1、近世代數(shù)課件群的概念近世代數(shù)課件群的概念一群的定義 定義1.2.1設(shè) 是一個非空集合, 若對 中任意兩個元素 通過某個法則“ ”，有 中惟一確定的則稱法則“ ”為集合上的一個代數(shù)運元素 與之對應(yīng), 算（algebraic operation）元素 是 通過運 算“ ”作用的結(jié)果, 我們將此結(jié)果記為9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一群的定義 定義1.2.1設(shè) 是一個非空集合, 若例有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運算,除法不是Q上的代數(shù)運算如果只考 慮所有非零有理數(shù)的集合Q*, 則除法是Q*上的代數(shù)運算. 剩余類集對 ，規(guī)定例 設(shè) 為大于1的正整數(shù)， 為 的模9/10/2022

2、數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運算,除證我們只要證明, 上面規(guī)定的運算與剩余類的代表元的選取無關(guān)即可設(shè) 則 于是 從而 則“”與“ ”都是 上的代數(shù)運算9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證我們只要證明, 上面規(guī)定的運算與剩余類的代表元的選取無關(guān)所以+與 都是 上的代數(shù)運算. 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院所以+與 都是 上的代數(shù)運算. 9/4/2022數(shù)學(xué)與一個代數(shù)運算，即對所有的 有 如 果 的運算還滿足(G1) 結(jié)合律，即對所有的 有； (G2) 中有元素 ，使對每個 ，有定義1.2.2設(shè) 是一個非空集合，“ ”是 上的(G3) 對 中每個元素

3、，存在元素 ，使 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一個代數(shù)運算，即對所有的 有 在不致引起混淆的情況下, 也 稱為群 （unit element）或恒等元（identity）； 注1(G2)中的元素 稱為群 的單位元(G3)中的元素 稱為 的逆元（inverse） 則稱 關(guān)于運算“ ”構(gòu)成一個群（group），記作 我們將證明：群 的單位元 和每個元素的逆元都是惟一的 中元素 的惟一的逆元通常記作 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院在不致引起混淆的情況下, 也 稱為群 （unit e（commutative group）或阿貝爾群（abelian group) ，有 ，則稱 是一個交換群

4、3群 中元素的個數(shù)稱為群 的階（order），記為 如果 是有 限數(shù), 則稱 為有限群 2如果群 的運算還滿足交換律，即對任意的（finite group），否則稱 為無限群（infinite group). 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院（commutative group）或阿貝爾群（abeli例整數(shù)集 關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群這個群稱為整數(shù)加群 證對任意的 ，有 ，所以“”是 上的一個代數(shù)運算同時，對任意的 , 有所以結(jié)合律成立.另一方面 ，且 有 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例整數(shù)集 關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群這個群稱為整數(shù)加群 證又對每個 有 從而 關(guān)于“”構(gòu)成群，顯然這是一個交換群

5、所以0為 的單位元.所以 是 的逆元.注1當(dāng)群的運算用加號 “”表示時，通常將 的單位元記作0，并稱0為 的零元；將的逆元記作 , 并稱 為 的負(fù)元9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院又對每個 有 從而 關(guān)于“”構(gòu)成群，2習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時，才用“”來表 示群的運算，并稱這個運算為加法，把運算的結(jié)果叫做和，同時稱這樣的群為加群相應(yīng)地, 將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運算叫做乘法， 運算的結(jié)果叫做積在運算過程中，乘群的運算符號通常省略不寫今后，如不作特別聲明，我們總假定群的運算是乘法當(dāng)然, 所有關(guān)于乘群的結(jié)論對加群也成立（必要時, 作一些相關(guān)的記號和術(shù)語上改變）9/10/2022數(shù)學(xué)

6、與計算科學(xué)學(xué)院2習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時，才用“”來表 示群的運算，例全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群, 這個群的單位元是數(shù)1，非零有理數(shù) 的逆元是 的倒數(shù) 同理，全體非零實數(shù)的 集R*、全體非零復(fù)數(shù)的集合 關(guān)于數(shù)的乘法也構(gòu)成交換群9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群, 這個例實數(shù)域R上全體 階方陣的集合 ，關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個交換群全體 階可逆方陣的集合 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群，群中的單位元是單位矩陣 ，可逆方陣的逆元是 的逆矩陣 當(dāng) 時， 是一個非交換群例集合 關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例實數(shù)域

7、R上全體 階方陣的集合 ，關(guān)于矩陣關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個 階交換群證(1) 對任意的 ，因為 ,所以 例全體 次單位根組成的集合因此 于是“ ”是 的代數(shù)運算 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個 階交換群證(1) 對任意的 (3) 由于 ，且對任意的 ， 所以1為 的單位元 (4) 對任意的 ，有 ，且 所以 有逆元 的乘法也滿足交換律和結(jié)合律 (2) 因為數(shù)的乘法滿足交換律和結(jié)合律，所以9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院(3) 由于 ，且對任意的 ， 所以1為因此 關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個群通常稱這個群為 次單位根群，顯然 是一個具有 個元素的交換群9/10/2022數(shù)學(xué)與

8、計算科學(xué)學(xué)院因此 關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個群通常稱這個群為 次單位例設(shè) 是大于1的正整數(shù)，則 關(guān)于剩余 類的加法構(gòu)成加群.這個群稱為 的模 剩余類加群 證(1) 由例知，剩余類的加法“”是 的 代數(shù)運算 (2) 對任意的 ，所以結(jié)合律成立 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例設(shè) 是大于1的正整數(shù)，則 關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成加(3) 對任意的 , 所以交換律成立(4) 對任意的 ， 且所以0為 的零元 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院(3) 對任意的 , 所以交換律成立(4(5) 對任意的 ,且所以 為 的負(fù)元從而知， 關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成加群9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院(5) 對任意的

9、 ,且所以 例設(shè) 是大于1的正整數(shù)，記則 關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群 證(1) 對任意的 ，有 于是 ，從而 (2) 對任意的 所以剩余類的乘法“ ”是 的代數(shù)運算 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例設(shè) 是大于1的正整數(shù)，記則 關(guān)于剩余類的所以結(jié)合律成立. (3) 因為 ，從而 ，且對任意的 且 所以1是 的單位元 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院所以結(jié)合律成立. (3) 因為 ，從而 (4) 對任意的 ，有 ，由整數(shù)的性質(zhì)可知，存在 ，使所以 ，且顯然所以 為 的逆元從而知， 的每個元素在中都可逆 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院(4) 對任意的 ，有 ，這就證明了 關(guān)于剩余類的乘法

10、構(gòu)成群注(1) 群 稱為 的模 單位群，顯然這是一個交換群當(dāng) 為素數(shù)時， 常記作 .易知， (2) 由初等數(shù)論可知（參見1）， 的階等于 ,這里 是歐拉函數(shù)如果其中 為的 不同素因子，那么9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院這就證明了 關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群注9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院9/4/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例10具體寫出 中任意兩個個元素的乘積以 及每一個元素的逆元素易知直接計算，可得 表1.2.19/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例10具體寫出 中任意兩個個元素的乘積以 及每一個元由表中很容易看出注觀察表1.2.1，我們發(fā)現(xiàn)可以把表1.2.1表示為更加簡單的形式（見表

11、1.2.2）表1.2.21234112342241333142443219/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院由表中很容易看出注觀察表1.2.1，我們發(fā)現(xiàn)可以把表1.2形如表1.2.2的表通常稱為群的乘法表 （multiplication table），也稱群表（group table） 或凱萊表（Cayley table）人們常用群表來表述有限群的運算如下表所示： ebeebaa9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院形如表1.2.2的表通常稱為群的乘法表 （multiplic在一個群表中, 表的左上角列出了群的運算符號 （有時省略），表的最上面一行則依次列出群的所有元素（通常單位元列在最前面），

12、表的最左 列按同樣的次序列出群的所有元素表中的其余部分則是最左列的元素和最上面一行的元素的乘 積注意，在乘積 中，左邊的因子 總是 左列上的元素, 右邊的因子 總是最上面一行的元素由群表很容易確定一個元素的逆元素 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院在一個群表中, 表的左上角列出了群的運算符號 （有時省略）又如果一個群的群表是對稱的，則可以肯定，這個群一定是交換群9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院又如果一個群的群表是對稱的，則可以肯定，這個群一定是交換群二群的性質(zhì)定理1.2.1設(shè) 為群，則有 (1) 群 的單位元是惟一的；(2) 群 的每個元素的逆元是惟一的；(3) 對任意的 ，有 ； (4

13、) 對任意的 ，有 ；(5) 在群中消去律成立，即設(shè) ，如果 ，或 ，則 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院二群的性質(zhì)定理1.2.1設(shè) 為群，則有 (1) 群證(1) 如果 都是 的單位元，則（因為 是 的單位元），因此 所以單位元是惟一的 (2) 設(shè) 都是 的逆元，則（因為 是 的單位元），9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證(1) 如果 都是 的單位元，則于是 所以 的逆元是惟一的 (3) 因為 是 的逆元，所以從而由逆元的定義知， 是 的逆元又由逆元的惟一性得 (4) 直接計算可得9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院于是 所以 的逆元是惟一的 (3) 因為 是 及從而由逆元的惟一性得

14、 (5) 如果 ，則 同理可證另一消去律9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院及從而由逆元的惟一性得 (5) 如果 ，則 同理定理1.2.2設(shè) 是群，那么對任意的 ， 方程 及在 中都有惟一解 證取 ，則所以方程 有解 又如 為方程 的任一解，即 則這就證明了惟一性 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院定理1.2.2設(shè) 是群，那么對任意的 同理可證另一方程也有惟一解 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院同理可證另一方程也有惟一解 9/4/202指數(shù)與指數(shù)法則積與運算的順序無關(guān)，因此可以簡單地寫成 群的定義中的結(jié)合律表明，群中 三個元素的乘進(jìn)一步可知，在群 中，任意 個元素 的乘積與運算的順序無關(guān)

15、，因此可以寫成 . 據(jù)此, 我們可以定義群的元素的方冪 對任意的正整數(shù) ，定義 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院指數(shù)與指數(shù)法則積與運算的順序無關(guān)，因此可以簡單地寫成 群的再約定 （ 為正整數(shù)）則 對任意整數(shù)都有意義，并且不難證明：對任意的 有下列的指數(shù)法則(1) ；(2) (3) 如果 是交換群，則 （如果 不是交換群，一般不成立）9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院再約定 （ 為正整數(shù)）則 對任意整數(shù)當(dāng) 是加群時, 元素的方冪則應(yīng)改寫為倍數(shù)相應(yīng)地, 指數(shù)法則變?yōu)楸稊?shù)法則： (1) (2) (3) （因為加群是交換群，所以（3）對加群總是成立的）9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院當(dāng) 是加

16、群時, 元素的方冪則應(yīng)改寫為倍數(shù)相應(yīng)地, 指數(shù)定理1.2.3設(shè) 是一個具有代數(shù)運算的非空 集合， 則 關(guān)于所給的運算構(gòu)成群的充分必要條件是 三群的判別(1) 的運算滿足結(jié)合律； (2) 中有一個元素 （稱為 的左單位元）,使對 任意的 有(3) 對 的每一個元素 ，存在 （稱為 的左逆元），使 這里 是 的左單位元9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院定理1.2.3設(shè) 是一個具有代數(shù)運算的非空 集合， 則 證必要性由群的定義，這是顯然的充分性只需證: 是 的單位元,， 是 的 逆元即可 設(shè) 由條件(3)知，存在 使而對于 也存在 使于是且9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證必要性由群的定義，這

17、是顯然的充分性只需證: 是 進(jìn)而由條件（1）知， 為群 由條件(2)及式(3)知，是 的單位元 是 的逆元，9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院進(jìn)而由條件（1）知， 為群 注這個定理說明，一個具有乘法運算的非空集合 ，只要滿足結(jié)合律，有左單位元，每個元素有左逆元，就構(gòu)成一個群同理可證，一個具有乘法運算的非空集合 ，如 果滿足結(jié)合律，有右單位元，且 中每個元素有右逆元，則 構(gòu)成群 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院注這個定理說明，一個具有乘法運算的非空集合 ，只要滿足結(jié)定理1.2.4設(shè) 是一個具有乘法運算且滿足結(jié) 合律的非空集合，則 構(gòu)成群的充分必要條件是： 對任意的 方程 及 在 中有解.證必要性已證（見定理1.2.2） 充分性任取 ，由條件知， 有解， 設(shè)為 ，則 .又對任意的 ， 有解,設(shè)為 設(shè)為 于是從而知 是 的左單位元 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院定理1.2.4設(shè) 是一個具有乘法運算且滿足結(jié) 合律的非其次，對每個 ， 有解，設(shè)為 .于是從而知 有左逆元 于是由定理1.2.3知，構(gòu)成群 9/10/2022數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院其次，對每個 ， 有例11設(shè) 是一個具有乘法運算的非空有限集合， 如果 滿足結(jié)合律，且兩個消去律成立，則 是一個群對任意的 考察 與 ，如果 證設(shè)則由左消去律得， 于是 這說明， 是 中 個不同的元素因 ，9/10/20