1、考點(diǎn)32 直線與方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（3）掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.一、直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為（2）范圍：直線l傾斜角的范圍是2斜率公式（1）若直線l的傾斜角90，則斜率（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x

2、1x2，則直線l的斜率k二、直線的方程1直線方程的五種形式方程適用范圍點(diǎn)斜式：不包含直線斜截式：不包含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式：不包含直線和直線截距式：不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式：不全為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2必記結(jié)論常見的直線系方程（1）過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程：A(xx0)B(yy0)C0(A2B20)還可以表示為yy0k(xx0)，斜率不存在時(shí)可設(shè)為xx0.（2）平行于直線AxByC0的直線系方程：AxByC10(C1C)（3）垂直于直線AxByC0的直線系方程：BxAyC10.（4）過兩條已知直線A1xB1yC10，A2xB2yC20交點(diǎn)的直線系方程：A1xB

3、1yC1(A2xB2yC2)0(其中不包括直線A2xB2yC20)考向一 直線的傾斜角與斜率1.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍要利用正切函數(shù)ytan x的圖象，特別要注意傾斜角取值范圍的限制.2.求解直線的傾斜角與斜率問題要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需依據(jù)正切函數(shù)ytan x的單調(diào)性求k的范圍典例1 若兩直線的傾斜角和斜率分別為和，則下列四個(gè)命題中正確的是A若，則兩直線的斜率： B若，則兩直線的斜率：C若兩直線的斜率：，則 D若兩直線的斜率：，則【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，滿足，但是兩直線的斜率，選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，無法滿

4、足，選項(xiàng)B說法錯(cuò)誤；若直線的斜率，滿足，但是，不滿足，選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；若兩直線的斜率，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可知，選項(xiàng)D說法正確.本題選擇D選項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.典例2 若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)（），那么l的傾斜角的取值范圍是A BC D【答案】B【解析】由直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，可利用斜率公式得.由，則傾斜角的取值范圍是.故選B.1已知點(diǎn)，直線l的方程為，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為A或B或CD考向二 直線的方程求直線方程的常用方法有1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程

5、2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0，而不是距離4. 求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0，且A0.典例3 已知，則過點(diǎn)和線段的中點(diǎn)的直線方程為ABCD【答案】B【解析】由題意可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故所求直線方程為，整理，得.故選B.典例4 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(3,0)，B(2,1)，C(2, 3)，求：（1）BC邊所在直線的方程； （2）BC邊上中線AD所在直線

6、的方程； （3）BC邊的垂直平分線DE的方程【解析】（1）因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，所以由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x+2y-4=0. （2）設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則. BC邊的中線AD過點(diǎn)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線的方程為，即2x3y60. （3）由（1）知，直線BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率k22.由（2）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2).由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y2=2(x0)，即.【思路分析】2過點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線的方程為Ayx=1By+x=3Cy=2x或x+y=3Dy=2x或yx

7、=13一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線的傾斜角的2倍，則這條直線的方程是ABCD考向三 共線問題已知三點(diǎn)若直線的斜率相同，則三點(diǎn)共線.因此三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為斜率相等問題，用于求證三點(diǎn)共線或由三點(diǎn)共線求參數(shù).典例5 若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m=_.【思路分析】由三點(diǎn)共線構(gòu)造兩條直線的斜率相等，問題便轉(zhuǎn)化為解方程. 【解析】由題意得.三點(diǎn)共線， ， 解得4已知三個(gè)不同的點(diǎn)，在同一條直線上，則的值是_.1已知M(a，b)，N(a，c)(bc)，則直線MN的傾斜角是A不存在 B45C135 D902如果直線l過點(diǎn)(1，2)，且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是A0,1 B0,2C D(0,3

8、3已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P2,5，且斜率為34，則直線l的方程為A3x+4y14=0 B3x4y+14=0C4x+3y14=0 D4x3y+14=04直線：中，若，關(guān)于軸對(duì)稱，則的傾斜角為ABCD5的圖象可能是下列圖中的6若過點(diǎn)P(1a,1a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A(2,1) B(1,2)C(，0) D(，2)(1，)7與直線平行，且與直線交于軸上的同一點(diǎn)的直線方程是ABCD8若過不重合的兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45，則的取值為A BC D9過點(diǎn)P(1,3)，且與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線l的一般式方程是A3xy6=0 Bx3y10=0C3xy=

9、0 Dx3y8=010如圖，已知直線l1：y=2x+4與直線l2：y=kx+b（k0）在第一象限交于點(diǎn)M若直線l2與x軸的交點(diǎn)為A（2，0），則k的取值范圍是A2k2 B2k0 C0k4 D0k211直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是A BC D12設(shè)直線的傾斜角為，且，則直線的斜率的取值范圍是_13已知三點(diǎn)，在同一條直線上，則_14如圖，已知直線l1的傾斜角是150，l2l1，且垂足為B.若l1，l2與x軸分別相交于點(diǎn)C，A，l3平分BAC，則l3的傾斜角為15已知直線l的斜率是直線2x3y120的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x3y120在y軸上的截距的2倍

10、，則直線l的方程為_16在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若,則直線的方程是_.17已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.18已知直線l：5ax5ya30.（1）求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；（2）為使直線l經(jīng)過第一、三、四象限，求a的取值范圍19求滿足下列條件的直線的方程：（1）設(shè)直線的方程為.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）過直線：上的點(diǎn)作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，則直線的方程.20已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為是，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.21已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）

11、且分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；（2）求的最小值及此時(shí)直線l的方程.變式拓展1【答案】A【解析】直線l的方程可化為，直線l過定點(diǎn)，如圖所示，又直線的斜率，直線的斜率，當(dāng)直線l與線段相交時(shí)，直線l的斜率k的取值范圍是或.故選A2【答案】D【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為2010=2，故直線方程為y=2x，即2xy=0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為xa+ya=1，代入點(diǎn)(1,2)可得1a2a=1，解得a=1，則直線方程為xy+1=0，故所求直線方程為：y=2x或y=x+1.故選D3【答案】B【解析】已知直線的斜率為，則傾斜角為，故

12、所求直線的傾斜角為，斜率為，由直線的點(diǎn)斜式得所求直線方程為，即.故選B4【答案】【解析】因?yàn)槿齻€(gè)不同的點(diǎn)，在同一條直線上，所以，解得，所以，故答案為.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】D【解析】MNx軸，直線MN的傾斜角為90.2【答案】B【解析】過點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率時(shí)，圖象不過第四象限，故l的斜率的取值范圍是0,2.3【答案】A【解析】直線l經(jīng)過點(diǎn)P2,5，且斜率為34，則y5=34x+2，即3x+4y14=0.故選A.4【答案】C【解析】，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，的斜率分別為和，則有，又由，得，則的傾斜角為.故選C.5【答案】D【解析】因?yàn)閍b0，所以排除選項(xiàng)C；又ab0，

13、所以斜率與截距互為相反數(shù)，顯然D選項(xiàng)符合，故選D.6【答案】A【解析】過點(diǎn)和的直線的傾斜角為鈍角，直線的斜率小于0，即.，.故選A.7【答案】C【解析】直線的斜率為，則所求直線的斜率，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線的方程為：，即.故選C.8【答案】B【解析】過兩點(diǎn)的直線的斜率，直線的傾斜角為，解得或，當(dāng)時(shí)， 重合，舍去，故選B9【答案】A【解析】設(shè)所求直線l的方程為(a0，b0)，則有，且.由，直線l的方程為，即為3xy6=0.10【答案】D【解析】因?yàn)橹本€l2與x軸的交點(diǎn)為A（2，0），所以，即，將其與聯(lián)立可得，由題設(shè)，解得，故選D.【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中提供的圖象及函數(shù)的解

14、析式聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)的位置建立不等式組，通過解不等式組使得問題獲解.11【答案】B【解析】如圖所示：當(dāng)直線過時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則，當(dāng)直線過時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則，要使直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了求直線的斜率問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于簡(jiǎn)單題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.結(jié)合函數(shù)的圖象，求出線段端點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，從而求出斜率的范圍即可.12【答案】【解析】直線的傾斜

15、角為，且，直線的斜率的取值范圍是或，或，直線的斜率的取值范圍是13【答案】2【解析】三點(diǎn)，在同一條直線上，則，解得故答案為214【答案】30【解析】因?yàn)橹本€l1的傾斜角為150，所以BCA=30，所以l3的傾斜角為(9030)=30.15【答案】【解析】將直線化為斜截式：，斜率為，所以直線l的斜率為，令直線中，得y軸上的截距為4，所以直線l的縱截距為8，根據(jù)斜截式可得直線l的方程為，化簡(jiǎn)得：.【名師點(diǎn)睛】本題考查直線的各種方程間的互化以及直線中的系數(shù)求法，求斜率就要化簡(jiǎn)為斜截式，求截距就令或，要熟練掌握直線方程的不同形式所對(duì)應(yīng)的不同已知條件，注意各種形式下的限制條件.16【答案】【解析】設(shè)，由

16、，可得，則，由截距式可得直線方程為，即，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量相等的性質(zhì)以及直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜率是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.17【解析】的幾何意義是過兩點(diǎn)的直線的斜率，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)時(shí)，此時(shí)與兩點(diǎn)連線的斜率最大，為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)與兩點(diǎn)連線的斜率最小，為.，即的取值范圍為.18【解析】（1）將直線l的方程整理為y，所以l的斜率為a，且過定點(diǎn)，而點(diǎn)在第一象限，故不論

17、a為何值，直線l恒過第一象限（2）將方程化為斜截式方程：yax .要使l經(jīng)過第一、三、四象限，則，解得a3.【名師點(diǎn)睛】有關(guān)直線過定點(diǎn)的求法：當(dāng)直線方程含有參數(shù)時(shí)，把含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，不含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，分別令其為零，可求出直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)；直線l經(jīng)過第一、三、四象限，只需斜率為正，截距為負(fù)，列出不等式組解出a的范圍.19【解析】（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在軸和軸上的截距為0，則直線的方程為.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0，直線的方程為，則直線的方程為.綜上，直線的方程為或.（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，直線，直線和軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；若直線的斜率，則

18、直線與軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；若直線的斜率，設(shè)其方程為，令，得，依題意有，解得，所以直線的方程為，即.綜上可知，直線的方程為或.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.20【解析】（1）依題意得，因?yàn)?，所以直線的斜率為，可得直線的方程為，即直線的方程為.（2）當(dāng)兩截距均為0時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，解得，即所求直線方程為，當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線方程

19、為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，解得，即所求直線方程為，綜上所述，所求直線方程為或.21【解析】設(shè)直線，則直線.（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即.考點(diǎn)33 直線的位置關(guān)系（1）能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.（2）能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).（3）掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.一、兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式與相交 與垂直與平行且或與重合且注意：（1）當(dāng)兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率不存在時(shí)的情況；（2）當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況二、兩條直線的交點(diǎn)對(duì)于直線

20、l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解（1）方程組有唯一解與相交，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；（2）方程組無解；（3）方程組有無數(shù)解與重合三、距離問題（1）平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|（2）點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d（3）兩條平行線AxByC10與AxByC20(C1C2)間的距離d四、對(duì)稱問題（1）中心對(duì)稱：點(diǎn)為點(diǎn)與的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式為（2）軸對(duì)稱：若點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則考向一 兩直線平行與垂直的判斷及應(yīng)用由兩直線平行或垂直求參數(shù)的值：在解這類問題時(shí)，一定要“前思后想”.“前思”就

21、是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解.典例1 已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與A垂直B平行C重合D相交但不垂直【答案】A【解析】直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的斜率：，直線的傾斜角為，直線的斜率，.故選A.典例2 若直線與直線互相平行，則的值為A4BC5D【答案】C【解析】直線的斜率為，在縱軸上的截距為，因此若直線與直線互相平行，則一定有直線的斜率為，在縱軸上的截距不等于，于是有且，解得，故選C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行的充要條件，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于簡(jiǎn)單題.直接根據(jù)兩直線平行的充要條件，列

22、出關(guān)于的方程求解即可.1“”是“直線和直線垂直”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2已知直線，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求過直線與的交點(diǎn)，且與原點(diǎn)的距離為1的直線的方程.考向二 兩直線的相交問題1兩直線交點(diǎn)的求法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為點(diǎn)的坐標(biāo)，即交點(diǎn)的坐標(biāo).2求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過程.典例3 已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)

23、P，且垂直于直線2x+3y+5=0，求直線l的方程.【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0垂直,所以直線l的斜率為,由點(diǎn)斜式得直線l的方程為3x-2y-4=0.方法二：由,解得x=2y=1,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)，因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0垂直，所以可設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得32-21+c=0，解得c=-4.故直線l的方程為3x-2y-4=0.方法三：直線l的方程可設(shè)為2x-y-3+(4x-3y-5)=0(其中為常數(shù)),即(2+4)x-(1+3)y-5-3=0,因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0

24、垂直,所以(-)=-1,解得=1.故直線l的方程為3x-2y-4=0.3當(dāng)為何值時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)在第一象限？考向三 距離問題1.求兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等.2.解決點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題，應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在.3.求兩條平行線間的距離，要先將直線方程中x，y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解.也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題.典例4 （1）若點(diǎn)A(2，3)，B(4，5)到直線l的距離相等，且直線l過點(diǎn)P(1,2)，則直線l的方程為_；（2）

25、若直線m被兩直線l1：xy10與l2：xy30所截得的線段的長(zhǎng)為，則直線m的傾斜角( 為銳角)為_ 【答案】（1）x3y50或x1；（2）15或75【解析】（1）方法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x1，點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20由題意知，即|3k1|3k3|，解得k直線l的方程為y2(x1)，即x3y50綜上，直線l的方程為x3y50或x1方法二：當(dāng)ABl時(shí)，有klkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50當(dāng)l過AB的中點(diǎn)時(shí)，由AB的中點(diǎn)為(1,4)，得直線l的方程為x1綜上，直線l的方程為x3y50或x

26、1（2）顯然直線l1l2，直線l1，l2之間的距離，設(shè)直線m與l1，l2分別相交于點(diǎn)B，A，則|AB|=，過點(diǎn)A作直線l垂直于直線l1，垂足為C，則|AC|=d=，在中，sinABC=，所以ABC=30，又直線l1的傾斜角為45，所以直線m的傾斜角為4530=15或45+30=75，故直線m的傾斜角 =15或754若直線與平行，則兩直線間的距離為ABCD5已知點(diǎn),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是ABCD考向四 對(duì)稱問題解決對(duì)稱問題要抓住以下兩點(diǎn)：（1）已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；（2）以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上典例5 已知直線l:3x-y+3=0,求:（1）點(diǎn)P(4,

27、5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);（2）直線x-y-2=0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程.【解析】設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,y).kPPkl=1，3=-1，又PP的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上，3-+3=0.聯(lián)立，解得.（1）把x=4,y=5代入,得x=-2,y=7,P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,7).（2）用分別代換x-y-2=0中的x,y，得關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為，即7x+y+22=0.6與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程為ABCD7已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是ABCD考向五 直線過定點(diǎn)問題求解含有參數(shù)的直線過定點(diǎn)問題，有兩種方法：（1）任給直線

28、中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解.（2）分項(xiàng)整理，含參數(shù)的并為一項(xiàng)，不含參數(shù)的并為一項(xiàng)，整理成等號(hào)右邊為零的形式，然后令含參數(shù)的項(xiàng)和不含參數(shù)的項(xiàng)分別為零，解方程組所得的解即為所求定點(diǎn).典例6 求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m1)x(m3)y(m11)0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】詳見解析.【解析】證法一：對(duì)于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程組得兩直線的交點(diǎn)為(2，3)將點(diǎn)(2，3)代入已知直線方程左邊，得(2m1)2(m3)(3)(m1

29、1)4m23m9m110.這表明不論m為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)(2，3)證法二：以m為未知數(shù)，整理為(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，所以，解得x2，y3.所以所給的直線不論m取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過定點(diǎn)(2，3)8已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線l：（其中）（1）求直線l所經(jīng)過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若分別過A，B且斜率為的兩條平行直線截直線l所得線段的長(zhǎng)為，求直線的方程1過兩直線3xy1=0與x2y7=0的交點(diǎn)且與第一條直線垂直的直線方程是Ax3y7=0 Bx3y13=0C3xy7=0 D3xy5=02過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的位置關(guān)系是A平行B重合C平行或重合D相交或重合3在平面直

30、角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使，則點(diǎn)的坐標(biāo)是ABCD或4直線與直線垂直，垂足為，則A BC D5若點(diǎn)到直線的距離為，則A BC D6若直線l1:y=k(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則直線l2過定點(diǎn) A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4,2)7點(diǎn)P（-3，4）關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是ABCD8若三條直線，相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為ABCD9設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，分別為上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的值為A BC D10設(shè)兩條直線的方程分別為，已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是A， B，C， D，11已

31、知點(diǎn)P(m,n)到點(diǎn)A(0,4)和B(-8,0)的距離相等,則(14)m+(12)n的最小值為A-3B3C16D412已知三條直線，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為A BC D13已知直線：恒過點(diǎn)，直線：上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為ABCD14若直線2x+ay7=0與直線(a3)x+y+4=0互相垂直，則實(shí)數(shù)a= .15若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)_16已知實(shí)數(shù)x，y滿足5x12y60，則x2 y2的最小值等于_.17一張坐標(biāo)紙對(duì)折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，若點(diǎn)與點(diǎn)重疊，則_18設(shè)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，_.19一條光線從)發(fā)出，到軸上的點(diǎn)后，

32、經(jīng)軸反射通過點(diǎn)，則反射光線所在直線的斜率為_20已知l1,l2是分別經(jīng)過A(2,1),B(0,2)兩點(diǎn)的兩條平行直線,當(dāng)l1,l2之間的距離最大時(shí),直線l1的方程是 .21已知直線l1:x2y+4=0與l2:x+y2=0相交于點(diǎn)P（1）求交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l3:3x4y+5=0，分別求過點(diǎn)P且與直線l3平行和垂直的直線方程.22已知直線l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a2)y+a=0.（1）若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)l1/l2時(shí)，求直線l1與l2之間的距離.23在中，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.24光線通過點(diǎn)，

33、在直線上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn).（1）求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求反射光線所在直線的一般式方程25已知直線，點(diǎn).求：（1）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程；（2）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程.26已知兩條直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.（1）若l1l2,且l1過點(diǎn)(-3,-1),求實(shí)數(shù)a,b的值.（2）是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得l1l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等?并說明理由.27已知三條直線l1:2xy+a=0(a0)，直線l2:4x2y1=0和直線l3:x+y1=0，且l1和l2的距離是.（1）求a的值.（2）能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：P

34、是第一象限的點(diǎn)；P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的；P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是?若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.變式拓展1【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，則兩直線垂直；當(dāng)時(shí)，兩直線也垂直，所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件，兩條直線垂直與斜率的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問題以簡(jiǎn)單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問題盡管簡(jiǎn)單卻容易出錯(cuò)，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.2【解

35、析】（1）因?yàn)椋?，?（2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)過交點(diǎn)的直線為（當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)顯然不滿足距離為1的條件），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有：，解得.所以直線的方程為.3【解析】由得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，解得：.4【答案】C【解析】由可得，解得，所以，則兩條平行直線與間的距離故選C5【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：，顯然時(shí)，有最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選B6【答案】A【解析】設(shè)對(duì)稱直線上的點(diǎn)為，則其關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以，即，故選A7【答案】A【解析】當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，為最小值.設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則：，解得，

36、此時(shí)，又，得直線平行于，可知必構(gòu)成三角形，即，綜上所述：.故選A.8【解析】（1）直線方程可化為：，由解得即直線l過定點(diǎn).（2）由平行線的斜率為得其傾斜角為，又水平線段，所以兩平行線間的距離為，而直線被截線段長(zhǎng)為，所以被截線段與平行線所成的夾角為，即直線與兩平行線所成的夾角為，所以直線的傾斜角為或由（1），知直線l過定點(diǎn)，則所求直線為或【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線方程過定點(diǎn)問題，平行線間的距離及夾角問題，主要是依據(jù)圖象判斷各條直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.（1）根據(jù)直線過定點(diǎn)，化簡(jiǎn)直線方程，得到關(guān)于的表達(dá)式，令系數(shù)與常數(shù)分別為0即可求得過定點(diǎn)的坐標(biāo).（2）根據(jù)平行線間的距離公式，求得平行線間的距離

37、；由傾斜角與直線的夾角關(guān)系，求得直線的方程.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】B【解析】由，得，即交點(diǎn)為(1,4)第一條直線的斜率為3，且與所求直線垂直，所求直線的斜率為.由點(diǎn)斜式方程得所求直線方程是y4=(x1)，即x3y13=0.2【答案】C【解析】由題意知：，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有公共點(diǎn)，與重合，與平行或重合.故選C.3【答案】D【解析】設(shè)，則，則，則：，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選D.4【答案】B【解析】直線與直線垂直，直線即為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式可得，解得將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得，解得故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題

38、，即明確點(diǎn)是兩直線的交點(diǎn)根據(jù)兩直線垂直可得，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線可得，同理可得，于是可得的值5【答案】B【解析】由題意得.故選B.6【答案】B【解析】因?yàn)橹本€l1:y=k(x4)過定點(diǎn)(4,0)，所以原問題轉(zhuǎn)化為求(4,0)關(guān)于(2,1)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)直線l2過定點(diǎn)(x,y)，則，解得x=0,y=2.故直線l2過定點(diǎn)(0,2).7【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)P（-3，4）關(guān)于直線l：x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，可得PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為（），利用對(duì)稱性可得：，且，解得：，y=5，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，5）.故選B8【答案】A【解析】聯(lián)立，解得，三條直線，相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值

39、為原點(diǎn)到直線的距離故選A9【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：直線與直線的交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，若，則即解得故選A10【答案】A【解析】是方程的兩個(gè)實(shí)根，兩條直線之間的距離，兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為，.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離的求法，函數(shù)的最值的求法，考查了計(jì)算能力，注意之間的關(guān)系，利用其關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.11【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)到點(diǎn)A(0,4)和B(-8,0)的距離相等,所以m2+(n4)2=(m+8)2+n2,即2m+n=-6,又(14)m0,(12)n0,所以(14)m+(12)n2(14)m(12)n=2(12)2m+

40、n=2(12)6=16,當(dāng)且僅當(dāng)2m+n=6(14)m=(12)n,即2m=n=-3時(shí)取等號(hào).12【答案】D【解析】因?yàn)槿龡l直線，不能構(gòu)成三角形，所以直線與或平行，或者直線過與的交點(diǎn)，直線與，分別平行時(shí)，或，直線過與的交點(diǎn)時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選D.13【答案】C【解析】直線：，即，令，求得，可得該直線恒過點(diǎn).直線：上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故、都在直線：的上方點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為，即.聯(lián)立，求得，可得當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為故選C14【答案】2【解析】由題得，2(a3)+a1=0,解得a=2.故答案為2.15【答案】【解析】直線經(jīng)過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)在直線

41、上，即直線恒過定點(diǎn)，故答案為.16【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足5x12y60，所以x2 y2表示原點(diǎn)到直線5x12y60上點(diǎn)的距離所以x2 y2的最小值表示原點(diǎn)到直線5x12y60的距離容易計(jì)算，即所求x2 y2的最小值為601317【答案】 【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)，則對(duì)折后,對(duì)折直線l的方程為;設(shè)直線的方程為，點(diǎn)在直線上，則直線的方程為;設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為則解方程組得.即，則，.18【答案】【解析】是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為 當(dāng)時(shí)，取得最小值故答案為【名師點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題由點(diǎn)到直線的距離公式求得的關(guān)系式，從而求得距離最小時(shí)n的值1

42、9【答案】2【解析】如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，由對(duì)稱性可知，則光線所在直線的斜率，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是反射定律，以鏡面反射為背景的問題，實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，求解這類問題一般要轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問題，判斷點(diǎn)在直線上，是解題的關(guān)鍵.20【答案】2x-y-3=0【解析】由平面幾何知識(shí),得當(dāng)l1AB時(shí),l1,l2之間的距離最大.A(2,1),B(0,2),kAB=-12,kl1=2.則直線l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.21【解析】（1）由 x2y+4=0 x+y2=0，得x=0y=2， P(0,2).（2）與l3平行直線方程y2=34x，即3x4y+

43、8=0.與l3垂直的直線方程y2=43x，即4x+3y6=0.22【解析】（1）由l1l2知a+3(a2)=0，解得a=32.（2）當(dāng)時(shí)，有a(a2)3=03a(a2)0,解得a=3，l1:3x+3y+1=0,l2:x+y+3=0，即l2:3x+3y+9=0，所求距離為d=|91|32+32=423.【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與直線之間的位置關(guān)系.解答本題時(shí)要注意：（1）利用直線垂直，結(jié)合斜率之間的關(guān)系，建立方程，求解實(shí)數(shù)的值；（2）利用直線平行，確定參數(shù)的值，利用平行直線之間的距離公式，求值計(jì)算.23【解析】（1）邊上的高為，故直線的斜率為， 所以直線的方程為，即， 因?yàn)橹本€的方程為，所以 解

44、得，所以.（2）設(shè)，由為中點(diǎn)，得的坐標(biāo)為，則，解得， 所以，又因?yàn)椋灾本€的方程為，即直線的方程為.24【解析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為 （2）由于反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的方程為即.25【解析】（1）在直線上取一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)必在上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則解得.設(shè)與的交點(diǎn)為，則由得.又經(jīng)過點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線的方程為.（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.在直線上，即.故直線的方程為.26【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,為k2=1-a.若k2=0,則1-a=0,a=1.l1l2,直線l1的斜率必不存在,即b=0.又l

45、1過點(diǎn)(-3,-1),-3a+4=0,即a=43(矛盾).此種情況不存在,k20,直線l1的斜率存在,設(shè)為k1.k2=1-a,k1=ab,l1l2,k1k2=-1,即ab(1-a)=-1.又l1過點(diǎn)(-3,-1),-3a+b+4=0.由聯(lián)立,解得a=2,b=2.（2）不存在,理由如下:l2的斜率存在,l1l2,直線l1的斜率存在.又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等,l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即4b=-b,該方程無實(shí)數(shù)解.不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b，使得l1l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.27【解析】（1）l2的方程即為，l1和l2的距離d=，.a0,a=3.（2）設(shè)點(diǎn)P(x0,

46、y0)，若P點(diǎn)滿足條件，則P點(diǎn)在與l1和l2平行的直線l:2xy+c=0上，且,即c=或c=.2x0y0+或2x0y0+.若點(diǎn)P滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式，x02y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限，3x0+2=0不合題意.聯(lián)立方程2x0y0+和x02y0+4=0，解得x0=3,y0=,應(yīng)舍去.由2x0y0+與x02y0+4=0聯(lián)立，解得x0=,y0=.所以P()即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線的平行關(guān)系、平行線間的距離、點(diǎn)到直線的距離等，關(guān)鍵計(jì)算量比較大，注意不要算錯(cuò)，屬于中檔題.（1）根據(jù)兩條直線是平行關(guān)系，利用兩條平行線的距離公式即可求得a的值.（2

47、）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，討論當(dāng)P點(diǎn)滿足與兩種條件下求得參數(shù)的取值，并注意最后結(jié)果的取舍.考點(diǎn)34 圓的方程（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.（2）能用圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.一、圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑方程圓心半徑區(qū)別與聯(lián)系（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表現(xiàn)出圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；（2）圓的一般方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)明顯，圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)需要通過代數(shù)運(yùn)算才能得出；（3）二者可以互化：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開可得一般方程，將圓的一般方程配方可得標(biāo)準(zhǔn)方程注：當(dāng)D2+E24F = 0時(shí)，方

48、程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2+E24F0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0沒有意義，不表示任何圖形二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)方程的形式一般方程的形式點(diǎn)（x0，y0）在圓上點(diǎn)（x0，y0）在圓外點(diǎn)（x0，y0）在圓內(nèi)三、必記結(jié)論（1）圓的三個(gè)性質(zhì)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線（2）兩個(gè)圓系方程具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程同心圓系方程：，其中a，b為定值，r是參數(shù)；半徑相等的圓系方程：，其中r為定值，a，b為參數(shù)考向一 求圓的方程1求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來

49、看，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)和半徑，從圓的一般方程來講，能知道圓上的三個(gè)點(diǎn)即可求出圓的方程，因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法2用幾何法求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”，“半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形”典例1 求滿足下列條件的圓的方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)P(5，1)，圓心為點(diǎn)C(8，3)；（2）經(jīng)過三點(diǎn)A(0，0)，B(1，1），C(4，2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式可知，圓的半徑長(zhǎng)為，因此，圓的方程為.（2）設(shè)所求圓的一般方程為，將、三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得，解得，因此，所求圓的方程為.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方

50、程的求解，根據(jù)已知條件的類型選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程求解，一般而言，確定圓心坐標(biāo)與半徑，選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較為合適，計(jì)算三角形的外接圓方程，利用圓的一般方程較好，考查計(jì)算能力，屬于中等題.（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出圓的半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程；（2）設(shè)所求圓的一般方程為，將、三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得三元一次方程組，求出、的值，可得出所求圓的方程. 1以為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是ABC或D或考向二 與圓有關(guān)的對(duì)稱問題1圓的軸對(duì)稱性:圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱 2圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱： （1）求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置; （2）兩圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn) 3圓

51、關(guān)于直線對(duì)稱： （1）求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置; （2）兩圓關(guān)于直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線典例2 （1）已知圓C1：（x+1）2+（y1）2 =1，圓C2與圓C1關(guān)于直線xy1=0對(duì)稱，則圓C2的方程為ABCD（2）若圓（x+1）2+（y3）2=9上相異兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線kx+2y4=0對(duì)稱，則k的值為_【答案】（1）B；（2）2【解析】（1）圓C1的圓心為（1，1），半徑長(zhǎng)為1，設(shè)圓C2的圓心為（a，b），由題意得且，解得a=2，b=2，所以圓C2的圓心為（2，2），且半徑長(zhǎng)為1，故圓C2的方程為（x2）2+（y+2）2=1（2）已知圓（x+1

52、）2+（y3）2=9的圓心為（1，3），由題設(shè)知，直線kx+2y4=0過圓心，則k（1）+234=0，解得k=22已知圓（為實(shí)數(shù)）上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，則ABCD考向三 與圓有關(guān)的軌跡問題1求軌跡方程的步驟如下： 建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)寫集合：寫出滿足復(fù)合條件P的點(diǎn)M的集合 列式：用坐標(biāo)表示，列出方程 化簡(jiǎn)：化方程為最簡(jiǎn)形式 證明：證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)2求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法 典例3 已知中，求：（1）直角頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)得：.不共線，.故頂

53、點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)，由（1）知：又，為線段的中點(diǎn)，即，代入式，得：.故的軌跡方程為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)直線的位置關(guān)系得到點(diǎn)滿足的方程，或利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知曲線得到軌跡方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略已知中的限制條件，未排除特殊點(diǎn).（1）設(shè)，求得和，根據(jù)垂直關(guān)系可知斜率乘積為，根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)不共線，可知，從而得到軌跡方程；（2）設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式用，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入（1）中軌跡方程整理可得結(jié)果.3已知點(diǎn)，圓：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積.考向四 與圓有關(guān)的最值

54、問題對(duì)于圓中的最值問題，一般是根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標(biāo)的式子函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式的性質(zhì)求出最值特別地，要利用圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這正是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用典例4 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是A BC D【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，過圓心與直線垂直的直線方程為，所求的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離為，則所求圓的半徑為，設(shè)所求圓心為，且圓心在直線的左上方，則，且，解得（不符合，舍去），故所求圓的方程為，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題.典例

55、5 已知點(diǎn)在圓上（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）的最大值為，最小值為.【解析】（1）設(shè)，則，t可視為直線的縱截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的縱截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或的最大值為，最小值為（2）可視為點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是過原點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)的斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率設(shè)過原點(diǎn)的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或的最大值為，最小值為【名師點(diǎn)睛】1與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值（

56、1）記O為圓心，圓外一點(diǎn)A到圓上距離最小為，最大為；（2）過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑，最短為以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；（3）記圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為；（4）過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓2與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值（1）形形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；（2）形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；（3）形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題4平面上兩個(gè)點(diǎn)為A(1，0)，B(1，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在圓C：x2y26x8y210上取一點(diǎn)P，則|AP|2|BP|2的最小值為_1若

57、方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍是ABCD2若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則的值為A1 BC2 D3對(duì)于，直線恒過定點(diǎn)，則以為圓心，2為半徑的圓的方程是A BC D4一個(gè)圓經(jīng)過以下三個(gè)點(diǎn)，且圓心在軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為ABCD5P為圓上任一點(diǎn)，則P與點(diǎn)的距離的最小值是A1B4C5D66當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)是ABCD7點(diǎn)，是圓上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則該圓的半徑等于ABC1D38過點(diǎn)的直線將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為A BC D9已知點(diǎn)，是圓：上任意一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的軌跡方程為，則的值為A1 B2C3 D410已知圓，點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱若圓上存在點(diǎn)，

58、使得，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是A BC D11在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn),，則三角形的外接圓方程是_12若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是_.13已知在圓上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最小值為_14已知圓過點(diǎn)，求：（1）周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）圓心在直線上的圓的方程15在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，.（1）在軸的正半軸上求一點(diǎn)，使得以為直徑的圓過點(diǎn)，并求該圓的方程;（2）在（1）的條件下，點(diǎn)在線段內(nèi)，且平分，試求點(diǎn)的坐標(biāo).16已知圓，直線，（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.17在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直

59、徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線：，為曲線上不同的四點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程；（2）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；（3）求曲線的最小覆蓋圓的方程.1（2018天津文）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為_變式拓展1【答案】C【解析】由題意得：半徑.若為圓心，則所求圓的方程為：；若為圓心，則所求圓的方程為：.本題正確選項(xiàng)為C.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略兩點(diǎn)可分別作為圓心，從而造成丟根，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，先利用兩點(diǎn)間距離

60、公式求得半徑，分別在和為圓心的情況下寫出圓的方程.2【答案】D【解析】由題意可知：直線過圓心，解得：.本題正確選項(xiàng)為D.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的對(duì)稱性判斷出直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線解得結(jié)果.3【答案】（1）；（2）.【解析】（1）圓的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，設(shè)，則，由題意知，故，即，由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以的軌跡方程是.（2）由（1）可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而，因?yàn)榈男甭蕿?，所以的斜率為，所以的方程為.又，到的距離為，所以的面積為.【名師點(diǎn)睛】求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立，之間