1、廣義切比雪夫濾波器的標(biāo)準(zhǔn)綜合技術(shù)濾波器的設(shè)計方法有很多種，現(xiàn)代濾波器設(shè)計多采用網(wǎng)絡(luò)綜合法。圖 1給 出了網(wǎng)絡(luò)綜合法設(shè)計濾波器的流程圖，網(wǎng)絡(luò)綜合法以網(wǎng)絡(luò)的衰減以及相移函數(shù) 為基礎(chǔ)，利用網(wǎng)絡(luò)綜合理論，先求出集總元件低通原型電路(再由頻率變換函 數(shù)，可變換為帶通濾波器電路)，然后將集總元件原型電路中的各元件用微波 結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)，本文介紹的是濾波函數(shù)選擇廣義切比雪夫濾波函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)綜合 法。圖1:網(wǎng)絡(luò)綜合法設(shè)計濾波器流程圖所謂分析(Analysis )就是由具體的電路結(jié)構(gòu)求出其結(jié)果的過程，所謂綜 合(Synthesis )就是由結(jié)果反推至電路結(jié)構(gòu)的過程。工程上濾波器都是要根據(jù) 客戶給的指標(biāo)來設(shè)計的，所謂的

2、指標(biāo)主要是指衰減指標(biāo)( Attenuation )。所以 在設(shè)計濾波器的過程中，往往需要先根據(jù)指標(biāo)確定結(jié)果(通常指的是S參數(shù)的模值)，然后根據(jù)所求得的滿足指標(biāo)的S參數(shù)結(jié)果確定電路結(jié)構(gòu)，此過程稱為濾波器的綜合。對于廣義切比雪夫濾波器，其濾波函數(shù)使用的是廣義切比雪夫 濾波函數(shù)(Generalized Chebyshev Filtering Function ), 一般可以通過改 變?yōu)V波器的階數(shù)N以及傳輸零點(diǎn)(Transmission Zero , Tz)的位置來使得濾波 器的響應(yīng)滿足指標(biāo)，也就是說廣義切比雪夫濾波器的階數(shù)與傳輸零點(diǎn)確定了， 其響應(yīng)也就確定了。如何由指標(biāo)確定階數(shù)與傳輸零點(diǎn)，現(xiàn)在通常使

3、用手工確定 然后在優(yōu)化調(diào)整的方法，工程上一般在客戶給出的指標(biāo)的基礎(chǔ)上加5dB的余量，然后通過改變階數(shù)與傳輸零點(diǎn)的數(shù)量和位置來使得濾波器的響應(yīng)(即 S參 數(shù))滿足加有余量之后的指標(biāo)，最后再由該響應(yīng)綜合得出微波電路的物理參 數(shù)。在濾波器綜合的過程中主要分為三步：由指標(biāo)綜合出階數(shù)與傳輸零點(diǎn)的數(shù) 量、位置(手工加優(yōu)化確定，此時確定的是歸一化低通原型頻率的傳輸零點(diǎn)位 置)；由階數(shù)與傳輸零點(diǎn)的數(shù)量、位置綜合出S參數(shù)(特征多項式的綜合)；第1頁共21頁最后由特征多項式綜合出耦合矩陣(耦合矩陣的綜合)；最后由耦合矩陣綜合 出具體的濾波器物理參數(shù)。耦合矩陣的綜合過程需要使用導(dǎo)納參數(shù) Y作為橋梁，即使用電路模型得

4、出 一個導(dǎo)納參數(shù) Y,再根據(jù)所得到的特征多項式(S參數(shù))得到另一個導(dǎo)納參數(shù) Y,最后令兩者相等得出耦合矩陣，這樣就求得了具有所需要響應(yīng)的電路模型， 然后再根據(jù)電路模型指導(dǎo)設(shè)計實(shí)際濾波器結(jié)構(gòu)。濾波器綜合過程中最重要的一 步就是耦合矩陣的綜合，雖然耦合矩陣是由電路模型得出來的，但是它可以和 實(shí)際的微波結(jié)構(gòu)一一對應(yīng)上，耦合矩陣有助于快速設(shè)計以及調(diào)試濾波器。一、濾波器的特征多項式濾波器是一個無耗的互易的二端口網(wǎng)絡(luò)，其必滿足無耗互易二端口網(wǎng)絡(luò)具 有的特性。在信號與系統(tǒng)中，通常使用的是復(fù)頻變量(7，這樣做更具有普遍性。雖然我們習(xí)慣使用復(fù)頻變量s，但是在實(shí)際中我們看到的往往是 TOC o 1-5 h z ，

5、在 工 8之間變化。對于一個負(fù)載終端網(wǎng)絡(luò)(圖 2),其內(nèi)部 含有電感、電容兩種器件，那么策動點(diǎn)函數(shù)輸入阻抗將可以表示為兩個關(guān)于sF(s)E(s)的多項式之比的形式：z(s)=n(s)/d(s),對于S參數(shù)我們知道Si表示的是端口 1的反射系數(shù)，通過傳輸線理論可知，反射系數(shù)與輸入阻抗有如下關(guān)系 ：S (s) _ 4s) - 1 _ n(s) - d(s)11z(s)1n(s)d(s)于是，S1也可以表示成為兩個多項式之比的形式。根據(jù)能量守恒公式_ _ * _ _ *G1(s)1(s)S21(s) S21(s)= 1可得:S2/s)Ps) _ *E(s) E(s)* *=F(s) F(s) Ps)

6、 Ps)此時得到了濾波器的三個特征多項式E、F、P,確定任意兩個可以通過能量守恒公式確定第三個。確定了這三個特征多項式，S參數(shù)也就確定下來了。需要注意的是，為保證網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)，E(s)必須為嚴(yán)格的赫爾維茨(Huruitz )多項式，其根必須分布在s的左半開平面內(nèi)。圖2:負(fù)載終端濾波網(wǎng)絡(luò)I owiess (I CTransmissionINeiwortt第2頁共21頁對于廣義切比雪夫濾波器，我們定義:F( s) / ；RP( s) /S#s): S21(s):E(s)21E(s)由能量守恒:*9*9P(s)P(s) / ； = E(s)旦s) 一 F(s)F(s) / ；R陽與二用于歸一化F、P

7、,是實(shí)常數(shù)。名用于歸一化濾波器通帶內(nèi)的最大幅 值，可以在特定的s下由P/E計算得出。大用于歸一化多項式F、E使其為首1 多項式（最高次項系數(shù)為 1） o通常特征多項式可寫成由根組成的因式相連乘 確定的多項式，如此構(gòu)成的多項式滿足此條件，當(dāng) nfz小于N的時候，由 S11（s）S11（s） +S21（s）S21（s） = 1可以得出在s趨于無窮的時候（假設(shè) F、E是首 1多項式）=1。當(dāng)nfz等于N的時候，同樣可得在s趨于無窮的時候（假設(shè) F、E、P是首 1 多項式），名R=/J?二11。由于無源濾波網(wǎng)絡(luò)無耗，E應(yīng)為N階（相同于濾波器階數(shù)）嚴(yán)格的赫爾維 茨多項式（由無源濾波網(wǎng)絡(luò)決定的），其復(fù)系數(shù)

8、為a、e、.、eN, F為N階多項式，其復(fù)系數(shù)為f0、f1、.、fN, P為nfz階多項式，nfz小于等于N,否 側(cè)當(dāng)頻率趨于無窮的時候 S21趨于無窮，這是不可能的。多項式根的個數(shù)等于其 階數(shù)，對于廣義切比雪夫濾波器而言，F(xiàn)的N個根（S1=0）全落在虛軸上（這是由廣義切比雪夫函數(shù)決定的），表示的是傳輸極點(diǎn)；P的nfz個根（&1=0）必須落在虛軸上或者是關(guān)于虛軸成對出現(xiàn)（這是由無耗互易網(wǎng)絡(luò)決定的），表 示的是傳輸零點(diǎn)。傳輸零點(diǎn)定義為 &1=0的點(diǎn)，分為兩類：.無窮遠(yuǎn)的：由于P的階數(shù)比E的階數(shù)少而產(chǎn)生的傳輸零點(diǎn)，由于 P為nfz階多項式 E為N階多項式，當(dāng)s =產(chǎn)的時候，&1=0,此時6=好處有

9、N-nfz個傳輸零 點(diǎn)。（不可見）.有限位置的：P關(guān)于虛軸對稱的一對復(fù)零點(diǎn)或位于實(shí)軸上的一對零點(diǎn)。（不可見）P位于虛軸上的傳輸零點(diǎn)。（可見）廣義切比雪夫濾波器相對于傳統(tǒng)切比雪夫濾波器而言最大的優(yōu)勢在于其引 入了有限位置傳輸零點(diǎn)，切比雪夫濾波器無論廣義還是傳統(tǒng)都有N個傳輸零點(diǎn)，傳統(tǒng)切比雪夫濾波器的 P=1, nfz=0,具有N個無窮遠(yuǎn)的傳輸零點(diǎn)，而廣義 切比雪夫濾波器引入有限位置處的傳輸零點(diǎn)，無論是關(guān)于中心頻率對稱還是非 對稱分布，是位于虛軸上還是關(guān)于虛軸成對出現(xiàn)，圖 3展示了廣義切比雪夫濾 波器有限傳輸零點(diǎn)的可能分布狀況（虛軸上的有限位置傳輸零點(diǎn)有助于提高帶 外抑制，實(shí)軸上的或是復(fù)數(shù)的關(guān)于虛軸

10、對稱的傳輸零點(diǎn)有助于改善群時延）。圖3:有限位置傳輸零點(diǎn)的可能分布狀況第3頁共21頁下面推導(dǎo)滿足無耗互易條件的二端口濾波網(wǎng)絡(luò)其特征多項式應(yīng)滿足什么條 件。二端口網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)定義如下(a、b是歸一化的入射、反射電壓波)：1 s12i a1b2 -.S21 S22 -a2 _對于無耗網(wǎng)絡(luò)，S參數(shù)滿足幺正性，能量守恒方程：Si(s)Si(s)S2i(s)S2i(s) = 1一 一 一一 - .* 一 一 一一Sz/ss)Si/s)Si2(s)=1以及唯一正交方程：SlOSijS)S21(S)S22(S)= 0對于互易網(wǎng)絡(luò)Sl2=S21,因此有：Sii(s)Sii(s)S2i(s)S2i(s) - 1

11、一 ，、-，、* . ，、-，、* Sz2(s)S22(s)S21Szi(s) = 1S1i(s)S21(s)S21(s)S22(s)= 0S參數(shù)寫成幅度相位的形式(S1i=S1ieHl,S2i =S2iejdl)S22=S22eja2),由能量守恒公式可得到1sli =S221，|Si|2+|S2i|2=i,由唯一正交公式可得到：S11 ej 電，S21 e，. + |S21 ej g. S11 e402 = 0S11 S21(ej 佃4)+ ej(&)= 0即:-1)由于S參數(shù)可寫成特征多項式之比的形式:第4頁共21頁S#s)=”s)=Fii(s)/；RP(s) / S2i( s)二 TO

12、C o 1-5 h z E(s)2iE(s)P(s)/； a-F22(s)/ ；R S22(s)二E(s)22E(s)并且它們都擁有共同是分母E(s),將E(s)的相位設(shè)為a(s), Fii(s)、F22(s)的相位設(shè)為8nii(s)、en22(s) , P(s)的相位設(shè)為&2i(s),有：$s)- %2i(s) - R(s),口i(s)- ii(s) q(s)%(s)-22(s)-n(s)- 71n 2i( s )，nii(s),冊 223)2=j(2k . i)此時有：不管s如何變化，特征多項式的相角必須滿足上式，這就有了限制條件：i.對于頻率由負(fù)無窮變化至正無窮的過程中(s在虛軸任意位置

13、)，要求 Bn2i(s)的相角為2/兀整數(shù)倍，故P的零點(diǎn)要么位于虛軸上，要么關(guān)于虛 軸對稱成對出現(xiàn)。2.對于頻率由負(fù)無窮變化至正無窮的過程中，9nii(s)+6n22(s)/2的相角為2/冗整數(shù)倍，故Fii(s)的零點(diǎn)與F22(s)的零點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱分布。由限制條件2可得Fii(s)與F22(s)根的關(guān)系：s22i = -siii TOC o 1-5 h z NN而 F22(s) = (s -s22i ), Fii(s) = (s - siii )，可得(s = j 切)： i曰i WNF22(s ) = s s22iNN*NN 一 ，、*-JI. I is - siii=(-i) III ;

14、s - siii =(-i) Fii(s)圖4:無耗互易網(wǎng)絡(luò)的特征多項式相角限制條件第5頁共2i頁當(dāng)N為奇數(shù)的時候，可得：0n22（S）= -0nii（S）+ Nn由公式：.s）J2”2八1）N此時Bn2i（S）滿足公式：-0n2i（S）+萬=5（2 k 1）由于S21的有限傳輸零點(diǎn)個數(shù)為nfz,而且這些零點(diǎn)要么位于虛軸上，要么 關(guān)于虛軸對稱成對出現(xiàn)。故0n21（s）滿足公式：.,、 nfz 二,入21（s） = 2k1二由上述兩個公式可得:nfz 二 1N 二 k1 -：二(2 k _ 1)2122nTCN - nfz -(二=-(2k . 1)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N-nfz為奇數(shù)的時候上式左邊與右

15、側(cè)相同，但是當(dāng)N-nfz為偶數(shù)的時候，為了滿足無耗互易網(wǎng)絡(luò)的特征多項式相角限制條件，“21（s）必須加上2/n ,等同于此時P要乘以j （在由根的因式連乘表示出之后乘以j）。N 為偶數(shù)的時候可得出相同的結(jié)論。二、廣義切比雪夫濾波器特征多項式的綜合廣義切比雪夫濾波器特征多項式的綜合指的是根據(jù)廣義切比雪夫濾波器的 階數(shù)N以及傳輸零點(diǎn)的位置（數(shù)量為 ND確定特征多項式E、P、F的過程。先 nfz由階數(shù)N以及傳輸零點(diǎn)個數(shù)及位置確定 P =口 f）,再由廣義切比雪 n=1夫濾波函數(shù)確定F,最后由能量守恒定律確定 E。應(yīng)注意：在進(jìn)行特征多項式綜 合的過程中，我們往往是先得出這幾個多項式的根，再由這些根來構(gòu)

16、造多項式 的，故三個特征多項式可寫成如下的形式（它們都是首 1多項式）：P(s)=1s - sp,1s-sp,2 s - sp,Nz, ：- = 1或jF(s) = :is -sf ,1 s - sf,2 . s -sf,NE(s)is-se,1 s-se,2 .s -se,N前文知濾波器的S參數(shù)可表示為多項式之比的形式:F()/ ；RE()邑（）P( ) / ;E()1. 10RL/1 - 1P()F( ) /假設(shè)多項式都為首1多項式，定義濾波函數(shù):第6頁共21頁F( ；：j )Cn( J S ( )S (、*P( JR ).-T.一 Cn9) I1 + J Cn9)名R21( )21( )

17、；2e( ,)e(.)* y1 -j濾波函數(shù)是廣義切比雪夫函數(shù)的濾波器稱為廣義切比雪夫函數(shù)濾波器。廣 義切比雪夫函數(shù)定義為：NCn( ) = cosh 、,1- 1 / n8sh-，匚f其中，霜是傳輸零點(diǎn)的位置，若N個傳輸零點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處，2儂)=6 , 此時廣義切比雪夫濾波函數(shù)退化為切比雪夫濾波函數(shù)：Cn( -)=cosh |N cosh j( )歸納特征多項式的綜合步驟如下:nfz第一步：由R6)= 口儂 % ),n 1R (在nfz小于N的時為1)、110RL/10-1 F(s) / Wr求出P、 口1(需注意N-nfz為偶數(shù)的時候P應(yīng)乘以J)第二步：由 Cn(c)=譽(yù)，Cn(b) =

18、cosh cosh，(xn(。)求出 P( 1)|l_n A,J第三步：求出P、F、.、名后由能量守恒:P(s)P(s) /= E(s)日s) F(s)F(s) / -確定E的根(取左半開平面 內(nèi)的)。現(xiàn)簡要介紹第二步，根據(jù)恒等式:cosh1 x = ln( x + 4x2 - 1), cosh x1x . x、=-(e e )2化簡廣義切比雪夫函數(shù)Cn(。)：取an1=xn9)、bn = (x?8)T ,得 a/ - bn2 = 1 ,有:1 NNCn(=-n+bn )+-bn )，再將 X/C =8 - 1 / 8n 代入 an與 bn1 - - / - .n中，計算可得:第7頁共21頁C

19、n(：.-；)= 一2）f（s）麗其中 cn =(6 1 / con 卜 dn = 6“1 _ 1 / s； 其中6 Mo2-1 ,取 Cn(。)的 分子：1Num Cn( ) = ； Gn( -) Gn(-)Gn( )N=Jll(cnn 1 -Un( )Vn( .)Gn( )=Un( )Vn( .)采用是否含有純的變量6來定義Un()、Vn(0)：Un( ) = u0u1 u2 2 HI uN N2NVn( ) 7 No . vr. V2 HI Vn-然后進(jìn)行遞歸計算，先由叫計算,由G9）分離變量0、/得出“切、MM再由眄、外、8n依次遞歸計算出G0）、G（M、.、8）從而 計算出 （。卜

20、山即、.、un（m以及v）、巾0）、.、vn（m此過程可交由 計算機(jī)處理（ 1999,參考文獻(xiàn)1）,注意：6之變量是純的缶變量。最終：一 _-|1一_，-11 一，Num9） = - Gn（即 +6（切）1 =萬 Un（o） + Un（o） +Vn（co） +Vn（co） = UJo） 可得：特征多項式F的根與Un（M的根相同，然后由這些根可構(gòu)造出特征多 項式F （我們構(gòu)建特征多項式的時候都是根據(jù)根來確定的，這樣做可以使得特 征多項式為首1多項式）。應(yīng)注意此時綜合出來的 S參數(shù)是低通原型頻率的 S 參數(shù)，其中心頻率為0,起始頻率（start frequency ）與終止頻率（stopfrequ

21、ency ）分別為-1與+1。這是因為我們在進(jìn)行特征多項式綜合的時候最先 得到的零點(diǎn)位置（也就是 P的根，是得出P的關(guān)鍵）是使用低通原型頻率表示 的，將來還需要進(jìn)行頻率變換得出實(shí)際的帶通濾波器的S參數(shù)響應(yīng)。使用低通原型頻率表示的S參數(shù)更具有普適性（適用于任何中心頻率及帶寬的帶通濾波 器）。在綜合有限Q值濾波器的傳輸、反射響應(yīng)的時候，s = j co不再是僅在虛軸 上變化了，而是應(yīng)該引入一個正實(shí)因子仃使得s + j 0。此時當(dāng)頻率由負(fù)無窮變化至正無窮的時候，s不再位于虛軸上了。這樣導(dǎo)致的結(jié)果是使得S參數(shù)波形的拐角由尖銳變得圓滑，特別是在邊帶下降快速的地方尤為明顯。由于第8頁共21頁有限Q值的影響

22、，可能會使得邊頻處的帶內(nèi)插入損耗過大，從而滿足不了指 標(biāo)，工程上解決的辦法是適當(dāng)?shù)耐卣箮挘ㄌ貏e是在實(shí)零點(diǎn)個數(shù)多、離通帶近的 那一側(cè)）。圖5:有限Q值對S參數(shù)帶來的影響40II.WO11 MO 11 I ZOOT T2.02012,0 1ZMCFig wcr(M珥o D 36io11.曲 ll.ftTD H.gBO 11gMQ 1000 1JJ5W 12- 1?jO3O i工ZO Frsquoncy (MH*由卜一f01.Qi，卅,+，皿上4 口口 生=BW Q （仃的計算公式，Qu為無載Q值，f0為帶通濾波器中心頻 率，BW為絕對帶寬） 三、廣義切比雪夫濾波器耦合矩陣的綜合耦合矩陣的重要性在

23、于它是連接理想 LC濾波電路模型與實(shí)際微波濾波結(jié)構(gòu) 的橋梁，具有明顯的物理意義（理想 LC濾波電路之所以無法運(yùn)用在微波頻段主 要是由于在微波頻段無法找出集總的電容電感）。耦合矩陣可以直接與微波濾 波器（無論是同軸、微帶還是波導(dǎo)等結(jié)構(gòu)的濾波器）的物理結(jié)構(gòu)一一對用上（如圖6）,可以指導(dǎo)我們設(shè)計調(diào)試濾波器。由第二節(jié)廣義切比雪夫濾波器特征多項式所求得的S參數(shù)是關(guān)于低通原型頻率的，需要頻率變化至帶通。公式如下：s - j其中 =而總 為帶通濾波器的中心頻率（注意：中心頻率不是在通帶的正中間，在帶寬寬的時候偏離正中間更明顯），以為起始頻率,。2為終止頻第9頁共21頁率，物為起始頻率。將上節(jié)求出的 S參數(shù)中

24、的s使用上式代替就可的得出實(shí)際 的帶通S參數(shù)。低通原型頻率到帶通頻率的轉(zhuǎn)換公式為：0 帶通中心頻率帶通頻率0 帶通中心頻率 I仍低通原型頻率=g帶通終止頻率一 &帶通起始頻率|_切帶通中心頻率&帶通頻率此公式亦可將低通原型頻率的零點(diǎn)位置（可見的虛軸上的P、F的根）轉(zhuǎn)換至實(shí)際頻率處。下面先介紹綜合N階耦合矩陣的步驟（1999,參考文獻(xiàn)1）,然后介紹現(xiàn)在 工程上常用的耦合矩陣綜合的步驟（2003,參考文獻(xiàn)2）,圖7展現(xiàn)了由特征 多項式綜合N+2階耦合矩陣的過程（N階耦合矩陣類似）。N階耦合矩陣（僅存 在交叉耦合）最多可產(chǎn)生 N-2個有限位置傳輸零點(diǎn)，N+2階耦合矩陣（還存在 源/負(fù)載耦合）最多可產(chǎn)

25、生N個有限位置傳輸零點(diǎn)（有限位置傳輸零點(diǎn)的最大個 數(shù)）。圖6: N+2階耦合矩陣與波導(dǎo)濾波器物理結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系5*MN*&11陶鬻n只Manlnt oolc ingFukJwJ 5 couptong mfiiblji 即Mheais LCrass-coupfing (negdllvE j峰 Woutpuit F = m加gX XX癡融附惘GHWtjf tkrirnji ofiwtTRecortfigjrakan d / oou0llngi matrii圖7: N+2階耦合矩陣的綜合過程第10頁共21頁B(s)RsRl產(chǎn)RC(s):As) B(s) I _qs)qs)下面介紹N階與N+2階耦合矩

26、陣綜合通用第一步：由特征多項式得出 Y參 數(shù)。這里要使用ABCD巨陣作為橋梁，先通過 S參數(shù)得出對應(yīng)的ABC辱數(shù)再由 ABC或數(shù)確定與其對應(yīng)的Y參數(shù)。若二口濾波網(wǎng)絡(luò)（圖1）端接未歸一化的電阻，則其 ABCD巨陣可表示為：-iABCD )jP(s)/ ;如果端接電阻歸一化:r -1ABCD =其中，由第一節(jié)確定的二口濾波網(wǎng)絡(luò)的S矩陣與ABCD巨陣的關(guān)系為:Si2(s)=S2i(s)P(s) / ； _ 2P(s) / ；E(s); As)B(s)C(s)D(s)Sn(s)F(s)/ ；rE(s)A(s)B(s) - C(s) 一 Rs)A(s)B(s)C(s)D(s)S22(s)(-1) F(S

27、) / ；REsiD(s) B(s) 一 C(s) A(s)As) B(s) C(s) D(s)接下來要確立 A(s)、B(s)、C(s)、D(s)與特征多項式的關(guān)系，需要區(qū)分奇 偶階因為在N為奇數(shù)或偶數(shù)的時候 A(s)、B(s)、C(s)、D(s)的系數(shù)的虛實(shí)性(指的是常數(shù)項是純虛數(shù)還是純實(shí)數(shù))不一樣。N為偶數(shù)的時候：2NA(s)= j Im e0 f0Ree13sj Im e2 f2s |jIm6nTns2222llN NB(s)= Re efojIme13sRe e2f2 s|ReeN TnsC(s)= Re e -fjIm號-3sRee? -f? s2|ReeNnsN2ND(s)= j

28、 Im e0fReefsj Im e2f2s |jImeN - TnsN為奇數(shù)的時候：A(s) = Re efojIme1fsRe e2f 2 s2|j1meNf nsNB(s) = j Im e0f0Ree1f 1sj Im e2 f2 s2|lReeNf nsN2NC(s) = j Im e0- fRee-fsj Im e2- f2 s IIIReeN-f nsD(s) = Re e -fjIme-fsRe e2 -f2 s2|jImeN-TnsN第11頁共21頁jP(s)/ e與fi為特征多項式E、F /曲的復(fù)系數(shù)。這些多項式不但滿足前文給出的 二口濾波網(wǎng)絡(luò)的S矩陣與ABCD巨陣的關(guān)系還

29、滿足第一節(jié)推導(dǎo)出的無耗互易網(wǎng)絡(luò) 的關(guān)系。該二端口濾波網(wǎng)絡(luò)的Y參數(shù)可表示為:Yli(s) Yi2(s)I _1-yi1n(s)Yl2n(s)I721(S)y22(S)jYd(S)了21n(S) 丫22n(S)j根據(jù)ABCD巨陣與Y矩陣的關(guān)系可得出Y矩陣與特征多項式之間的直接聯(lián) 系：Yii(s) yi2(s) I _1 Yiin(s)了21(S) y221yd 卜21nyi2n(S)y 22n( S) jJg)B(sj l-P(s)-AabcHs) IZAs)對于互易網(wǎng)絡(luò)ABCD巨陣行歹1式為 式的關(guān)系：1,最終得出二端口的 Y參數(shù)與特征多項yd(s) = B(s)yiin(s) = Ds)y 2

30、2n(s) = As)P(s)y21n(s) = yi2n(s)=Z可以發(fā)現(xiàn)二口濾波網(wǎng)絡(luò)的四個 Y參數(shù)也都可以寫成多項式的形式。至此， 耦合矩陣綜合第一步結(jié)束，無論是 N階矩陣還是N+2階矩陣以上第一步都是相 同的。接下來是根據(jù)電路結(jié)構(gòu)再一次確定Y矩陣，然后令其第一步得出的 Y矩陣相等即可得出初始的耦合矩陣，初始的N階耦合矩陣幾乎所有地方的值都非零,初始的N+2階矩陣給出了全規(guī)范形式的耦合矩陣(諧振腔間無耦合，源 /負(fù) 載與任意諧振腔間都存在耦合，源與負(fù)載直接耦合)。N階N合矩陣綜合第二步：由全耦合電路模型求得對應(yīng)的 Y矩陣。圖7給出 了串聯(lián)形式的全耦合低通原型電路模型，并聯(lián)形式與串聯(lián)形式是對

31、偶的，它們 的結(jié)果是相同的。我們通過圖 8所示的電路，運(yùn)用基爾霍夫環(huán)路定律來求得 n 個環(huán)路電壓與電流的關(guān)系，通過最外圍的(輸入端與輸出端)電壓電流關(guān)系可 以得出該網(wǎng)絡(luò)的Y參數(shù)(丫參數(shù)定義為端口電流與電壓的關(guān)系)。圖8:全耦合低通原型濾波器模型及其內(nèi)部 N階電路(串聯(lián)形式)第12頁共21頁圖8所示的內(nèi)部電路中可以使用兩條歸一準(zhǔn)則：可以使得N個L/C全為1,然后使得N-1個變換器的值不為1,也可以使得N-1個變換器的值為1, N個 L/C不為1,這兩種方法導(dǎo)致的電氣性能都是一樣的。在耦合矩陣的綜合過程中 我們一般取N個L/C全為1,然后使得N-1個變換器的值不為1。由基爾霍夫環(huán)路定律（環(huán)路電壓降

32、為 0）:t-teg1,0,0, . ,0t =R+sI +jM| -1/2/3,，iN I其中:一 Rs000R=.j00 1，sI =0R.0一 jB1 jM12 . jM jM1,N |jM12jB2jM=.Mn,1jBN,jMN,NJMn,1. jMN,NjBN jM是N階耦合矩陣。其中 B=M指的是FIR （阻抗不隨頻率變化的元 件），F(xiàn)IR元件導(dǎo)致不對稱響應(yīng)，導(dǎo)致特征多項式的系數(shù)為復(fù)數(shù)而不是實(shí)數(shù)（同步調(diào)諧，對稱響應(yīng)的特征多項式的系數(shù)為實(shí)數(shù)），僅在頻率變換至帶通或帶阻濾波器的時候才可以通過改變各個諧振腔的各自的諧振頻率來實(shí)現(xiàn)。M指的是腔間耦合，這里指的是不同網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的耦合值。通常

33、R和R不為1.則需要使用在源與負(fù)載處分別加入阻抗值為 用與JRL的阻抗變換器（電壓源阻抗為 0,電流源阻抗無窮大）類似于變壓器實(shí)現(xiàn)的阻 抗變換，此時終端阻抗轉(zhuǎn)化為終端導(dǎo)納。圖7:全耦合N+2階低通原型濾波器模型（并聯(lián)形式）第13頁共21頁對于上述網(wǎng)絡(luò)：eg1,0,0, . ,0t =R + sI +jM UJs，. Jn,找出電壓與電流的關(guān)系:區(qū)-Rsi iI 00 -RNi N -|s +jMi,ijMi2 jMN,1：jMN,ijMi2s jM,2jMi,N_ijMi,N-ii 1i2i3s jMN,NjMN,N_i取vi =es - Rsii, Vn = -RJn,得出阻抗矩陣:ii2Z

34、. i3 ,取逆求出導(dǎo)納矩陣:I JnjMN,Ns +jMN,N_N -vj0丫1 0 N 一僅取丫矩陣四個角的元素，得出二口網(wǎng)絡(luò)輸入輸出電壓電流的關(guān)系（二口 網(wǎng)絡(luò)的丫矩陣）：F = y yiN11Vli此式即為通過電路模型得出的Y矩陣。i N y Ni y NN V NN階耦合矩陣綜合第三步：令使用耦合矩陣求出的 特征多項式求得的Y矩陣相等求出耦合矩陣。丫矩陣與前文講過的通過由特征多項式得出的丫矩陣:yii（s） yi2（s）I = i yiin（s）ly2i（s） y22（s）_| yd（s） Ly2in（s）yi2n（s）l iD（s）丫22n”）Rs）-Rs）-P（s）1zAs）第i4

35、頁共2i頁Rs)=D(s)=A(s)22y21 yII. J1 2V V -sdy-y y-sn11s/121yn 2 2yYd(s)=Yl1n(s) y22n(s)y 21n(S)由電路模型得出的Y矩陣:由于耦合矩陣是實(shí)對稱矩陣，可以酉對角分解為：-M = T A Tt , T為正交矩陣（N行為M的N個正交的特征向量），A為 對角矩陣（對角線上為 M的N個特征值）。我們只利用yi2與y22 （使用其他兩個也有相同效果）： TOC o 1-5 h z 11y2i = -j t A V - l1N, y22 = j j -a ,Tt -i lNN上式可以發(fā)現(xiàn)，如果耦合矩陣的特征值特征向量不變則其

36、進(jìn)行相似變換的 時前后響應(yīng)不變，這給耦合矩陣的化簡帶來了思路。上式右邊可化為：T A Tt - I=32/ ,j = 1,nk W 1 k于是:丫2仆）=y22(s)二y 21n(s)ydy 22n(s)yd(s)-j.N或k - kNT2、TNkk 1一k第15頁共21頁而上述兩個Y參數(shù)可表示成為多項式的形式，運(yùn)用部分分式展開法對上述兩個多項式進(jìn)行展開（比較兩式可見凡可通過yd（s）求得，下面介紹如何求T):丫2小）y21n(s)ydN2ksy22n(s)Nd(s)其中r為多項式的留數(shù)，比較上述兩個式子可得:丁業(yè)=%Tikr ,1 21k由于源端與終端負(fù)載一般不為 1,在加入了源/負(fù)載的阻抗

37、變換器之后（相當(dāng)于加入變壓器進(jìn)行阻抗變換）,變換后的 Y參數(shù)與變換前對比有:MSiyii變換前叭叫12變換前JMSiMNlLyZi 變換前MU 22變換前于是此時:Tk =Tik / KE 工/ M求出T矩陣的第一行與最后一行后，使用施密特正交化求出其他行，至此求得所有特征值與特征向量，即可通過 M=TF求出N階耦合矩陣M 通過這種方法求出的耦合矩陣M 一般所有的值都非零，難以化簡，而且未包含 足夠的外部耦合的信息，故現(xiàn)在所使用的大都是改進(jìn)過后的 N+2階耦合矩陣, 下面介紹N+2階耦合矩陣的綜合步驟。N+2階耦合矩陣綜合第二步：通過特征多項式構(gòu)建Y矩陣。2003年Cameron提出了廣義切比

38、雪夫濾波器的橫向N+2階陣列模型結(jié)構(gòu)（圖8）,大大簡化了耦合矩陣的綜合過程，通過這種方法，不需要使用施密 特正交化就可得出N+2階耦合矩陣，簡化了耦合矩陣綜合過程中的數(shù)學(xué)運(yùn)算。圖7:橫向N+2階陣列模型結(jié)構(gòu)及其第k個并聯(lián)低通諧振器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)第16頁共21頁由第二節(jié)知，二口濾波網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)可寫成多項式之比的形式:S11(s)F(s)/ ；rE(s)S2/s)P(s) / 二 一 1- 4 c RL/10E(s)V10P(s)_1 F(s)/ 而s = 1j當(dāng)nfz小于N的時候飛 = 1 ,當(dāng)nfz等于N的時候aR = w / Jw2 1由耦合矩陣綜合的第一步知：Yn(s) y/s).21(s)

39、y22(s)_1y11n(s)y12n(s) Iyd(s) y21n(s)y22 n一1 jus)Rs) |-P(s)-AabcdP(s) IZAs)N為偶數(shù)的時候: TOC o 1-5 h z As) = j Im e0f Ree1f 1sj Im e2 f2 s2 川jImeNf nsN2NB(s) = Re e0f0jIme1f1sRe e2f2 s川ReeN fNsC(s)= Re e。-f。jIme1-fsRe e2 -f? s2川ReeN- f nsNDs)= j Im e0foRee1-f1sj Im e2-f2 s2 川jImeN - fNsNN為奇數(shù)的時候：As), Re e

40、0f0 j Im e13 sRe e2f2 s2 川 jIm eNf n sNRs) = j Im e0 f0 Re e13 sj Im e2 f 2 s2 川Re eNf n sN2NC(s) = j Im e0 - f 0 L Re e1 - f 1 s j Im e2 - f 2 s 川 Re eN - f n sD(s)= Re eg -fg j Im e1-f s Re e2 - f 2 s2 川 j Im eN將上式整理如下:第17頁共21頁(N為偶數(shù))(N為奇數(shù))丫2仆)=y21n(s) / Yd(s) = (P(s) / ；) / nq(s) y2/s) = y2n(s) /

41、yd(s) = ni(s) / mi(s)丫2仆)=y21n(s) / yd(s) =(P(s)/ ；) / ni(s) y22(s) = y22n(s) / yd(s) = m(s)/ n1(s)2m(s) = Re e0fo j Im e1fls Re e2 f2 s2Ms); j Im e0 foRe e1fls j Im e2 f2 se與fi為特征多項式E、F /跖的復(fù)系數(shù)。與N階耦合矩陣的綜合方法類似，我們只需要兩個Y參數(shù)y21與y22就可以綜合出N+2階的耦合矩陣。對于y21與y22的分子多項式，可以使用留數(shù)法進(jìn)行部 分因式展開，通過公共的分母多項式 yd可以求出耦合矩陣的N個特

42、征值。此時整個網(wǎng)絡(luò)的Y矩陣使用留數(shù)的矩陣形式表示為：Yii(S)yds)1Y11n(s) y12n(s)1_j -0 叼十. 1711k r12k :y21(s) y22yd了 21n y22n0 j 二s-32水 底心其中r為多項式的留數(shù)。當(dāng)nfz (有限位置傳輸零點(diǎn)個數(shù))小于 N的時候，K丈為0;當(dāng)nfz等于N的時候(全規(guī)范濾波器)，由于 y21(s)的分子多項式 y21n(s)與公共的分母多項式y(tǒng)d(s)階數(shù)相同在求解r21k之前，需要提出一個實(shí)常 數(shù)K望, 使y21n(s)的階數(shù)減小1次，由于全規(guī)范濾波器的N-nfz=0是偶數(shù)，那么 為了滿足無耗互易網(wǎng)絡(luò)的幺正性，P必須要乘以j。實(shí)常數(shù)K/是不隨頻率變換的，我們令頻率等于無窮大來求出實(shí)常數(shù) K*,由 于在構(gòu)造分母多項式y(tǒng)d(s)的過程中，結(jié)果使得其最高次項的系數(shù)為 1 +1 /標(biāo) 由于三個特征多項式都是先歸一成為首 1多項式，那么可求出實(shí)常數(shù)KjKydsodjP(s)/ ；yd(s)K.-1_ ；R 111 / ；R 一 ；R1然后新的 丫21n(S1 =y21n(S) -jKjd(S)N+2階耦合矩陣綜合第三步:通過全規(guī)范橫向拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)構(gòu)建Y矩陣。分析圖7所示的全規(guī)范橫向拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)也可以得到一個 Y矩陣