1、自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)基本概念根軌跡圖的繪制根軌跡圖分析(考試、考研） 根軌跡繪制(考試重點） 根軌跡的繪制(考研會考）參量根軌跡的繪制(考研會考）本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)基本概念根軌跡圖的繪制根軌跡圖分析(考試、考研）本章目錄4-1 根軌跡的基本概念4-2 180度根軌跡的繪制4-3 0度根軌跡的繪制4-4 參量（數(shù)）根軌跡的繪制4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能4-6 控制系統(tǒng)復(fù)域設(shè)計本章目錄4-1 根軌跡的基本概念4-1 根軌跡法的基本概念1. 根軌跡的定義例定義：當開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)特征根在s平面上

2、形成的軌跡，叫做根軌跡。4-1 根軌跡法的基本概念1. 根軌跡的定義例定義：當開環(huán)系2. 根軌跡與系統(tǒng)性能(為何要繪制根軌跡，根軌跡的用途） 有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能。1)穩(wěn)定性：當參數(shù)變化時，若根軌跡是否進入S平面的右半平面？參數(shù)為何值時進入？當所有根軌跡分支都在左半平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定。2) 穩(wěn)態(tài)性能：回憶：穩(wěn)態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數(shù)。由根軌跡圖不僅可以方便的確定開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數(shù)，而且可以根據(jù)給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求, 確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。3)動態(tài)性能：回憶：動態(tài)性能形態(tài)主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點。從根軌跡圖上，可以直觀地看到特征根隨著參數(shù)的變化情

3、況，從而，可以方便地確定動態(tài)性能隨著參數(shù)的變化情況。2. 根軌跡與系統(tǒng)性能(為何要繪制根軌跡，根軌跡的用途）1)3. 根軌跡法的基本任務(wù) 如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點。一旦確定閉環(huán)極點后，傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點可由開環(huán)傳遞函數(shù)直接求得。 在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應(yīng)可利用拉氏變換的方法求出。 簡而言之，就是由根軌跡圖求系統(tǒng)的閉環(huán)極點。3. 根軌跡法的基本任務(wù) 如何由已知的開環(huán)零、極4. 根軌跡方程（首一式）（首一式）與靜態(tài)誤差系數(shù)法所用的標準形式不同4. 根軌跡方程（首一式）（首一式）與靜態(tài)誤差系數(shù)法所用的標注意： 首

4、一式和尾一式的轉(zhuǎn)換關(guān)系尾一式首一式根軌跡增益與開環(huán)增益的轉(zhuǎn)換關(guān)系注意： 首一式和尾一式的轉(zhuǎn)換關(guān)系尾一式首一式根軌跡增益與開環(huán)5. 繪制根軌跡的兩個基本條件5. 繪制根軌跡的兩個基本條件也就是說，繪制根軌跡時，只需要使用相角條件即可。也就是說，繪制根軌跡時， 純粹用試驗點的辦法手工作圖，工作量是十分巨大的，而且對全貌的把握也很困難，于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使根軌跡繪圖更快更準。4-2 180度根軌跡（常規(guī)根軌跡）的繪制 純粹用試驗點的辦法手工作圖，工作量是十分巨大自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（無窮零點）（無窮極點）（無窮零點）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡

5、法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（續(xù)）（續(xù)）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解且均為實數(shù)開環(huán)零、極點。且均為實數(shù)開環(huán)零、極點。（續(xù)）（續(xù)）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（續(xù)）（續(xù)）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解 由兩個極點（實數(shù)極點或者復(fù)數(shù)極點）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當 從零變化到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到重根點的距離為半徑的一個圓，或圓的一部分。這在數(shù)學上是可以嚴格證明的。小結(jié)論： 由兩個極點（實數(shù)極點

6、或者復(fù)數(shù)極點）和一個有限零（續(xù)）（續(xù)）另外，如果開環(huán)系統(tǒng)只有無限零點，則在重根點方程中取另外，如果開環(huán)系統(tǒng)只有無限零點，則在重根點方程中?。ɡm(xù)）（續(xù)）實際上是條件極值問題。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程具有實數(shù)等根或者復(fù)數(shù)等根時， 為某一極值。(參考文獻）實際上是條件極值問題。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程具有實數(shù)等根或者復(fù)數(shù)等自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（續(xù)）（續(xù)）例4-3P155例4-3P155（續(xù)）考試要求做成如上形式的圖形。（續(xù)）考試要求做成如上形式的圖形。根與系數(shù)的關(guān)系可證此結(jié)論，P158規(guī)則9對于判斷根軌跡的走向很有用。根與系數(shù)的關(guān)系可證此結(jié)論，P158規(guī)則9對于判斷根軌跡的走向熟記P157

7、表4-1，考試、考研必考根軌跡的繪圖與定性、定量討論。(考試時，標準根軌跡概略圖如何畫？）熟記P157表4-1，考試、考研必考根軌跡的繪圖與定性、定量請牢記三句話：繪制根軌跡依據(jù)的是開環(huán)零極點分布，遵循的是不變的相角條件，畫出的是閉環(huán)極點的軌跡。請牢記三句話：注意：規(guī)則9的體現(xiàn)，左右平衡（草圖）注意：規(guī)則9的體現(xiàn)，左右平衡（草圖）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解 應(yīng)當指出，由于matlaba軟件包功能十分強大，運行相應(yīng)的matlab文本，可以方便的獲得系統(tǒng)準確的根軌跡圖。 今天，在計算機上繪制根軌跡已經(jīng)是很容易的事，由于計算機強大的計

8、算能力，所以計算機繪制根軌跡大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改變一次增益K求解一次特征方程。讓K從零開始等間隔增大，只要K的取值足夠多足夠密，相應(yīng)解特征方程的根就在S平面上繪出根軌跡補充：用matlab繪制精確的根軌跡圖 應(yīng)當指出，由于matlaba軟件包功能十分強大，運 用Matlab繪制根軌跡圖十分準確、快捷?，F(xiàn)在用一個例子來說明用法。 例 考慮負反饋系統(tǒng),設(shè)其中用Matlab繪制根軌跡只要知道開環(huán)傳遞函數(shù)分子分母的系數(shù)，并分別填入分子向量num和分母向量den中，然后調(diào)用繪制根軌跡的專用函數(shù)rlocus就行了。 用Matlab繪制根軌跡圖十分準確、快捷?，F(xiàn)在用一個num= 1 2

9、 4;den=1 11.6 39 43.6 24 0;rlocus(num,den) 在Matlab的命令窗（Command Window）中執(zhí)行這個程序，運行后就自動繪出根軌跡如圖，從根軌跡圖可以看出：當0K14或64K195時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。用光標敲擊根軌跡上的某一點會出一個文字框，標出該點的座標、K值、阻尼系數(shù)、超調(diào)量、頻率等。 對于本例，最簡單的程序就是： num= 1 2 4; 在Matlab的命令窗自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解 在MATLAB窗中，進入FileExport，可將繪出的根軌跡圖存為需要的圖形文件，比如命名為kka.jpg，這個圖形文件可以插入Word文

10、擋。 與繪制根軌跡有關(guān)的函數(shù)還有： pzmap繪制根軌跡的開環(huán)零、極點 rlocfind計算給定點的K值 sgrid在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數(shù)和自然頻率柵格 zgrid在離散系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數(shù)和自然頻率柵格 在MATLAB窗中，進入FileExport，可將例如，在上列程序之后增加語句： k,p=rlocfind(num,den) 執(zhí)行后用光標（十字）左單擊根軌跡上的任一點，會同時在每支根軌跡上出現(xiàn)紅十字標出n個閉環(huán)極點的位置，命令窗中出現(xiàn)這n個閉環(huán)極點的座標該點和它們對應(yīng)的K值。 例如，在上列程序之后增加語句： k,p=rlocfindMatlab文本：G=tf(1,1 3 2

11、 0);pzmap(G);rlocus(G);Matlab文本：例 考慮負反饋系統(tǒng),其中 如果按基本規(guī)則，圖6（a）和6（b）兩種形狀都有可能性，實際上用Matlab繪出是圖6（a），當a增加時根軌跡的中間部分在變化，當a=12 Matlab繪出根軌跡如圖6（b）。 例 考慮負反饋系統(tǒng),其中 如果按基本規(guī)則，圖6（a(b) (a) 圖4-6 兩種根軌跡(b) (a) 圖4-6 兩種根軌跡4-3 0度根軌跡的繪制 一般來說，零度根軌跡的來源有兩個：一種是非最小相位系統(tǒng)中包含S最高次冪的系數(shù)為負的因子；其二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋的內(nèi)回路。前者是被控對象本身特性所產(chǎn)生的，或者是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變換過程

12、中所產(chǎn)生的；后者是由于某種性能指標要求，是的復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計中，必須包含正反饋內(nèi)回路所致。（P165）注：非最小相位系統(tǒng)概念指在S右半平面具有開環(huán)零極點的控制系統(tǒng)。4-3 0度根軌跡的繪制 一般來說，零度根軌跡的0度根軌跡的規(guī)制規(guī)則0度根軌跡的規(guī)制規(guī)則自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解熟記 P166，表4-3熟記 P166，表4-34.84.84-4 參量根軌跡的繪制4-4 參量根軌跡的繪制自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解為為自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能4-5 利用根軌跡

13、分析系統(tǒng)的性能1. 閉環(huán)極點的確定4.41）比較簡單的做法是：先繪制根軌跡圖，然后用試探法確定實數(shù)閉環(huán)極點的數(shù)值，最后用綜合除法得到其余的閉環(huán)極點。1. 閉環(huán)極點的確定4.41）比較簡單的做法是：先繪制根軌跡2）Matlab求解會很簡單（降冪長除法）模值條件2）Matlab求解會很簡單（降冪長除法）模值條件2. 附加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響 在控制系統(tǒng)設(shè)計時，我們常用附加位置適當?shù)拈_環(huán)零點的方法來改善系統(tǒng)性能。因此，研究開環(huán)零點變換時的根軌跡變化，有很大的意義。2. 附加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響 在控制系統(tǒng)設(shè)計時規(guī)則9的體現(xiàn)規(guī)則9的體現(xiàn)3. 閉環(huán)系統(tǒng)零、極點位置對系統(tǒng)時間響應(yīng)的影響（結(jié)合根軌跡

14、圖）若具有靠近原點的偶極子，則這種偶極子不能省去。(實際3-6倍即可。)P81P1683. 閉環(huán)系統(tǒng)零、極點位置對系統(tǒng)時間響應(yīng)的影響（結(jié)合根軌跡圖欠阻尼二階系統(tǒng)的超調(diào)量 考試、考研題型：給定超調(diào)量，利用主導(dǎo)極點的概念求出滿足超調(diào)量要求的增益。欠阻尼二階系統(tǒng)的超調(diào)量 考試、考研題型：給定超調(diào)量，利用主導(dǎo) 閉環(huán)極點分布與暫態(tài)分量的運動形式（模態(tài)的概念）j閉環(huán)極點位置的共軛 閉環(huán)極點分布與暫態(tài)分量的運動形式（模態(tài)的概念）j閉4. 性能分析舉例4.64. 性能分析舉例4.6自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌

15、跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解4.74.7（兩種情況）（兩種情況）第四章 考試、考研題型題型一1.給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡2.根據(jù)穩(wěn)定性或者穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定更軌跡增益的取值或取值范圍。進而確定響應(yīng)的閉環(huán)極點。3.討論改善系統(tǒng)性能的舉措（添加零極點等）題型二1.給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡圖。2.進一步給定系統(tǒng)的動態(tài)性能要求（比如阻尼比），利用主導(dǎo)極點的概念確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點，和所對應(yīng)的根軌跡增益。題型三參數(shù)根軌跡繪制注：以上題型不會單獨出，往往會結(jié)合第二章和第三章的題一起出。第四章 考試、考研題型4-6 控制系統(tǒng)的復(fù)域設(shè)計控制系統(tǒng)根軌跡設(shè)計法的

16、基本思路：首先，利用已知的系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，根軌跡圖應(yīng)當是準確的(可以利用matlab繪制）。第一種情況：由系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差等要求確定下根軌跡增益，利用根軌跡圖通過圖解法找出閉環(huán)極點(試探法、綜合除法等）。一旦確定閉環(huán)極點后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點利用開環(huán)傳遞函數(shù)很容易直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應(yīng)可利用拉氏變換的方法求出。第二種情況：由系統(tǒng)的性能指標（超調(diào)量，振蕩與否等），先確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點，進而利用模值條件確定根軌跡增益。(通常這種設(shè)計方法與閉環(huán)主導(dǎo)極點、二階系統(tǒng)的阻尼比聯(lián)系比較密切）第三種情況：復(fù)雜校正裝置的設(shè)計

17、，如附加開環(huán)零點等。4-6 控制系統(tǒng)的復(fù)域設(shè)計控制系統(tǒng)根軌跡設(shè)計法的基本思路：例4-9 自動平衡稱系統(tǒng)要求完成以下工作：1）建立系統(tǒng)的模型及信號流圖2）在根軌跡圖上確定根軌跡增益的取值3）確定系統(tǒng)的主導(dǎo)極點并使設(shè)計后的系統(tǒng)達到以下性能指標要求：1）階躍輸入作用下無穩(wěn)態(tài)誤差。2）欠阻尼響應(yīng):3）調(diào)節(jié)時間：解題思路：建模后，繪出參數(shù)根軌跡，利用主導(dǎo)極點的概念和希望的阻尼比確定出期望的主導(dǎo)極點，最后算出根軌跡增益。（本質(zhì)上此題很簡單，只是建模復(fù)雜。）例4-9 自動平衡稱系統(tǒng)自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解解：1）首先弄清工作原理后，建立系統(tǒng)數(shù)學模型。建立各個環(huán)節(jié)的數(shù)學模型，畫出系統(tǒng)的信

18、號流圖，利用梅森公式求出系統(tǒng)的數(shù)學模型。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的信號流圖見圖4-28，從信號流圖中看出，系統(tǒng)中含有一個積分環(huán)節(jié)，因此為1型系統(tǒng)，因此系統(tǒng)對階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為0。2）為了繪制電動機傳遞系數(shù)（含放大器附加增益） 變化時系統(tǒng)的根軌跡，可將有關(guān)參數(shù)代入傳遞函數(shù)中，并將系統(tǒng)的特征方程進行整理，等價根軌跡增益方程為：解：建立各個環(huán)節(jié)的數(shù)學模型，畫出系統(tǒng)的信號流圖，利用梅森公式繪制系統(tǒng)的根軌跡為：G=zpk(-6.93+6.93i -6.93-6.93i,0 0 -13.86,1);z=0.5;figure(1);rlocus(G);sgrid(z,new);axis(-40 5

19、-10 10)在根軌跡圖上，做希望的阻尼比線 ，得閉環(huán)極點 根據(jù)模值條件，不難求得與上述閉環(huán)極點對應(yīng)的 。3）在上述設(shè)計中，顯然， 為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點； 為非主導(dǎo)極點，其對動態(tài)響應(yīng)的影響甚微，可略去不計。因而本設(shè)計完成的自動平衡稱系統(tǒng)必為 的欠阻尼響應(yīng)。系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為： 滿足設(shè)計指標要求。繪制系統(tǒng)的根軌跡為：在根軌跡圖上，做希望的阻尼比線 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)時間曲線如圖：figure(2);rlocus(G);hold on;K=25.5;rlocus(G,K)sys=tf(3.0596,0.05 1.9688 17.6946 122.3838);figure(3);step(sys)系統(tǒng)的單

20、位階躍響應(yīng)時間曲線如圖：例4-10 自動焊接頭控制 自動焊接頭需要進行精確定位控制，其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，圖中， 為放大器增益， 為測速反饋系數(shù)。 設(shè)計要求：用根軌跡法選擇參數(shù) 與 ，使系統(tǒng)滿足如下性能要求：1) 系統(tǒng)對斜坡輸入相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差 斜坡幅值的35%；2）系統(tǒng)主導(dǎo)極點的阻尼比 ；3）系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間 。例4-10 自動焊接頭控制解：1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為顯然，該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，在斜坡輸入作用下，存在穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的誤差信號為：令 ，則穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的性能的要求， 與 的選取應(yīng)滿足如下要求：上式表明，為了獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)該選擇小的 值。解：1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為顯然，該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，在斜坡輸入2）根據(jù)系統(tǒng)對主導(dǎo)極點阻尼比的要求，系統(tǒng)的閉環(huán)極點應(yīng)位于S平面上 的 斜線之間；再由對系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間的指標要求可知，主導(dǎo)極點實部的絕對值應(yīng)滿足因此有 。 于是，滿足設(shè)計指標要求的