內容2. 矢量乘法：點乘叉乘主要內容習題：1. 證明 和 是正交矢量。2. 證明矢量 、 和 是直角三角行的邊，并計算該三角形的面積。作業(yè)：用矢量，求由P(1,1,1)、Q(3,2,5)和S(5,7,9)三點構成的三角形的面積。主要內容直角坐標圓柱坐標球坐標3. 矢量微分算子：主要內容習題：作業(yè)：1. 若 ，求 。 2. 在靜電場，我們定義電場強度 和電位 之間滿足負梯度關系： ，還定義體電荷密度滿足： ，在下列情況下，求 和 ，(1) 圓柱坐標下， ，這里V0和a是常數；(2) 球坐標下， 。 如果電場強度在空間給定，是 ，求： 和 。 無旋場無源場一般場調和場主要內容4. 場的分類參考文獻1 王澤忠，全玉生，盧斌先. 工程電磁場 M.