1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件35課件高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件35課件一、微分的概念 微分從本質(zhì)上說(shuō)是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增量的線性部分.函數(shù) y=f (x) 在 x 存在有限導(dǎo)數(shù)時(shí),成立有限增量公式這個(gè)公式表明函數(shù)的增量 可以表示為關(guān)于 的線性函數(shù) （稱為 的線性主部） 與 高階的無(wú)窮小之和：因此當(dāng) 較小時(shí)，有 科學(xué)出版社一、微分的概念 微分從本質(zhì)上說(shuō)是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增定義1. 在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)處的微分,記作即在點(diǎn)可微, 稱Ax為若函數(shù)通俗地講，函數(shù) y=f (x) 在任意點(diǎn) x 的微分，稱為函數(shù)的微分, 記作 即又因?yàn)閷?duì)于y = x, 有dx=x 故我們寫 dy=

2、Adx科學(xué)出版社定義1. 在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于定理1. 函數(shù)證:設(shè)在點(diǎn) 可微 ,則故在點(diǎn) 可導(dǎo),且在點(diǎn) 可微的充要條件是在點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)有限“必要性” “充分性”若f 在點(diǎn)x0導(dǎo)數(shù)值有限,則有有限增量公式即或科學(xué)出版社定理1. 函數(shù)證:設(shè)在點(diǎn) 可微 ,則故在點(diǎn) 注:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)科學(xué)出版社注:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),從而因此導(dǎo)數(shù)又稱為微商！切線縱坐標(biāo)的增量于是有科學(xué)出版社微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),從而因此導(dǎo)數(shù)又稱為微商！二、微分基本公式與運(yùn)算法則根據(jù)即得以下（C是常數(shù)） 微分計(jì)算公式科學(xué)

3、出版社二、微分基本公式與運(yùn)算法則根據(jù)即得以下（C是常數(shù)） 微分計(jì)算微分運(yùn)算法則設(shè) u , v 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為一階微分形式不變性5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)科學(xué)出版社微分運(yùn)算法則設(shè) u , v 均可微 , 則(C 為常數(shù))分例1.求下列函數(shù)的微分： 解:一階微分形式不變性科學(xué)出版社例1.求下列函數(shù)的微分： 解:一階微分形式不變性科學(xué)出版社例2.求的導(dǎo)數(shù).解:因?yàn)樗岳靡浑A微分形式不變性科學(xué)出版社例2.求的導(dǎo)數(shù).解:因?yàn)樗岳靡浑A微分形式不變性科學(xué)出版社例4.設(shè)求解:例3.求對(duì)的導(dǎo)數(shù).解:將看作微分的商,可得科學(xué)出版社例4.設(shè)求解:例3.求對(duì)的導(dǎo)數(shù).解:將看

4、作微分的商,可得科學(xué)例5. 設(shè)求 解:例6. 注意 利用一階微分形式不變性 , 有在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:科學(xué)出版社例5. 設(shè)求 解:例6. 注意 利用一階微分形式不變性 ,三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),得近似等式:當(dāng)比較靠近時(shí),可用上述公式作近似計(jì)算.科學(xué)出版社三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),得近似等式:當(dāng)比較靠近特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得科學(xué)出版社特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得科學(xué)出版社的近似值 .解: 設(shè)取則例6. 求很小,科學(xué)出版社的近似值 .解: 設(shè)取則例6. 求很小,科學(xué)出版社的近似值 .解:例7. 設(shè)取所以較小計(jì)算科學(xué)出

5、版社的近似值 .解:例7. 設(shè)取所以較小計(jì)算科學(xué)出版社例8. 為了提高球面的光潔度,解:鍍銅體積為 V 在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為( g )用銅多少克 . 估計(jì)一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 有一批半徑為1cm 的球 ,已知球體體積為科學(xué)出版社例8. 為了提高球面的光潔度,解:鍍銅體積為 V 在時(shí)體積的微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,稱為a 的絕對(duì)誤差稱為a 的相對(duì)誤差若稱為測(cè)量 A 的絕對(duì)誤差限稱為測(cè)量 A 的相對(duì)誤差限科學(xué)出版社微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為 A ,其近似值為 a 誤差傳遞公式 :已知測(cè)量誤差限為按公式計(jì)算 y 值時(shí)的誤差故 y 的絕對(duì)誤差限約為相對(duì)誤差限約為若直接測(cè)量某量得 x ,科學(xué)出版社誤差傳遞公式 :已知測(cè)量誤差限為按公式計(jì)算 y 值時(shí)的誤差故例9. 設(shè)測(cè)得一圓形鋼板的直徑 根據(jù)測(cè)量 的面積誤差.解: S 的相對(duì)誤差限約為工