1、初二數(shù)學(xué)相似三角形華東師大版【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容： 相似三角形重點(diǎn)、難點(diǎn)相似三角形的證明及應(yīng)用 教學(xué)過程知識精析：.主要知識結(jié)構(gòu)：日ZA-L平行型垂直型一斜交型【典型例題】基本知識概念應(yīng)用例 1.若ABSABC , / A= 45 , / B= 100 ,則/ C =分析： ABS ABC/C與/C是對應(yīng)角，/ C= / C/ C= 180 /A / B= 35例2.已知分析：設(shè) I x則I貝U例 3.若 x： y： z = 2: 7: 5,且 ,求叵| 的值。分析：x： y: z = 2: 7: 5設(shè) x=2k, y=7k, z = 5kk= 2x=4, y = 14, z =

2、10.基本圖形的識別及應(yīng)用例 1.如圖，DE/ BC, AD DB= 1 : 4, EC EA= 9,求 A巳分析：DE/ BC又 EG- EA= 9則 |得：EA=3例2.如圖，梯形 ABGD43, AD/ BC,對角線 AG BD相交于點(diǎn) O。(1)若 Sa aou Saagid= 1 ： 3,則 AQ AG=,AO : OG=, Sa aod： S bog=;若 Sa aod= 4 , S bog= 9 , 則 AO GO=,AG : OG= , Sa ABG= , S 梯形 ABGD= 分析：(1 ) 若 Saaoed： Sa agd= 1 : 3. AODW AGD為等高三角形I x

3、 I .AQ AG= 1 : 3,3又. AOD BOGI(2)若|AO BOGIpn , AG OG= 5: 3又. AB* BOE等高三角形I. Sa abg= 15,同理：Sa adg= 10S梯形 abgd= 25例3.如圖所示，/ AGB= / D= 90 , AD= 2,當(dāng)AB=時(shí)，兩個直角三角形相似。分析： AB* AGEltB,有兩種對應(yīng)關(guān)系：(1)00(2)Rt MBG中，/ AGB= 90所以，對（1）講:對(2)講:例4.如圖，在正方形 ABCM,對角線 AC與BD相交于O,E是BC的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F,DE=12,求EF的長。0分析：此圖中含有X型圖I S |即：I

4、. E是 BC中點(diǎn)，AD= BC3.構(gòu)造基本圖形解題：例1.如圖，直立在點(diǎn)B的木棍AB= 2.6米，從人EF的頭頂上看，點(diǎn)A與樹尖C重合，地平線上的點(diǎn)F、B D共線，已知BD=10米，F(xiàn)B= 3米，EF= 1.7米，求CD的高(精確到 0.1米)S分析：將此題抽象出幾何圖形解決此問題關(guān)鍵是構(gòu)造基本圖形A型圖回(1)中可設(shè)MF= x山H |再利用Z1得：CD= 5.6AM/ CNAM =2.6 1.7 =0.9EM =3, EN= 10ICN =3.9CD= 3.9 +1.7=5.6例2.如圖， ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，CE的延長線交 AB于F,求證：AE: EA 2AF: FB

5、國分析：要證 AE: ED= 2AF: FB觀察所證四條線段位置AE、ED共線，AF、FB共線這種線段比值關(guān)系存在于 A型或X型圖中所以，此題需構(gòu)造 A型圖、X型圖。即添加平行線構(gòu)圖。思路1 :過D作DM/ FCs D是BC中點(diǎn)M是BF中點(diǎn)又. AE ED= AF: MF.AE: ED= 2AF: BF思路2:過D作DM/ ABs. D是BC中點(diǎn)，. M是FC中點(diǎn)I又. AF: DM= AE: ED.AE: ED= 2AF: BF思路3:過A作AM/ BC交CF延長線于MsI sP BIII思路4:過B作BM/ FC交延長線AD于M BA DCED= DMHI E隹 2EDII還可嘗試其他方法

6、證明:例3.如圖， ABC中，/ ACB= 90 , D是AB中點(diǎn)，過 D作AB的垂線交 CB于E,交AC的延長線于 F,求證：CD= DE DR分析：所證線段恰好在兩個三角形中，可證相似D 是RtACB斜邊BC中點(diǎn)， 制CD= BD, / 1 = Z B又證/ B= / F, .CDa CFDI ,CD= DE- DF.等比及等積代換的分析與證明例1.四邊形ABCD43,/ A= /C= 90,過C作對角線BD的垂線交BQAD于E、F,求證：CD= DF-AD分析：雙垂直基本圖形 RtBCD中，CE! BD和斜A型圖RtABD中，EF BD,由于要證 cD=DF- AD國1而CD DF、AD

7、不能構(gòu)成兩個有可能相似的三角形，所以只能進(jìn)行等量代換，而在雙垂直基本圖RtBCD中，CE! BD,由射影定理可得： cD=DE- BD所以只需再證： DE BD= DF AD進(jìn)一步分析可得： EF2 ABD有DE-BD= DF - AD,則此題可得證。證明：. / BCtD= 90 , CE! BD于 EcD= DE- BD. /A= 90 , FE BR / FED= 90./ FED= / A,又/ ADB= / EDF. DES DABx ,DE- BD= DF- ADCD= DF- AD例2.如圖，正方形 ABCM, E是BD上一點(diǎn)，AE的延長線交 DC于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn) G,

8、你能證明aF=EF- EG嗎?分析：要證aF=ef- eg需證：I觀察I X IaF= ef- eg.綜合應(yīng)用：例.已知：如圖，矩形 ABCM, AB= 2, BG= 3, P是BC邊上與B、C兩點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，設(shè)PA= x, D點(diǎn)至U PA的距離為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍。解：過D作DE! AP于E,則DE= y/ AD曰 / PAD= 90 / BA% / PAD= 90 ./ BAP= / ADE且 / ABC= / DEA= 90 . ABW DEA AB= 2, BC= AD= 3PA =x, DE= y叵 I N I （）【模擬試題】（答題時(shí)間：6

9、0分鐘） 一、填空題. 已知：如圖1, 4ABS AE：|AD= 5cm,EC=3cm,AC= 13cm,則它們的相似比為 ,AB=,它們的面積比為 .兩個相似三角形的相似比為j,那么這兩個三角形的周長比為 。.兩個相似三角形面積分別為35cnf和15cm；則它們一組對應(yīng)邊上高線的比為 。. 已知：如圖 2, DE/ BC, BE、CD相交于F,叵,貝14 DEF和 CBF的面積比為 .如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比為4: 5,周長的和為18cm,那么這兩個三角形的周長分別為 。.如果兩個相似多邊形的最長邊分別為35cm和14cm,它們的周長差為 60cm,那么這兩個多邊形的周長分別為 二、選

10、擇題k (kw1),那么k的值為（.ABCA1B1G相似，且相似比為A1C1： AC/ B= / B1IABC周長： ABG周長.下面四組圖形中必定相似的是（）各有一個角是30。的兩個等腰三角形有兩組邊成比例的兩個直角三角形有一個角相等的兩個直角三角形各有一個角是91。的兩個等腰三角形.由下面條件，能判斷 ABSABC的是（）A./A= 50 , / B= 40 , / A =50 , / C = 80B./A= /A= 130 , AB= 4, AC= 10, AB =10, AC =24C. AB =48, BC= 80, CA= 60, AB =24, CA =30, BC =40D./

11、A= Z A = 90 , AB= 5, BC= 2J,AC = 7, BC=國10. 如圖3, /AED= /B,則下面等式中，正確的是（A. AD :AE= CEDBB. AE :BC= ADDBC. AD :AE= AC:ABD. AD :AB= DEBC11. 如圖4, / ACD=/B, DE/ BC,則圖中共有（）對相似三角形。A. 212. ABC 中,A. ABC. AD=BD-=BD-B. 3D是BC上的點(diǎn),BCDCC. 4要想使 CAD CBAB. CD2=AD- DBD. AC2=CD- CBD. 5則下面條件中必成立的是（三、解答題13.已知:如圖5,DE/ BG DE

12、= 4cm, BG= 6cm, ABC的面積為12cm2,求梯形DECBW面積。14.已知:如圖6,矩形ABCD勺對角線AC BD相交于。點(diǎn),OF, AC于。點(diǎn)，交 AB于E,交CB延長線于 F點(diǎn)。求證 OB-OC= OE- OE15.已知:如圖7, ABC中，Z ACB= 90 , M為 BC中點(diǎn),圖6CNL AM 求證：/ MBIN= / MAB16.已知:如圖8, ABC中，AH是BC邊上的高，四邊形DEF助矩形，AH與GF交于K,若BC= 30cm,AH=15cm,EF:DE= 1 : 3,求矩形 DEFG勺周長。17.已知:如圖9, ABC中，AD BC于 D, CE! AB于 E,

13、AC= 6,求DE的長。圖9【試題答案】-、填空題1.5 : 13 26 25 : 1695 : 2g16 : 495.8cm , 10cm100cm , 40cm二、選擇題9. C12. D7. D8. DC11. B三、解答題解：DE/ BC / ADZ B又 7 Z A=Z A. ADA ABCI X II X】Saabc= 27S 桶串 DECB= 1 5證明：二.矩形ABC前Z ABG= 90 , .EB曰 90. F+Z FEB= 90又 ?？?AC丁./ AOR 90 Z BAGF Z AEO= 90/ FEB=Z AEOZ F=Z BAO又矩形ABCD43AO = BO= OCEBQ=Z BAO=Z F/ FOB是公共角. BOA FOBOB- OG=OE- OF證明：RtACB中，Z ACB= 90ON AMT NCl= MN- AM又M為BC中點(diǎn)M= MN- AMx又/ NMB=Z AMB. NMBA BMAMBIZ MAB解