1、.wd.wd.wd.用向量法求空間角與距離1.1. 向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算是兩個非零向量，它們的夾角為，那么數(shù)叫做與的數(shù)量積或內(nèi)積，記作，即 其幾何意義是的長度與在的方向上的投影的乘積. 其坐標(biāo)運(yùn)算是： 假設(shè)，那么； ；1.2. 異面直線所成的角圖1分別在直線上取定向量那么異面直線所成的角等于向量所成的角或其補(bǔ)角如圖1所示，那么 例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第2問1.3. 異面直線的距離分別在直線上取定向量求與向量都垂直的向量，分別在上各取一個定點(diǎn)，那么異面直線的距離等于在上的射影長，即.證明：設(shè)為公垂線段，取如圖1所示，那么圖2設(shè)直線所成的角為，顯然1.4. 直線與平面所成的角在上取

2、定，求平面的法向量如圖2所示，再求，那么為所求的角.圖3甲1.5 二面角方法一：構(gòu)造二面角的兩個半平面的法向量都取向上的方向，如圖3所示，那么假設(shè)二面角是“鈍角型的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角，即例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第1問.假設(shè)二面角是“銳角型的如圖3乙所示圖3乙，那么其大小等于兩法向量的夾角，即例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第1問.圖4方法二：在二面角的棱上確定兩個點(diǎn)，過分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量如圖4所示，那么二面角的大小等于向量的夾角，即 1.6. 平面外一點(diǎn)到平面的距離圖5先求出平面的法向量，在平面內(nèi)任取一定點(diǎn)，那么點(diǎn)到平面的距離等于在上的射

3、影長，即.例如2004年廣州一模第18題第問.17 法向量2.1. 基向量法由于空間中任何向量均可由不共面的三個基向量來線性表示，因此在解題時往往根據(jù)問題條件首先選擇適當(dāng)?shù)幕蛄?，把有關(guān)線段根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法那么與基向量聯(lián)系起來. 再通過向量的代數(shù)運(yùn)算，到達(dá)計(jì)算或證明的目的. 一般情況下，選擇共點(diǎn)且不共面的三個向量作為基向量.例 1 如圖6，正三棱柱的棱長為2，底面邊長為1，是的中點(diǎn).圖61在直線上求一點(diǎn)，使；2當(dāng)時，求點(diǎn)到平面的距離.3求出與側(cè)面所成的角.分析1 1的 問題顯然是求使異面直線與所成的角為直角的點(diǎn).依據(jù)向量數(shù)量積的概念，必須由條件，求出的長度，而與都不是向量，且和沒有直

4、接聯(lián)系，因此必須選擇一組基向量來表示與.1解法一：取共點(diǎn)于的三個不共面的向量為基向量，分析2 本小題還可以取共點(diǎn)于的三個不共面的向量為基向量，從而得1解法二： 比較方法一與方法二，方法一比方法二運(yùn)算簡便. 因?yàn)橛梅椒ㄒ贿x擇的一組基向量表示時式子較為簡單. 這告訴我們可選擇的基向量并不唯一，我們應(yīng)選擇使得運(yùn)算簡便的那一組向量作為基向量. 當(dāng)幾何體中能夠找到或構(gòu)造出三個共點(diǎn)且兩兩垂直的基向量時，我們就可以用下面的方法解決問題.2.2. 坐標(biāo)法所謂坐標(biāo)法，就是建設(shè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(本文所建設(shè)的都是右手直角坐標(biāo)系)，把向量用坐標(biāo)來表示，用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)展向量的運(yùn)算，以到達(dá)解決問題的目的.圖7運(yùn)用

5、坐標(biāo)法時，也必須首先找出三個基向量，并且這三個基向量兩兩垂直,由此建設(shè)空間直角坐標(biāo)系. 因而坐標(biāo)法是基向量法的特殊情形，但坐標(biāo)法用于求長度、角度或解決垂直問題時，比較簡單.在坐標(biāo)法下，例1幾何體中容易找到共點(diǎn)不共面且互相垂直的三個向量，于是有如下解法：1解法三：以分別為軸、軸，垂直于的為軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，那么有.于是由上面的解法三可知，通過建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，找出了相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而把幾何圖形的性質(zhì)代數(shù)化，通過向量的計(jì)算解決問題，顯得快捷簡便.在空間直角坐標(biāo)系下，例1的第2、3問便迎刃而解了. 下面給出解答.(2)解：當(dāng)時，由1解法三知， 、，那么，設(shè)向量與平面垂直，那么有取向量在上的

6、射影長即為到平面的距離，設(shè)為，于是3根據(jù)上面“1.4. 直線與平面所成的角中所提到的方法，須求出平面的一個法向量，進(jìn)而求與所在直線的夾角。設(shè)平面的一個法向量為，那么有取，那么故與側(cè)面所成的角為：.此題的解題過程告訴我們，用坐標(biāo)法求空間角與距離，就是用空間向量將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，一般來說，長方體、正方體中較為容易建設(shè)坐標(biāo)系圖8高考對空間向量的考察是以立體幾何為載體，利用空間向量求有向線段的長度，求兩條有向線段的夾角或其余弦、正弦、正切，二面角、點(diǎn)到平面的距離、異面直線的距離、證明線線、線面、面面垂直等.下面是今年

7、廣東高考數(shù)學(xué)及廣州一模，表達(dá)了高考對空間向量的考察要求.例22004年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)廣東卷第18題如右圖8,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的角的余弦值.解題分析：此題主要考察了二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、思維能力、運(yùn)算能力.高考試卷給出的參考答案分別用了傳統(tǒng)方法及向量法. 在傳統(tǒng)解法中，運(yùn)用三垂線定理作出二面角的平面角并正明，通過延長和平移線段作出異面直線所成的角,進(jìn)而通過解直角三角形和斜

8、三角形解決問題. 在用向量法的解答上，選擇為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別為軸，軸, 軸的正向，這不是右手直角坐標(biāo)系，雖然與右手直角坐標(biāo)系沒有本質(zhì)上的區(qū)別，但教科書中所建設(shè)及提倡的是右手直角坐標(biāo)系，所以考生習(xí)慣用右手直角坐標(biāo)系. 用向量法解決第1問時只是用了本文所提到的“1.5 二面角之“方法一. 下面本人以自己的習(xí)慣，通過建設(shè)右手直角坐標(biāo)系來解答，并用本文所提到的“1.5 二面角之“方法二補(bǔ)充第問的解法二.解：I解法一：以為原點(diǎn)，分別為軸，軸, 軸的正向建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，那么有,于是，,設(shè)向量與平面垂直，那么有其中 取，那么是一個與平面垂直的向量，向量與平面垂直，與所成的角為二面角的平面角解法

9、二：令點(diǎn)在上，且，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么再令點(diǎn)在上，且，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么II設(shè)與所成角為，那么因?yàn)榇祟}的條件和結(jié)論具有一定的解題方向性，它明確告訴我們用向量的方法解決問題. 在高考完畢后，本人詢問了自己所任教班級的局部學(xué)生，他們大多數(shù)能用向量法解這道題. 如果不用向量法，對于中等或以下水平的學(xué)生，他們連二面角的平面角或異面直線所成的角都作不出來. 可見，用空間向量處理立體幾何中的角與距離問題，可以降低立體幾何的論證、推理難度，使中等或以下水平的學(xué)生也能很好的掌握，提高得分的能力.對此問題，我們在高考備考上就有意識地引導(dǎo)學(xué)生英德市在三月份組織了一次全市統(tǒng)考，采用2004年廣州一模試卷，下面的例是

10、其中一道考題圖9例32004年廣州一模第18題如圖，在正四棱柱中，、分別為、上的點(diǎn)，且求證：平面；求點(diǎn)到平面的距離.分析：題中幾何體易找到共點(diǎn)且相互垂直的三個基向量，故可通過建設(shè)空間直角坐標(biāo)系來到達(dá)解題目的但實(shí)際情況是仍有相當(dāng)局部學(xué)生的思維還停留在傳統(tǒng)的幾何法上而未能解出第問解：()以為原點(diǎn)，以、的正向分別為軸、軸、軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，那么于是且平面 由()知，為平面的一個法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，設(shè)為，于是故點(diǎn)到平面的距離為考后對學(xué)生評講此題的過程中，為了讓他們體會用向量法解題的優(yōu)越性，我首先用傳統(tǒng)的幾何法，再用向量法來解通過師生的交流及正確的導(dǎo)向，同學(xué)們更好地掌握了用向量法求空間角與距離的一般方法。以上例2、例3中的幾何體為長方體，較為容易建設(shè)坐標(biāo)系。如果題中幾何體不是長方體或正方體，那么考察幾何體中的線線垂直、線面垂直及面面垂直關(guān)系. 如： 例4 2004高考福建數(shù)學(xué)卷19在三棱椎中，是邊長為4的正三角形，平面平面，為的中點(diǎn).求證 ；圖102求二面角的大小；3求點(diǎn)到平面的距離.