1、八年級(jí)下冊(cè)數(shù) 學(xué) 2022/8/31平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。學(xué)一學(xué)ABCD ADBC， ABCD四邊形ABCD是平行四邊形。幾何語(yǔ)言： 用文字和幾何語(yǔ)言敘述平行四邊形的性質(zhì)。平行四邊形的對(duì)邊相等平行四邊形的對(duì)邊平行平行四邊形的對(duì)角相等平行四邊形的鄰角互補(bǔ)ABDCOAB=CD；AD=BCABCD；ADBCABC=ADC；BAD=BCDABCBCD180 如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形 若周長(zhǎng)為30cm，CD6cm，則AB cm，BC cm；AD cm。 若A60，則B 。C；D 120 。 若 B A = 80，則A ； D 。 ABCD的周長(zhǎng)為30cm，兩鄰邊之

2、比為21， 則ABCD的兩鄰邊長(zhǎng)分別為。699試一試:CDAB120605013010cm、5cm 1.這是小明家的樓梯，扶手是用不銹鋼管制作的，這些豎直的鋼管長(zhǎng)度相等嗎？議一議 2.在筆直的鐵軌上，夾在兩根鐵軌之間的枕木是否一樣長(zhǎng)？議一議性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊相等。ABCD四邊形ABCD是平行四邊形。AB=CD，BC=AD。幾何語(yǔ)言：性質(zhì)2：平行四邊形的對(duì)角相等ABCD四邊形ABCD是平行四邊形A=C，B=D幾何語(yǔ)言：1.在 ABCD中，已知A=32，求其余三個(gè)角的度數(shù)。ABCD四邊形ABCD是平行四邊形解：且A=32（已知）C=A=32（平行四邊形對(duì)角相等。） 同理B=D又ADBC（平行

3、四邊形的對(duì)邊平行。）A+B=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。）D=B=180-A=180-32=1482.已知在 ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，求 ABCD 的周長(zhǎng)。 ABCD解：四邊形ABCD是平行四邊形（已知） AB=CD=6cm， BC=AD=4cm（平行四邊形的對(duì)邊相等。） ABCD的周長(zhǎng)為：6+6+4+4=20（cm）3.已知：如圖，在 ABCD中，BE平分ABC交AD于點(diǎn)E（1）如果AE=2，求CD的長(zhǎng)；（2）如果AED=40，求C的度數(shù)。解：（1）BE平分ABC，并且ADBC， ABE=EBC=AEB， AB=AE=2。 又CD=AB，CD=2。BCDAE（2）由（1

4、）知ABE=AEB=40， A=180-（40+40）=100。 又C=A， C=100l1l2ACBDEF 如圖，直線l1直線l2，AB，CD是夾在直線l1，直線l2之間的兩條平行線段。由性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊相等，可得出如下結(jié)論： 夾在兩條平行線之間的平行線段相等。 如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等。點(diǎn)到直線的距離 兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離。推論2:平行線間的距離處處相等。abABDCabABCD a / b ABb，CDb AB=CD 推論1: 夾在兩條平行線間的平行線段相等。 a /b，AB/CD A

5、B=CD 已知：如圖，ABCD中，AB=4，AD=5，B=45。求直線AD和直線BC之間的距離，直線AB和直線DC之間的距離。知識(shí)應(yīng)用:45BACDEF4545BACDEF45 解：過(guò)點(diǎn)A作AEBC，AFCD，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F， 線段AE，AF的長(zhǎng)分別為點(diǎn)A到直線BC和直線CD的距離。 線段AE的長(zhǎng)為直線AD和直線BC之間的距離，線段AF的長(zhǎng)為直線AB和直線CD之間的距離。 在RtABE中，AEB=90，B=45，AB=4， B= BAE。 又AE2 +AE2=AB2 2AE2=16。 AE= 同理AF= 所以直線AD與直線BC之間的距離為 ，直線AB和直線CD之間的距離為 。 如圖小明家

6、有一塊三角形魚塘，今年他爸爸把魚塘擴(kuò)建，過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作對(duì)邊的平行線，這三條直線兩兩相交，得ABC，這時(shí)小明發(fā)現(xiàn)并說(shuō) ABC的頂點(diǎn)分別是ABC三邊的中點(diǎn)，你能說(shuō)明理由嗎？證明：ABCB,BCAB AB=BC 同理：AC=BC AB=AC 同理：BC=BA,CA=CB ABC的頂點(diǎn)A、B、C分別是ABC三邊中點(diǎn)。ABCABC AD=BC，ADBC。 （平行四邊形對(duì)邊平行且相等） ACDB已知：如圖： ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O。求證：OA=OC，OB=OD。O證明：四邊形ABCD是平行四邊形 1=2，3=4。AODCOB（ASA）。 OA=OC，OB=OD。3241平行四邊形

7、性質(zhì)性質(zhì)3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。ADBC四邊形ABCD是平行四邊形。AO=CO, BO=DO0幾何語(yǔ)言：已知:如圖,在四邊形ABCD中，AB=CD，ABCD求證：四邊形ABCD是平行四邊形BCAD證明：連接DB，ABCD，CDB=ABD在CDB與ABD中CD=AB（已知）CDB=ABD（已證）DB=BD（公共邊） CDBABD（SAS）ADB=CBD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）ADBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）因此，四邊形ABCD是平行四邊行。判定定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。已知：四邊形ABCD，AB=CD，AD=BC求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明:連結(jié)AC，

8、在ABC與CDA中AB=CD（已知）AD=BC（已知）AC=CA（公共邊）ABCCDA（SSS）1=2，3=4（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）ABCD，ADBC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）四邊形ABCD是平行四邊形BDAC2134定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。已知：如圖，四邊形ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O且OA=OC，OB=OD求證：四邊形ABCD是平行四邊形。BDACO4213證明：在AOB與COD中 AO=CO（已知） 1=2（已知） BO=DO（已知）AOBCOD（SAS）3=4ABCD 同理ADBC四邊形ABCD是平行四邊形。定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行四

9、邊形的判定方法 定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。BCAD 已知如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形對(duì)角線AB上的兩點(diǎn)，且AE=CF。求證：四邊形BEDF是平行四邊形。EFO證明：連接BD交AC于點(diǎn)O。四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=DO。又AE=CF，OE=OF。四邊形BEDF是平行四邊形。1.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么當(dāng)BC= cm，CD= cm時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么

10、當(dāng)AO= cm，DO= cm時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形。鞏固練習(xí)2.如圖，在平行四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC上截取EF=MN，連接EM、FN，EM和FN有怎樣的關(guān)系？為什么？鞏固練習(xí)BDACMNEF1.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，一個(gè)三角形有 條中位線。2.在練習(xí)本上畫出一個(gè)三角形，并畫出它的一條中位線。三自主學(xué)習(xí)三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。CABD E用符號(hào)語(yǔ)言表示DE是ABC的中位線 DEBC，數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系 (1)證明平行； (2)證明一條線段是另一條線段的2倍或 。ABCDE 三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于第三

11、邊，并且等于第三邊的一半。三角形的中位線定理的主要用途：第三邊1.如圖, MN 為ABC 的中位線,若ABC =61則AMN = ,若MN =12 ,則BC = 。AMBCN 6124練一練2.如圖，ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)BC=10時(shí)，則DE= 。ADBCE5說(shuō)說(shuō)本節(jié)課你學(xué)到了什么？課后練習(xí)。謝 謝特殊的平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)與判定性質(zhì)判定邊角對(duì)角線推論平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別相等平行四邊形的對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)平行四邊形的對(duì)角線互相平分夾在兩條平行線間的平行線段相等兩組對(duì)邊分別平行的四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形兩組對(duì)角分別相等的

12、四邊形對(duì)角線互相平分四邊形BDCAOBDCAMNPQ回顧與思考 在一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)上，拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)，改變平行四邊形的形狀，如圖：經(jīng)歷上述運(yùn)動(dòng)及變化過(guò)程，回想一下矩形是怎樣定義的？它又具有哪些性質(zhì)？做一做矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形性質(zhì)：邊：角：線：具有平行四邊形所有邊的性質(zhì)四個(gè)角都是直角對(duì)角線相等且互相平分與平行四邊形的性質(zhì)相對(duì)比，有什么不同之處？為什么？你能證明矩形的特殊性質(zhì)嗎？試一試證明：矩形的對(duì)角線相等ABCDO已知：矩形ABCD中， AC、BD相交于點(diǎn)O 求證：AC=BD證明:四邊形ABCD是矩形，AB=CD，DAB

13、=ADC=90RTABD與RTDCA中AB=CD，DAB=ADC=90AD=DA ABD DCA（SAS）AC=BDABCDO下列是小剛的證明過(guò)程 ，這樣做對(duì)嗎？為什么？ABCDO證明:矩形ABCD中ABCD OAB=OCD, OBA=ODCABO與DCO中 OAB=OCD,AB=CD,OBA=ODC ABO CDO, AO=OD,BO=COAO+OC=BO+OD,即:AC=BD議一議D如果擦去ADC，則剩余的RTABC中，BE是怎樣的一條特殊的線段？它具有什么特性？為什么？ABCEABCED如圖：矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)E，你可以找到那些相等的線段？想一想經(jīng)歷上述的探討過(guò)程，你能證明以下結(jié)論嗎？

14、推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。ABCED已知：RTABC中，BE是斜邊AC上的中線，求證：BE=AC/2證明：1、分別過(guò)A、C作BC、AB的平行線AD、DC，交點(diǎn)為D，連接BD證:ABCD為矩形BD平分AC，即：BD過(guò)EBE=AC/2推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。ABCED證明：2、過(guò)A作BC的平行線與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接CD 證： BCE DAE（SAS） BC=AD四邊形ABCD為矩形BE=AC/23、延長(zhǎng)BE到D，使BE=DE，連接AD、DC。證：四邊形ABCD為平行四邊形（對(duì)角線互相平分）四邊形ABCD為矩形BE=AC/2回顧剛才的證明過(guò)程，證明結(jié)論的

15、關(guān)鍵是什么？你有什么體會(huì)？推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。說(shuō)說(shuō)它的逆命題?想一想逆命題是真命題嗎?試說(shuō)說(shuō)你的理由.ABCE已知：ABC中，BE是AC上的中線，BE=AC/2求證：ABC=900 如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.補(bǔ)充練習(xí):已知: ABC的兩條高線為BE,CF,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).求證:ME=MFAFEMCB試一試?yán)喝鐖D：矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，已知AOD=120，AB=2.5厘米，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。ABDCO1練一練1、直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為4厘米，則他的兩條直角邊的中點(diǎn)的連線長(zhǎng)是 2、已知矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8厘

16、米，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為60，則矩形的邊長(zhǎng)為： 。 40厘米3、用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形，則每個(gè)長(zhǎng)方形地磚的面積為 。A、200cm B、300cm C、600cm D、240cm 4B4、4 想一想矩形都有那些判別方法？你能設(shè)法證明他們嗎？定義：角：對(duì)角線：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定2.定理:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形ABCD中, A=B=C=900.分析:利用同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行來(lái)證明四邊形是平行四邊形,可使問(wèn)題得證.證明: A=B=C=900,A+B=1800,B+C=18

17、00.ADBC,ABCD.求證:四邊形ABCD是矩形.四邊形ABCD是平行四邊形.DBCA四邊形ABCD是矩形.矩形的判定3.定理:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.已知:如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC=BD.求證:四邊形ABCD是矩形.DBCA分析:要證明ABCD是矩形,只要證明有一個(gè)角是直角即可.證明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB, ABCDCB.ABC=DCB.四邊形ABCD是平行四邊形.ABC+DCB=1800.ABC=900.四邊形ABCD是矩形.矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形性質(zhì)：邊：角：線：具有平行四邊形所有邊的性質(zhì)四個(gè)角都是直角對(duì)角線相等且互相平分定

18、義：角：對(duì)角線：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. ACB=90AD=BDCD=12AB=AD=BD如果一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形.AD=BD=CD=12AB三角形ABC是直角三角形.ABCD練一練2、已知矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8厘米，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為60，則矩形的邊長(zhǎng)為： ; 3、在RtABC中，ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，CD=5，則圖中有 個(gè)等腰三角形，它們是 ；AB= 。1、直角三角形兩直角邊分別為3和4.則斜邊上的高為：_斜邊上的中線為：_;練一練4、已知：在平行四邊形ABCD中P為CD上的點(diǎn)，且AP和BP分別平分DAB和