1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 22 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 22 頁2023屆浙江省新高考研究高三上學期8月測試數(shù)學試題一、單選題1若集合，則（）ABCD【答案】C【分析】集合A表示函數(shù)的定義域，集合B表示函數(shù)的值域，求出兩集合后再求其交集.【詳解】因為，所以，故選：C2若，則的實部可能是（）A3B1CD【答案】A【分析】設(shè)，則由已知可得，則，然后代入中計算可求出其實部，從而可得答案.【詳解】設(shè)，因為，所以，得，所以，所以，則的實部，故選：A3如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，

2、名為“潮涌”，錢塘江和錢江潮頭是會徽的形象核心，綠水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表達了浙江兒女勇立潮頭的精神氣質(zhì)，整個會徽形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A1B2C3D4【答案】C【分析】通過弧長比可以得到與的比，接著再利用扇形面積公式即可求解【詳解】解：設(shè)，則，所以，即，所以，故選：C4已知為坐標原點，直線與拋物線交于兩點，以為直徑的圓經(jīng)過，則直線恒過（）ABCD【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出圓心坐標，和直徑的長度，再根據(jù)圓經(jīng)過圓點，有，化簡式子，即

3、可得出，代入直線方程，即可得出定點坐標.【詳解】如圖所示：設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程得，有.，故中點，即圓心C的坐標為直徑.因為以為直徑的圓經(jīng)過，故有，即，化簡得：，故直線方程為：，當時，即直線經(jīng)過定點.故選：D5已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值不可能是（）AB4CD【答案】D【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)過對稱點，代入可得，再根據(jù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)可得周期范圍，從而得出即可.【詳解】解：由已知，則，即，又函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，可知，即，解得，所以當時，當時，當時，滿足題意，即或4或.故選：D.6已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】

4、將已知轉(zhuǎn)化為，運用余弦定理與基本不等式得到AC的取值范圍，由此運用正弦定理得四邊形ABCD外接圓半徑的范圍，然后根據(jù)球的性質(zhì)得球半徑的范圍，得解.【詳解】以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補形為一個已知球的內(nèi)接圓柱.設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、 R外接球的半徑，,則，故，所以 在中運用余弦定理與基本不等式得：，在中運用余弦定理與基本不等式得：，上兩式相加得：，故有： ，在中由正弦定理得：， 因此，.故選：B7互不相等的正實數(shù)是的任意順序排列，設(shè)隨機變量滿足：則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解.【詳解】解：因為隨機變量滿足：所以當或時，

5、；當或時，；當或時，；所以X，Y的分布列為：X23P Y23P 所以，所以，故選：C二、多選題8在中，是線段上的動點，則（）ABCD【答案】AB【分析】利用題意得到是等邊三角形，通過建立坐標系得到各點的坐標，然后利用數(shù)量積的坐標運算驗證每個選項【詳解】解：因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，如圖建立坐標系，并假設(shè)，則，所以，所以，即，故A正確；，即，故B正確；，故C不正確；，故D不正確，故選：AB9有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組樣本數(shù)據(jù)等到新的樣本數(shù)據(jù)，其中，則（）A兩組數(shù)據(jù)的樣本極差的差值與有關(guān)，與無關(guān)B兩組數(shù)據(jù)的樣本方差的差值與有關(guān)，與有關(guān)C兩組數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的差值與有關(guān)，與無關(guān)D兩組數(shù)據(jù)的

6、樣本中位數(shù)的差值與有關(guān)，與有關(guān)【答案】AD【分析】根據(jù)樣本平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的概念逐項分析判斷即可.【詳解】解：A項中，設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的極差為，則新的樣本數(shù)據(jù)的極差為，所以，故兩組數(shù)據(jù)的樣本極差的差值與有關(guān)，與無關(guān)，故A項正確；B項中，設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的方差為，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差為，所以，故兩組數(shù)據(jù)的樣本方差的差值與有關(guān)，與無關(guān)，故B項錯誤；C項中，設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，故兩組數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的差值與有關(guān)，與有關(guān)，故C項錯誤；D項中，設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差為，所以，故兩組數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差值與有關(guān)，與有關(guān)，故D項正確.故選：AD.1

7、0已知，則下列說法正確的是（）ABCD【答案】BCD【分析】根據(jù)選項把已知條件逐個代入進行檢驗即可，主要應(yīng)用基本不等式，函數(shù)單調(diào)性，完全平方式的性質(zhì)等.【詳解】對于A，因為，所以當且僅當時，等號成立，所以A不正確.對于B，根據(jù)反比例型函數(shù)的性質(zhì)可知在單調(diào)遞減；所以，當且僅當時，等號成立，所以B正確.對于C，所以C正確.對于D，等價于，即因為，所以成立，即，所以D正確.故選：BCD11已知正四面體是棱上的動點，是在平面上的投影，下列說法正確的是（）A當時，平面B當時，異面直線與PA所成角是C當時，DE的長度最小D當時，直線與所成角正弦值是【答案】AC【分析】A選項通過證明即可證明平面;B選項中，

8、直線與所成角轉(zhuǎn)化為即可判斷.C選項中，證明即可.D選項中，通過余弦定理求出，即可求出直線與所成角正弦值.【詳解】對于A，當時,如圖所示，是等邊三角形，故有，而，又， ，平面， A正確.對于B，當時, ，異面直線與所成角即=，B錯誤.對于C，當時，如圖所示，設(shè)正四面體邊長為，則，在直角中，在中，由余弦定理得：=,滿足，故，的長度最小，C正確.對于D，延長交于，連接，直線與所成角即為，在中，由由余弦定理得：=，在中，由由余弦定理得：，故，D錯誤.故選：AC12已知函數(shù)且且，則下列說法正確的是（）AB若，則C若是單調(diào)增函數(shù)D若，則【答案】BD【分析】令，通過導數(shù)可得在上遞增，在上遞增，然后分和兩種情

9、況進行分類討論，即可判斷每個選項【詳解】解：令，則，所以在上遞增，在上遞增，若，則，且，所以，且，所以，且，所以 通過以上可以發(fā)現(xiàn)，當時，當，且成立時，可推出，且，故A錯誤，B正確；若時，且， 故C錯誤；當且時， ，當，時， ，綜上所述，恒成立，故D正確，故選：BD三、填空題13多項式，則_.【答案】【分析】先把多項式變形為，然后利用二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】解：，二項式的通項公式為：，因為，所以令，因此，故答案為：.14曲線在處的切線斜率是1，則_.【答案】2【分析】先求出導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得方程，解方程可求的值.【詳解】因為，所以，因為曲線在處的切線斜率是1，所以，解得

10、.故答案為：2.15已知，是雙曲線的左、右焦點，A，B分別在雙曲線的左右兩支上，且滿足（為常數(shù)），點C在x軸上，則雙曲線的離心率為_【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義、余弦定理、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】解析： ，所以，設(shè)，則由可知，平分，由角分線定理可知，由雙曲線的定義知，即，即是等邊三角形，在中，由余弦定理知，即，化簡得，由可得，離心率故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.四、雙空題16已知過P的直線與圓C：交于A，B兩點，（A點在軸上方），若，則直線到與其斜率相同的圓的切線距離是_，_.【答案】 【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)

11、立直線與圓的方程，由求解直線方程，根據(jù)圓心與切線關(guān)系判斷直線與切線距離.【詳解】因為，所以點在圓C內(nèi)，即P點在弦AB上，因為P點在x軸上，A點在軸上方，所以B點在軸下方，則可作出圖像如下圖所示.則直線AB必不可能與y軸垂直，可設(shè)方程為，則，整理得，由直線AB與圓C由兩個不同交點可得，該方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)，由題意知，則，因為，所以，即，則，即，由可得，所以，整理得，解得，根據(jù)可得，則直線AB方程為，一般式為，則圓心到直線AB距離為，因為圓心到與直線AB斜率相同的圓的切線距離是半徑2，所以直線到與其斜率相同的圓的兩條切線距離分別是和.故答案為：；.五、解答題172022年8月7日是中國傳

12、統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據(jù)此，學校社會實踐小組隨機調(diào)查了該地區(qū)100位奶茶愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）(2)估計奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知奶茶愛好者喜歡浙江奶茶品牌“古茗”的概率為，該地區(qū)奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的人口數(shù)占該地區(qū)奶茶愛好者總?cè)丝跀?shù)的，從該地區(qū)選出1名奶茶愛好者，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人喜歡古茗的概率.【答案】(1)（歲）(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的頻率即可求解；

13、（3）利用條件概率的概率公式即可求解.【詳解】(1)解：估計奶茶愛好者的平均年齡（歲）(2)解：由題圖，得奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的頻率為，故奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的概率為.(3)解：設(shè)任選一名奶茶愛好者年齡位于區(qū)間,設(shè)任選一名奶茶愛好者喜歡“古茗”由條件概率公式可得：.18在數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列前項和為.在，中任意選擇一個，補充在橫線上并證明.選擇_.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由得，再利用等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由（1）求出，再利用裂項相消可得，選擇，判斷出單調(diào)性可得答案；選擇利用放縮法可得答案.【詳解】(1)由得，即，因為，所以時，得，

14、因此；(2)因為，得，所以，選擇：因為，因為，所以，所以，所以單調(diào)遞增，因為，所以；選擇因為，所以.19記內(nèi)角的對邊分別是，已知.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）首先化簡條件中的正切等式，再將正切寫成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化為邊，即可證明；（2）首先設(shè)，利用三角不等式的恒等式，化簡后可得的取值范圍，再計算的取值范圍.【詳解】(1)由得：即兩邊同時除以得：即所以因此得證；(2)設(shè)，代入可得，由三角不等式得：，即，將代入得，整理得且解得，因為，顯然在上單調(diào)遞增，所以20如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，平面平面是的中點，且為等邊三角形，平面

15、平面.(1)設(shè)直線，求點到平面PDC的距離；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）延長，交于點發(fā)現(xiàn)直線，通過圖象關(guān)系可得點到平面PDC的距離是點到平面PDC的距離的2倍，通過建立空間直角坐標系，利用向量法求得點到平面PDC的距離的2倍，繼而得到結(jié)果；（2）通過向量法求解二面角的余弦值，繼而求出正弦值【詳解】(1)延長，交于點直線，在底面中，得為中位線，所以為中點，因為分別為中點，所以為的中位線，得，所以點到平面PDC的距離是點到平面PDC的距離的2倍，易得是等邊三角形，取中點中點為，連接，所以在中，解得，所以，所以因為平面平面平面平面，平面，所以平面則以為原點如圖建立直角

16、坐標系，由題意得，設(shè)平面PDC的法向量由得，令，則，所以所以點到平面PDC的距離為，所以點到平面的距離是；(2)由（1）得：，設(shè)平面法向量由得，令，則，則設(shè)平面PBE法向量，由得，令，則，則設(shè)二面角P-BE-D的平面角為因此，二面角的正弦值是21已知橢圓C：的右焦點為，離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形，點為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為，且斜率均存在.求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用右焦點、離心率求出即得解；（2）設(shè)A，求出即得證.【詳解】(1)解：由橢圓的右焦點為，離心率為得. 所以.所以橢圓的方程為.(2)證明：設(shè)A，則.設(shè)的外接圓方程為，得，兩式相減得，因為，所以，同理：.兩式相減得：，于是：所以將代入得：因為所以所以得證.22已知函數(shù)和有相同的最小值.(1)求；(2)證明：若函數(shù)和共有四個不同的零點，記為，且，則是等比數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對與分別利用導數(shù)求出各自的最小值即可求出.（2）通過數(shù)形結(jié)合分析可知，得，和，從而得到，即可證明是等比數(shù)列.【詳解】(1)因為函數(shù)和所以若，函數(shù)和沒有相同的最小值，故.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值因為函數(shù)和有相同的最小值，所以，即，解得：.所以