1、PAGE PAGE 8用心 愛心 專心第九章（A） 第五講時間：60分鐘滿分：100分一、選擇題(8540分)1、是兩個平行平面，直線a，直線b，a與b之間的距離為d1，與之間的距離為d2，則 ()Ad1d2 Bd1d2 Cd2d2答案：B解析：由條件知，a與b的位置關(guān)系是平行或異面若ab，則d1d2；若a、b異面，則d1d2.2在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，則P到BC的距離為()A.eq r(5) B2eq r(5)C3eq r(5) D4eq r(5)答案：D解析：取BC中點E，連結(jié)AE、PE，由AEBC知PEBC，即PE為點P到BC的距離則PA8，AE4，PE4

2、eq r(5).3(2009成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測題)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，若AA1ABAD1，A1ADA1AB60，BAD90，則直線A1D1到平面ABCD的距離為()A1 B.eq f(r(2),2)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(6),3)答案：B解析：作A1O平面ABCD于點O，連結(jié)AO.由A1ADA1AB得點O位于BAD的平分線上，且cosA1ADcosA1AOcosDAO，因此cosA1AOeq f(cosA1AD,cosDAO)eq f(r(2),2)，sinA1AOeq f(r(2),2)，由題意知直線A1D1到平面ABCD的距

3、離等于點A1到平面ABCD的距離，即1eq f(r(2),2)eq f(r(2),2)，選B.4(2009黃岡市高三年級月考試題)如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為2，E、F分別是AB、A1C1的中點，則EF的長是 ()A2 B.eq r(3)C.eq r(5) D.eq r(7)答案：C解析：過F作FMAC于M，連接ME，則EFM為直角三角形|EF|eq r(|FM|2|ME|2)eq r(5).5如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1棱長為1，E是A1B1上的點，則點E到平面ABC1D1的距離是()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(2),2) C.eq f(1,2

4、) D.eq f(r(3),3)答案：B解析：如示意圖取AD1、BC1的中點分別為M、N，連結(jié)A1M、B1N、MN.則A1M綊B1Neq f(1,2)AD1eq f(r(2),2).A1B1MN，A1B1平面ABC1D1.A1B1平面B1BCC1，A1B1B1N.MNB1N.又B1NBC1，B1N平面ABC1D1.點E到平面ABC1D1的距離為A1Meq f(r(2),2).6A是正方形BCDE所在平面外一點，AE平面BCDE，且AECDa，G、H分別是BE、ED的中點，則GH到平面ABD的距離是()A.eq f(r(3),2)a B.eq f(r(3),3)a C.eq f(r(3),4)a

5、 D.eq f(r(3),6)a答案：D解析：如圖G到平面ABD的距離是E到平面ABD距離的一半，可先求后者易知ABADBDeq r(2)BEeq r(2)a，SABDeq f(r(3),4)AB2eq f(r(3),4)(eq r(2)a)2eq f(r(3),2)a2，SBEDeq f(1,2)a2，設(shè)E到平面ABD的距離為h.由VEABDVABED得：eq f(1,3)SABDheq f(1,3)SBEDAE，eq f(1,3)eq f(r(3),2)a2heq f(1,3)eq f(1,2)a2a，heq f(r(3),3)a.GH到平面ABD的距離heq f(1,2)heq f(r(

6、3),6)a.7空間四邊形ABCD的各邊與兩條對角線的長都是1，點P在邊AB上移動，點Q在CD上移動，則點P和Q的最短距離為()A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),2) C.eq f(3,4) D.eq f(r(3),2)答案：B解析：易證，當P、Q分別為AB、CD的中點時，PQ間距離最短，解RtADQ及RtAPQ，得PQeq f(r(2),2).8已知三棱錐SABC中，SA，SB，SC兩兩互相垂直，底面ABC上一點P到三個面SAB，SAC，SBC的距離分別為eq r(2)，1，eq r(6)，則PS的長度為()A9 B.eq r(5) C.eq r(7) D3答案：D解析：P到三

7、個面的距離可以構(gòu)成一個長方體的三邊，則PS是對角線，PSeq r(216)3.二、填空題(4520分)9在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，ADA1A1，則直線B1C與A1D的距離為_；直線AC與B1D1的距離為_；點A到直線B1C的距離為_；點B到平面AB1C的距離為_；直線B1C1到CD1的距離為_答案：21eq f(3,2)eq r(2)eq f(2,3)eq f(2,5)eq r(5)解析：如圖：易知B1CA1D而CDA1D，CDB1C，CD的長為直線B1C與A1D的距離等于2；易知AC與B1D1距離為BB11；連AC、AB1、B1C作AEB1C于E由題意易知ACAB1eq

8、 r(5)，B1Ceq r(2)AEeq r(5f(1,2)eq f(3,2)eq r(2)；連結(jié)AB1，B1C，AC1由所給題條件易得：VBAB1Ceq f(1,3)，由得：SAB1Ceq f(r(2),2)eq r(2)eq f(3,2)eq f(3,2)，由等體積法得所求距離為eq f(2,3)；作C1FCD1，四邊形ABCD為長方形，B1C1面C1D，B1C1C1F，C1F即為所求C1Feq f(12,r(5)eq f(2,5)eq r(5).10(2009昆明質(zhì)檢)三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABACAP2，D為AB中點，E為BC 中點，則點D到直線PE的距離等于_

9、答案：eq f(r(30),6)解析：如圖，由題意知EDAB，由三垂線定理知，EDPD，又ED1，PDeq r(5)，PEeq r(6)，則點D到直線PE的距離等于eq f(EDPD,PE)eq f(r(30),6)，故填eq f(r(30),6).11如右圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD平面ABC，則折起后B、D兩點的距離為_；直線BD和平面ABC所成角的大小是_.答案：145解析：在RtBOD中，OBODeq f(r(2),2)，則BD1.DBO即為直線BD和平面ABC所成角的大小，DBO45.12多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的如下圖，正方體的一個頂

10、點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1,2和4.P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：3；4；5；6；7；以上結(jié)論正確的為_(寫出所有正確結(jié)論的編號)答案：解析：如圖若P位于C，平面ABCD為正方形，BD與AC的中點為同一點O.B、D到平面的距離分別為2、1，O到平面的距離為eq f(3,2).C到平面的距離為3.若P位于B1，B1B綊A1A，B1到平面的距離等于A1到平面的距離加B到平面的距離為6.同理，若P位于C1，則C1到平面的距離為7.若P位于D1，則D1到平面的距離為5.三、解答題(41040分)13在正四棱柱ABCDA1B1

11、C1D1中，底面邊長為2eq r(2)，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(1)求證：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求點D1到平面B1EF的距離d.分析：(1)可先證EF平面BDD1B1.(2)用幾何法或等積法求距離時，可由B1D1BD，將點進行轉(zhuǎn)移：D1點到平面B1EF的距離是B點到它的距離的4倍，先求B點到平面B1EF的距離即可解答：(1)證明：eq blc rc(avs4alco1(EFBD,EFB1B)EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.(2)解：解法一：連結(jié)EF交BD于G點B1D14BG，且B1D1BG，D1點到平面B1EF的距離是B點到它的距離的4倍利用

12、等積法可求由題意可知，EFeq f(1,2)AC2，B1Geq r(17).SB1EFeq f(1,2)EFB1Geq f(1,2)2eq r(17)eq r(17)，SBEFeq f(1,2)BEBFeq f(1,2)eq r(2)eq r(2)1.VBB1EFVB1BEF，設(shè)B到面B1EF的距離為h1，則eq f(1,3)eq r(17)h1eq f(1,3)14，h1eq f(4r(17),17).點D1到平面B1EF的距離為h4h1eq f(16r(17),17).解法二：如圖，在正方形BDD1B1的邊BD上取一點G，使BGeq f(1,4)BD，連結(jié)B1G，過點D1作D1HB1G于H

13、，則D1H即為所求距離可求得D1Heq f(16r(17),17)(直接法)14如圖直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱CC12，BAC90，ABACeq r(2)，M是棱BC的中點，N是CC1中點求：(1)二面角B1ANM的大小；(2)C1到平面AMN的距離解析：(1)BAC90，ABACeq r(2)，M是棱BC的中點，AMBC，BC2，AM1.AM平面BCC1B1.平面AMN平面BCC1B1.作B1HMN于H，HRAN于R，連結(jié)B1R，B1H平面AMN.又由三垂線定理知，B1RAN.B1RH是二面角B1ANM的平面角由已知得ANeq r(3)，MNeq r(2)，B1Meq r(5)B1N

14、，則B1Heq f(3r(2),2)，又RtAMNRtHRN，eq f(RH,AM)eq f(HN,AN)，RHeq f(r(6),6).B1Req r(f(14,3)，cosB1RHeq f(RH,B1R)eq f(r(7),14).二面角B1ANM的大小為arccoseq f(r(7),14).(2)N是CC1中點，C1到平面AMN的距離等于C到平面AMN的距離設(shè)C到平面AMN的距離為h，由VCAMNVNAMC得eq f(1,3)eq f(1,2)MNheq f(1,3)eq f(1,2)AMMC.heq f(r(2),2).15(2009北京海淀一模)如圖所示，四棱錐PABCD中，PA平

15、面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且ABCD，BAD90，PAADDC2，AB4.(1)求證：BCPC；(2)求PB與平面PAC所成的角的正弦值；(3)求點A到平面PBC的距離解析：(1)證明：如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90，ADDC2，ADC90，且AC2eq r(2).取AB的中點E，連結(jié)CE，由題意可知，四邊形ABCD為正方形，AECE2.又BEeq f(1,2)AB2.CEeq f(1,2)AB，ABC為等腰直角三角形，ACBC.又PA平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC平面ABCD，由三垂線定理得，BCPC.(2)由(1)可知，BCPC，BCAC

16、，PCACC，BC平面PAC.PC是PB在平面PAC內(nèi)的射影，CPB是PB與平面PAC所成的角又CB2eq r(2)，PB2PA2AB220，PB2eq r(5)，sinCPBeq f(BC,PB)eq f(r(10),5)，即PB與平面PAC所成角的正弦值為eq f(r(10),5).(3)由(2)可知，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC.過A點在平面PAC內(nèi)作AFPC于F，AF平面PBC，AF的長即為點A到平面PBC的距離在直角三角形PAC中， PA2，AC2eq r(2)，PC2eq r(3)，AFeq f(2r(6),3).即點A到平面PBC的距離為eq f(2r(6

17、),3).16(2009吉林長春一模)如圖所示，四棱錐PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA2，PDA45，點E、F分別為棱AB、PD的中點(1)求證：AF平面PCE；(2)求二面角EPDC的大??；(3)求點A到平面PCE的距離解析：(1)證明：如圖取PC的中點G，連結(jié)FG、EG，F(xiàn)G為PCD的中位線，F(xiàn)Geq f(1,2)CD且FGCD.又底面四邊形ABCD是正方形，E為棱AB的中點，AEeq f(1,2)CD且AECD，AEFG且AEFG.四邊形AEGF是平行四邊形，AFEG.又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE.(2)解：PA底面ABCD，PAAD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.又AF平面PAD，CDAF.又PA2，PD