1、選 修2常用邏輯用語命題及其關(guān)系. 定義：一般地，我們用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題；其中判斷為正確的命題，為真命題；判斷為不正確的命題，為假命題。. 辨析：能夠分辨哪一個(gè)是命題及其真假。判斷一個(gè)語句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假。語句可分為疑問旬、祈使旬、感嘆句與陳述句。一般的，只有陳述句能分辨真假，其他類型的句子無所謂真假，我們把每個(gè)能分辨真假的陳述句作為一個(gè)命題。對于一個(gè)句子，有時(shí)我們可能無法判斷其真假，但對這個(gè)句子卻是有真假的，如：太陽系外存在外星人” ， 對于這個(gè)句子所描述的情形， 目前確定其真假， 但從事物的本質(zhì)而言，句子本身是可以判斷其真假的。這類語

2、句也稱為命題。語句是不是命題，關(guān)鍵在于能不能判斷其真假，也就是判斷其是否成立。不判斷真假的語句，就不能叫命題。X2。.原命題與逆命題即在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件（或題設(shè)）是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做 互逆命題 ；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題 ，那么另一個(gè)叫做原命題的 逆命題 . 否命題與逆否命題即在兩個(gè)命題中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題就叫做 互否命題 ，若把其中一個(gè)命題叫做原命題，則另一個(gè)就叫做原命題的 否命題 . 原命題與逆否命題即在兩個(gè)命題中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)

3、論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題就叫做 互為逆否命題 ，若把其中一個(gè)命題叫做原命題，則另一個(gè)就叫做原命題的 否命題 .四種命題的形式一般到，我們用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的 否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p； 否命題：若p則q; 逆否命題：若q則p.除命題若口則q逆命題否命題司P則rq逆否命題.四種命題的相互關(guān)系一般的，四種命題的真假性，有且僅有以下四種情況：(四種命題的真假性之間的關(guān)系)原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真限真真假限假假假兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆或互否命題，它們的真假性

4、沒有關(guān)系.反證法欲證若p則q”為真命題，從否定其結(jié)論即 羋q”出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而 非q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱為反證法其反證法的步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確1.2充分條件與必要條件.充分條件的定義如果p成立時(shí)，q必然成立，即p q,我們就說，p是q成立的充分條件.（即為使q 成立，只需條件p就夠了）.必要條件的定義如果B成立時(shí)，A必然成立，即q p,我們就說，q是p成立的必要條件.（即為使q 成立，就必須條件p成立）. （1）若p q,且

5、q p,則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 Pq 說明：充要條件是互為的；“促q的充要條件”也說成“四q等價(jià)” p當(dāng)且僅當(dāng)q”等.p q,且q p,則p是q的充要條件；p q,但，p,則p是q的充分而不必要條件； q/p,但p q,則p是q的必要而不充分條件； p/q,且dp,則p是q的既不充分也不必要條件1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞或”與日常生活中的用語 或”的意義不同，在日常生活用語中的 或“帶有不可兼有的意思，而邏輯用語中的 或”可以同時(shí)兼有。對于邏輯用語 或”的理解我們可以借助于集合中 的并集的概念：在A B x|x A或x B中的或是指 x A與X B”中至少有一個(gè) 成立，可以是 x

6、 A且x B”，也可以是x A且x B”，也可以是x A且x B”，邏輯 用語中的 或”與并集中的 或”的含義是一樣的；.對且”的理解，可以聯(lián)想到集合中的交集的概念： 在A B x|x A且x B的且”是指 x A、 x B”都要滿足的意思，即x既要屬于集合A,又要屬于集合B;.對 非”的理解，可以聯(lián)想到集合中的補(bǔ)集的概念：羋”有否定的意思，一個(gè)命題 p經(jīng)過使用邏輯聯(lián)結(jié)詞 非”構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題 非p”，當(dāng)p為真時(shí)，非p為假，當(dāng)p為假時(shí)，非p 為真。若將命題p對應(yīng)集合P ,則命題非p就對應(yīng)著集合P在全集U中的補(bǔ)集CuP ；對于 非的理解，還可以從字意上來理解，非”本身就具有否定的意思，如 “0.

7、9非整數(shù)”是對命題“0.配整數(shù)”進(jìn)行否定而得出的新命題。一般地，寫一個(gè)命題的否定，往往需要對正面敘 述的詞語進(jìn)行否定。.構(gòu)造復(fù)合命題的方式：簡單命題+邏輯連結(jié)詞(或、且、非)+簡單命題5.復(fù)合命題的真假判斷:pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假注意：命題的否定”與 否命題”是兩個(gè)不同的概念：前者只否定結(jié)論，后者結(jié)論與條 件共同否定。1.4全稱量詞與存在量詞.全稱量詞、全稱命題定義:”表示。(常見的全稱短語 所有的“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號量詞還有切每一個(gè)“任給”所宥的”等。)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。如：全稱命題對M中任意一個(gè)x,有p(x)成

8、立可用符號簡記為:簡記為 x M, p(x),讀作 對任意x屬于M,有p(x)成立”。.存在量詞、特稱命題定義：短語 存在一個(gè)”至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號日”表示。(常見的存在量詞還有 宥些”有一個(gè)“對某個(gè)“有的”等。)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。特稱命題 存在M中的一個(gè)x0,使p(x0)成立可用符號簡記為：X。M , P(Xo),讀作存在一個(gè)X0屬于M,使p(x0)成立。.同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法：命題全稱命題一 一飛,、V.V 曰八工)特稱命題T”口 g嬴*)表述方法所有的x怎M? pfx)成立 對一切X舄Mn成立對每一個(gè)而

9、0戌 立任選一個(gè)KWM，QO0成 立凡都有PO0成立存在三M,使成立 至少有個(gè)X。巨彳吏3K)成立對有些XqEJVI. 他成 立對某個(gè)。三FVI, 便口00成 立有一個(gè)*口三M. 便Rix)或 立.全稱命題、特稱命題(含有全稱量詞的命題叫全稱命題，含有存在量詞的命題叫特稱 命題)(1)關(guān)系：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題(2)全稱量詞與存在量詞的否定。關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞都是不都是至少一個(gè)一個(gè)都沒有至多一個(gè)至少兩個(gè)不屬于等于不等于不大于小于不小于不是不都是任意的某個(gè)任息網(wǎng)個(gè)某兩個(gè)所有的某些能不能基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題1下列語句中是命題的是（）A

10、周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？B: sin 450 1C x2 2x 1 0D 梯形是不是平面圖形呢？2 在命題 若拋物線y ax2 bx c的開口向下，則x|ax2 bx c 0 ”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（）A 都真B 都假 C 否命題真 D 逆否命題真113 有下述說法：a b 0是a2 b2的充要條件, a b 0是-的充要條件.a b TOC o 1-5 h z a b 0是a3 b3的充要條件，則其中正確的說法有（）A. 0個(gè)B, 1個(gè) C 2個(gè)D 3個(gè)4下列說法中正確的是（）A. 一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B a b”與“a c b c”不等價(jià)C a

11、2 b2 0 ,則a,b全為0”的逆否命題是 若a,b全不為0,則a2 b2 0”D. 一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真5 若A:a R, a 1, B:x的二次方程x2 （a 1）x a 2 0的一個(gè)根大于零，另一根小于零，則A是B的（）A”充分不必要條件C 充要條件6 已知條件p : x 1 :A”充分不必要條件 BC 充要條件D二、填空題命題：若a b不為WA: x1, x2 是方程 ax2B 必要/、充分條件D 既/、充分也不必要條件2 ,條件q : 5x 6 x2,則p是q的（）必要/、充分條件）既/、充分也不必要條件二 則a,b都不為零”的逆否命題是 bbx c 0（a

12、0）的兩頭數(shù)根；B: Xi x2 -,a則A是B的 條件3用充分、必要、充要”填空：p q為真命題是 p q為真命題的條件；p 為彳貿(mào)命題是 p q 為真命題的條件；A:x 2 3, B:x2 4x 15 0,則 A 是 B 的件命題ax2 2ax 3 0不成立是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a b Z”是攵2 ax b 0有且僅有整數(shù)解”的條件三、解答題1對于下述命題p,寫出“p”形式的命題，并判斷“p”與“p”的真假：p：91 (AI B)(其中全集U N , A x|x是質(zhì)數(shù),B x|x是正奇數(shù))p:有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)；.p:任意正整數(shù)都是質(zhì)數(shù)或合數(shù)；p：三角形有且僅有一個(gè)外接圓.2 已知命

13、題p : 4 x 6,q:x2 2x 1 a2 0(a 0),若非p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍若a2 b2 c2,求證：a, b,c不可能都是奇數(shù)4 求證：關(guān)于x的一元二次不等式ax2ax 10對于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是0 ap”為假，則（）q假 C q真）B 22是實(shí)數(shù)Dx|x是小數(shù)R RD不能判斷q的真假綜合訓(xùn)練B組一、選擇題1若命題p q”為假，且A- p或q為彳貿(mào)B2下列命題中的真命題是A, a/3是有理數(shù)C e是有理數(shù)3有下列四個(gè)命題:若x y 0 ,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; 全等三角形的面積相等”的否命題；若q 1，則x2 2x q 0有實(shí)根”的逆否命題;不等

14、邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等其中真命題為（）A， B 設(shè)a R,則a 1是1 1的（）aA、充分但不必要條件C充要條件命題：若 a2 b2 0（a,b R）,則 a TOC o 1-5 h z A.若 ab0（a, bR）,則a2b2B.若ab0（a,bR）,則a2b2”逆命題；C D B 必要但不充分條件D既不充分也不必要條件b 0”的逆否命題是（）00C.若 a0,且b0(a,bR),則 a2b20D.若a0,或b0(a,bR),則 a2b206 若a,b R,使a b 1成立的一個(gè)充分不必要條件是()A a b 1 B, a 1 C a 0.5，且 b 0.5 D b 1二、填空題1有下列四個(gè)

15、命題：、命題若xy 1,則x, y互為倒數(shù)”的逆命題；、命題 面積相等的三角形全等”的否命題；、命題若m 1,則x2 2x m 0有實(shí)根”的逆否命題；、命題若AI B B,則A B”的逆否命題.其中是真命題的是 (填上你認(rèn)為正確的命題的序號):2已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則s是q的件,r是q的 條件，p是s的 條件，怛ABC中，若 C 900,則 A, B都是銳角”的否命題為;已知、是不同的兩個(gè)平面，直線a ，直線b ，命題p: a與b無公共點(diǎn)；命題q: /則p是q的 條件若攵2,5或x x|x 1或x 4 ”是假命題，則x的范圍是三、解答題1判斷下列命題

16、的真假：(1)已知 a,b,c,d R,若a c,或b d,則a b c d.x N,x3 x2(3)若m 1,則方程x2 2x m 0無實(shí)數(shù)根(4)存在一個(gè)三角形沒有外接圓2 已知命題p:x2 x 6,q:x Z且p且q ”與非q ”同時(shí)為假命題，求x的值.3已知方程x2 (2k 1)x k2 0,求使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件，4 已知下列三個(gè)方程：x2 4ax 4a 3 0,x2 (a 1)x a2 0,x2 2ax 2a 0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.提高練習(xí)C組一、選擇題1有下列命題：2004年10月1日是國慶節(jié)，又是中秋節(jié)；10的倍數(shù)一定是5的倍數(shù);梯形不是

17、矩形；方程x2 1的解x 1 其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有()A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè)2 設(shè)原命題：若a b 2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1,則原命題與其逆命題的真假情況是( )A 原命題真，逆命題假B 原命題假，逆命題真C 原命題與逆命題均為真命題D 原命題與逆命題均為假命題，,“1”，3 在 ABC 中，A 30 是 sin A 的()2A,充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D既不充分也不必要條件4 一次函數(shù)y mx 1的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、三、四象限的必要但不充分條件是()n nA. m 1,且 n 1 B mn 0 Cm 0,且 n 0 D m 0,且 n 05設(shè)集合M

18、x|x 2 ,Px|x 3，那么 x M，或 x P”是 x M I P”的（A,必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件6 命題p:若a,b R,則a b 1是a b 1的充分而不必要條件；命題q:函數(shù)y J|x 1|2的定義域是1 U 3, 則（）A，“p或q”為假B“p且q”為真C p真q假D p假q真二、填空題1命題 若4ABC不是等腰三角形，則它的任何兩個(gè)內(nèi)角不相等 ”的逆否命題2 用充分、必要條件填空： x 1,且y 2是x y 3的x 1,或y 2是x y 3的3下列四個(gè)命題中k 1 ”是 函數(shù)y cos2 kx sin2 kx的最小正周期為 ”的充要條件；

19、a 3”是直線ax 2y 3a 0與直線3x (a 1)y a 7相互垂直”的充要條件;J 4函數(shù)y的最小值為2x2 3其中假命題的為 L將你認(rèn)為是假命題的序號都填上)4 已知 ab 0 ,貝U a b 1 是 a3 b3 ab a2 b2 0 的件.5若關(guān)于x的方程x2 2(a 1)x 2a 6 0 有一正一負(fù)兩實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范三、解答題1寫出下列命題的“p”命題：(1)正方形的四邊相等.(2)平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0(3)若ABC是銳角三角形， 則ABC的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角(4)若abc 0,則a,b, c中至少有一個(gè)為0(5)若(x 1)(x 2) 0,則x 1且x 22 已知

20、p:1 x31| 2; q:x2 2x 1 m2 0(m 0)若p是q的必要非充分條件，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.13 設(shè) 0 a,b,c 1,求證：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a 不同時(shí)大于一44 命題p:方程x2 mx 1 0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，命題q:方程4x2 4(m 2)x 1 0無實(shí)數(shù)根.若“p或q”為真命題，求m的取值范圍.(數(shù)學(xué)選修2-1)第一章 常用邏輯用語參考答案基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題B可以判斷真假的陳述句D原命題是真命題，所以逆否命題也為真命題3Aab0a2b2,僅僅是充分條件11a b 0-,僅僅是充分條件；a b 0 a3 b3,僅僅是充分條件a bD否命題和

21、逆命題是互為逆否命題，有著一致的真假性A A: a R, a 1 a 2 0,充分，反之不行A p:x12, 3x1, q: 5x 6 x2,x2 5x 6 0, x 3,或 x 2p q ,充分不必要條件二、填空題若a,b至少有一個(gè)為零，則a b為零充分條件A B必要條件；充分條件；充分條件，A: 1 x 5, B:2 J19 x 2 加,A B 3,0 ax2 2ax 3 0恒成立，當(dāng)a 0時(shí)，3 0成立；當(dāng)a 0時(shí)，a 0/口2得 3 a 0;3 a 04a 12a 05必要條件 左到右來看：過不去”，但是 回得來”三、解答題1 解：(1)p:91 A,或91 B ; p真，p假；p:每

22、一個(gè)素?cái)?shù)都不是偶數(shù)；p真，p假；p:存在一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)且不是合數(shù)；p假，p真;p:存在一個(gè)三角形有兩個(gè)以上的外接圓或沒有外接圓.2 解：p:4 x6,x 10,或 x 2,A x|x10,或 x 222q:x2x 1 a 0, x 1 a,或x 1 a,記B x|x1 a,或x1 a1 a 2而 p q, A/B,即 1 a 10 , 0 a 3a 03 證明：假設(shè)a,b,c都是奇數(shù)，則a2,b2,c2都是奇數(shù)得a2 b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2 b2 c2,與a2 b2 c2矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立2一a 04 證明：ax ax 1 0(a 0)包成立2a2 4a 00 a 4

23、(數(shù)學(xué)選修2-1)第一章 常用邏輯用語參考答案綜合訓(xùn)練B組一、選擇題1 B “ p”為假，則p為真，而p q (且)為假，得q為假2 B 2應(yīng)屬于無理數(shù)指數(shù)幕，結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)； 73和e都是無理數(shù)；x|x是小數(shù) R3 c 若x y 0 ,則x,y互為相反數(shù)，為真命題，則逆否命題也為真；全等三角形的面積相等”的否命題為 不全等三角形的面積不相等相等”為假命題;若q 14 4q 0,即 4 4q 0,則x2 2x q 0有實(shí)根，為真命題a0,b0a0,b0a0,b0a0,b0b其北之一1白斗否定是另外三個(gè)1.一.一，A a 11 1,過得去”；但是 回不來”，即充分條件aDab 0的否定為a,b至少

24、有一個(gè)不為0D 當(dāng)a 1,b 0時(shí)，都滿足選項(xiàng)A,B,但是不能得出a當(dāng)a 0.5,b 0.5時(shí)，都滿足選項(xiàng)C ,但是不能得出a填空題， AI B B,應(yīng)該得出B A123451234充要，充要，必要 q s r q,q s;r q s r,r q;s r若C 900，則A, B不都是銳角條件和結(jié)論都否定必要 q p 從p到q,過不去，回得來1,22,5和x x|x 1或x 4都是假命題，則x 2,或 x51 x 4解答題 解：(1)為假命題，反例：1 4,或5 2,而1 5 4 2(2)為假命題，反例：x 0,x3 x x6,且x Z ,得 2 x不成立(3)為真命題，因?yàn)閙 1 V 4 4m

25、 0 無實(shí)數(shù)根(4)為假命題，因?yàn)槊總€(gè)三角形都有唯一的外接圓解：非q為假命題，則q為真命題;p且q為假命題，則p為假命題，即0,2 x 3,x Z 01,0,1,或 2解：令f(x)x2 (2k 1)x k2,方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根(2 k 1)2 4k2 2k 1 d 12f(1) 0所以其充要條件為解：假設(shè)三個(gè)方程:2,、2 c 24ax 4a 3 0, x (a )x a 0, x 2ax 2a0都沒有實(shí)數(shù)根,31a -22a 1,或a32 a 0(4a)2 4( 4a 3) 0(a 1)2 4a2 0,即一 2一(2a)4( 2a) 03,或a2提高練習(xí)C組1 C 中有且”；中沒有；

26、中有 非”；中有我”2 A因?yàn)樵}若a b 2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1的逆否命題為，若a,b都小于1,則a b 2顯然為真，所以原命題為真；原命題若 a b 2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1的逆命題為，若a,b中至少有一個(gè)不小于1,則a b 2,是假命題，反例為a 12b 0.31B 當(dāng)A 1700時(shí)，sin1700 sin100 ,所以過不去；但是在 ABC中， 2sin A 1300 A 1500A 300,即 回得來”2B 一次函數(shù)y mx 1的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、三、四象限 n nm 一 1一 0,且一 0 m 0,且n 0 mn 0,但是mn 0不能推導(dǎo)回來 n nA X M ,或x P”不能推出x M I P”，反之可以