1、波束賦形算法研究包括以下幾個(gè)方面:常規(guī)的波束賦形算法研究。即研究如何加強(qiáng)感興趣信號，提高信道處理增益，研究的是一般的波束賦形問題。魯棒性波束賦形算法研究。研究在智能天線陣列非理想情況下，即當(dāng)陣元存在位置偏差、角度估計(jì)誤差、各陣元到達(dá)基帶通路的不一致性、天線校準(zhǔn)誤差等情況下,如何保證智能天線波束賦形算法的有效性問題。零陷算法研究。研究在惡劣的通信環(huán)境下，即當(dāng)存在強(qiáng)干擾情況下,如何保證對感興趣信號增益不變，而在強(qiáng)干擾源方向形成零陷,從而消除干擾，達(dá)到有效地估計(jì)出感興趣信號的目的。陣元I下變覿至展苗A/D下變掀舉基帯A/DIA/D陣元I下變覿至展苗A/D下變掀舉基帯A/DIA/D:坯Jun陣元2方適

2、應(yīng)波屯幵汀戲網(wǎng)紹自適應(yīng)算法i*輸出信號y（m陣列天線基本概念（見基站天線波束賦形及其應(yīng)用研究_白曉平）陣列天線（又稱天線陣）是由若干離散的具有不同的振幅和相位的輻射單元按一定規(guī)律排列并相互連接在一起構(gòu)成的天線系統(tǒng)。利用電磁波的干擾與疊加，陣列天線可以加強(qiáng)在所需方向的輻射信號，并減少在非期望方向的電磁波干擾，因此它具有較強(qiáng)的輻射方向性。組成天線陣的輻射單元稱為天線元或陣元。相鄰天線元間的距離稱為陣間距。按照天線元的排列方式，天線陣可分為直線陣，平面陣和立體陣。陣列天線的方向性理論主要包括陣列方向性分析和陣列方向性綜合。前者是指在已知陣元排列方式、陣元數(shù)目、陣間距、陣元電流的幅度、相位分布的情況下

3、分析得出天線陣方向性的過程；后者是指定預(yù)期的陣列方向圖，通過算法尋求對應(yīng)于該方向圖的陣元個(gè)數(shù)、陣間距、陣元電流分布規(guī)律等。對于無源陣，一般來說分析和綜合是可逆的。陣列天線分析方法天線的遠(yuǎn)區(qū)場特性是通常所說的天線輻射特性。天線的近、遠(yuǎn)區(qū)場的劃分比較復(fù)雜，一般而言，以場源為中心，在三個(gè)波長范圍內(nèi)的區(qū)域，通常稱為近區(qū)場，也可稱為感應(yīng)場；在以場源為中心，半徑為三個(gè)波長之外的空間范圍稱為遠(yuǎn)區(qū)場，也可稱為輻射場。因此，在分析天線輻射特性時(shí)觀察點(diǎn)距離應(yīng)遠(yuǎn)大于天線總尺寸及三倍的工作波長。陣列天線的輻射特性取決于陣元因素和陣列因素。陣元因素包括陣元的激勵(lì)電流幅度相位、電壓駐波比、增益、方向圖、極化方式，陣列因素

4、主要包括陣元數(shù)目、陣元排列方式、陣元間距。盡管通過控制陣列因素可以改變輻射特性，但是陣元因素也是控制陣列總特性時(shí)需要重視的。垂直面下傾波束賦形設(shè)計(jì)工程上，實(shí)現(xiàn)天線的下傾有兩種辦法：機(jī)械下傾和電下傾。機(jī)械下傾是指物理地使天線輻射單元與Z軸有一定夾角固定于支架上，電下傾是通過陣列天線的方向圖賦形實(shí)現(xiàn)陣列的方向圖下傾，即通過改變共線陣天線振子的饋電相位和幅度，使天線的垂直方向圖下傾。由于機(jī)械下傾是物理地向下傾斜天線，盡管采用這種技術(shù)也能使同頻干擾降低，但是其調(diào)整傾角的精度較低，步進(jìn)精度為1，且施工和維護(hù)較為困難。在網(wǎng)絡(luò)調(diào)整時(shí)，必須先將基站系統(tǒng)停機(jī)，不能在調(diào)整天線中同時(shí)監(jiān)測調(diào)整效果，所以不可能對網(wǎng)絡(luò)實(shí)

5、行精細(xì)調(diào)整。然而對于電下傾，由于天線各方向的場強(qiáng)強(qiáng)度同時(shí)增大或減小，保證了在改變傾角后天線方向圖變化不大，在使主瓣方向覆蓋距離縮短的同時(shí)，又使得整個(gè)方向圖在服務(wù)小區(qū)扇區(qū)內(nèi)減小覆蓋面積而降低了干擾。另外，電調(diào)天線允許系統(tǒng)在不停機(jī)的情況下對垂直方向性圖下傾角進(jìn)行調(diào)整可實(shí)時(shí)監(jiān)測調(diào)整的效果。調(diào)整傾角的步進(jìn)精度較高，為0.1，因而可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的精細(xì)調(diào)整。方向增益天線在某方向的增益G(0,p)是它在該方向的輻射強(qiáng)度UQ,p)與天線以同一輸入功率間均勻輻射的輻射強(qiáng)度與/4兀之比，即G(0,p)二4兀U(0，p)二D(0,p)nPAA極化極化是天線的一個(gè)重要特征參數(shù),用以描述電場矢量終端運(yùn)動(dòng)軌跡隨著時(shí)間變化的規(guī)

6、律。一般來說,都以電場矢量的空間指向來作為天線輻射電磁波的極化方向。根據(jù)天線在其最大輻射方向上電場的極化形式來定義天線的極化,可分為線極化、圓極化和橢圓極化。當(dāng)天線在最大輻射方向上電場矢量在空間取向固定不變時(shí),該天線為線極化。當(dāng)該電場矢量的取向變化,且端點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓時(shí),稱其為圓極化。圓極化又有左旋圓極化和右旋圓極化之分。在以地面為參考面時(shí),線極化又可分為垂直極化、水平極化和斜極化。兩類波束賦形的原理介紹基于信號入射方向的波束賦形(directionof-arrival/DOA.basedbeamforming)：基于特征值分解的波束賦形(Eigenbeamforming)。而入射方向(DOA

7、)的估計(jì)技術(shù)在信號處44)44)理領(lǐng)域也非常成熟，一般常用的有MUSIC,ESPRIT以及最大似然估計(jì)(MLE)等。從DOA估計(jì)的結(jié)果，可以計(jì)算獲得各個(gè)天線單元的權(quán)值向量(WeightVector)，通過將這一組權(quán)向量作用到天線單元上，就可以控制天線陣列的發(fā)送主瓣，從而可以增強(qiáng)期望的信號能量。設(shè)M為均勻直線陣列的陣元數(shù)目，陣元沿x軸均勻排列?？疾煲粋€(gè)入射到陣列上與陣列軸線所夾的入射角為。的平面波。設(shè)第一個(gè)陣元為參考陣元,位于原點(diǎn)處。入射到陣元m(m=2,M)的信號與入射到參考陣元的信號分量間的相位差表示為：申=Bx-sin0mk最小二乘準(zhǔn)則設(shè)輸入信號x(k)=x(k),x(k),x(k)T參考

8、信號為d(k),加權(quán)向量為W,則最小二乘12N(LeastSquare,LS)準(zhǔn)則的估計(jì)誤差可以表示為e(k)=d(k)-whx(k)(1)LS準(zhǔn)則在于選擇加權(quán)矢量w,使如下的代價(jià)函數(shù)最小2)g(n)=九n-k|e(k)|2)k=1為了降低距離當(dāng)前時(shí)刻n較遠(yuǎn)的輸入矢量x(k)和誤差e(k)對代價(jià)函數(shù)的影響,在上式中引入了遺忘因子九，且011令e(n)=e(l),e(2),e(n)Hd(n)=d(1)0(2),d(n)HX(n)=xHX(n)=xH(1)xh(2)xH(n)x*(1)x*x*(1)12Nx*(2)x*(2)x*(2)12Nx*(n)x*(n)x*(n)1-11N3)可以寫成矢量表

9、示的形式e(n)=d(n)-wHx(n)則相應(yīng)的代價(jià)函數(shù)可以表示為e(n)HA(n)e(n)e(n)HA(n)e(n)k=1其中，A(n)=Diag九n-1,九n2,九,1XX由V5=0可以求得最佳權(quán)向量應(yīng)該滿足的方程為:XH(n)A(n)X(n)w=Xh(n)A(n)d(n)(5)opt則：wopt=wopt=Xh(n)A(n)X(n)Xh(n)A(n)d(n)(6)2兀其中，卩=為相位傳播因子，九為載波波長。設(shè)由第k(k=1,2,D)個(gè)信號源輻射到天線陣列的波前信號為Sk(t)，假設(shè)s(t)為窄帶信號,則Sk(t)可以表示為以下形式：Sk(t)=S(t)exp(jwt)kkk式中S(t)是

10、信號Sk(t)的復(fù)包絡(luò)，w是信號Sk(t)的角頻率。假設(shè)D個(gè)信號具有相同的中kkkk心頻率，所以有：2兀dw=w=mk0九式中。d是陣元間距，九是入射波波長。m當(dāng)信源信號入射到天線陣列時(shí)，相對于參考陣元，其它陣元所接收到的信號都會(huì)存在一個(gè)時(shí)間延遲，所以其中某一個(gè)陣元的接收信號可以表示為s七(t-)，其中為該陣元相對于參考陣元的時(shí)間延遲，假設(shè)信號源是窄帶信號,有如下近似：S(t-1)uS(t)k1k故延遲后的波前信號為：S(t-1)=S(t-1)expjw(t-1)uS(t)expjw(t-1)=S(t)exp(一jwt)k1k101k01k01所以，若以第一個(gè)陣元為參考點(diǎn)，則t時(shí)刻等間距直線陣

11、中的第m(m=12,M)個(gè)陣元對應(yīng)的陣元間距為d=(m-1)d，對第k個(gè)信號源的感應(yīng)信號為:ma殳Sk(t)exp-j(m-1)2兀d；in耳其中,a為第m個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的影響,前面己假設(shè)各陣元無方向性，所以可取kdsinQa=1。Q為第K個(gè)信號源的方位角，(m-1)罕k表示由第m個(gè)陣元與第1個(gè)陣元間kk九2兀dsinQ+n(t)2兀dsinQ+n(t)mx(t)=S(t)expj(m1)mkk=1其中n(t)是測量噪聲,所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個(gè)陣元,所有標(biāo)號為k表示該量屬于m第k個(gè)信號源。a(Qa(Q)=exp-j(m-1)mk2兀dsinQX-為第m個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的響應(yīng)函

12、數(shù)。則第m個(gè)陣元的輸出信號為:x(t)=a(Q)S(t)+n(t)mmkkmk=1其中S(t)是第k個(gè)信號源在陣元上的信號強(qiáng)度k運(yùn)用矩陣的定義,可以得到更為簡潔的表達(dá)式:X=AS+N式中X(t)=x(t),x(t)，x(t)T12MS=S1(t),S2(t),SD(t)TA=a(Q),a(Q)，,a(Q)T12D-111e-網(wǎng)e-陰e-jDe-j(m-1)%e-j(m-1)申2e-j(m-1)d2兀dsinQN=吧)，n2(t),nM(t)T對x(t)進(jìn)行N點(diǎn)采樣,我們要處理的問題就變成了通過輸出信號x(t)的采樣mmx(i),i=12,mh古計(jì)出信號源的波達(dá)方向角e,o，e。m12d根據(jù)信號

13、在空間傳播時(shí)延表現(xiàn)在各陣元接收信號中為相應(yīng)的相移，即相位差這些接收機(jī)的輸出可以表示為一個(gè)N維矢量，即2)3)x=x-expjO,x-expj2兀；sin0，x-expj2兀(N-1)dsin2)3)其中N為陣元數(shù)，x為第一個(gè)陣元接收到的復(fù)基帶信號，v0為陣列導(dǎo)向矢量，即ve=1,exp(j2dsin0),expj(N-1)sin0veTOC o 1-5 h z九m九mJ最優(yōu)最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)算法假設(shè)接收到N個(gè)復(fù)觀察數(shù)據(jù)，即一次快拍數(shù):x=x,x，,xT(1)12N它包括有用信號x、多個(gè)平面波干擾x以及空間白噪聲x，因此有sinx=x+x+x(2)sin其中有用信號的到達(dá)角已知和未知

14、幅度、隨機(jī)相位的非隨機(jī)平面波信號。干擾和噪聲建模為零均值高斯隨機(jī)過程，因此可以用二階統(tǒng)計(jì)量完整描述兩者的統(tǒng)計(jì)特性，即協(xié)方差矩陣。對最優(yōu)波束賦形，干擾和噪聲假設(shè)是已知的，通常假設(shè)不相干的，他們的協(xié)方差矩陣描述如下:R=R+R(3)i,nin其中，R=ExxH為干擾的協(xié)方差矩陣，R=ExxH為噪聲的協(xié)方差矩陣，為干擾iiinnn加噪聲的協(xié)方差矩陣。波束形成器的輸出矢量表示形式表示為y=whx,接收信號表示為4)y=sy+y+y=y+4)sinsi,n陣列的輸出信號為y(k)=WHsy+WHy=wHsy+WHysi,nsi,n設(shè)計(jì)波束形成的目標(biāo)是如下：最小化輸出干擾噪聲的功率E%2保證有用信號的1i

15、,n（16（16）i,n（16（16）i,n無失真。2w=whRwi,n2丿=WHExHi,ni,n第二個(gè)目標(biāo)是保證有用信號的無失真，即yi,nWHS=1Hxi,n其中s為具有單位模值的導(dǎo)向矢量，即其中Vg為陣列導(dǎo)向矢量，其中觀察方向?yàn)?，II*|為矢量的2-范數(shù)，計(jì)算如下：IV110將上述問題組合如下了w=argminIwhRwMVDRi,nwHs=1或者min4vhRw0n整個(gè)系統(tǒng)是由天線陣和自適應(yīng)信號處理器組成的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。各天線陣對有用信號和干擾信號在陣列孔徑上產(chǎn)生的場進(jìn)行空間采樣，空間濾波一般是在基帶完成的，因此接收機(jī)要將信號下變頻至基帶信號，然后通過A/D轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，進(jìn)入自適應(yīng)波

16、束形成網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)加權(quán)合并后，增強(qiáng)有用信號,將有用或期望信號位于天線陣列的主波束方向上，同時(shí)抑制干擾信號和噪聲，在干擾方向上形成零陷,從而達(dá)到提高輸出信干噪比(SINR)的目的。波束形成的基本原理波束形成從信號處理的角度講是一種空間濾波的方法,從信號、干擾和噪聲混雜在一起的輸入信號中提取出我們所關(guān)心的信號.EF社號左一v心十、EF社號左一v心十、xx接牧執(zhí)自適應(yīng)波束形成示意圖如圖3.2所示。設(shè)發(fā)射陣元數(shù)為N,接收陣元數(shù)為M,陣元間距為do每個(gè)天線陣接收期望信號、干擾信號和噪聲信號(高斯白噪聲)。期望信號X(n)從到達(dá)角為sTOC o 1-5 h z0,0，,0方向接收，干擾信號X(n)

17、從到達(dá)角為0,0,&方向接收。假設(shè)接收信號已12Mi12I經(jīng)經(jīng)過下變頻和模數(shù)轉(zhuǎn)換，則陣列系統(tǒng)的輸出y(n)是對各陣元的接收信號向量x(n)在各陣元上分量的加權(quán)和,表示為:y(n)=WhX(n)=遲w*x(n)(1)iii=1其中W=w,w，,wT表示天線陣加權(quán)向量;x(n)為陣列接收的總信號向量;H表示加權(quán)12M向量W復(fù)數(shù)的共軛轉(zhuǎn)置。接收的期望信號向量定義為:X(n)=Xa(0)s(n)(2)smmm=1式中，a(0)是Mx1維的方向向量，即陣列的導(dǎo)向矢量，由0決定,表示為mma(0)=1,exp(j2dsin0expj(M-1)sin0卄=l,ej卩，,ej(M-(n)是I(n)是Ix1維向

18、量，是干擾信號向量，定義為:TOC o 1-5 h z九m九mJ(3)2兀d式中，()t是矩陣轉(zhuǎn)置，卩=sin0，d為陣元間距，九為入射波波長。m九m將式(2)的期望信號向量寫成矩陣的形式為：X(n)=AS(n)(4)ss其中，A是NxM維向量，是期望信號的方向向量，定義為：sA=a(0),a(0)，,a(0)(5)s12MS(n)是Mx1維向量，是期望信號向量，定義為：S(n)=s(n),s(n),s(n)T(6)12M同樣地,我們可以得到干擾信號向量X(n)=Ai(n)(7)ii其中A是NxI維向量，是干擾信號的方向向量,定義為iA=a(0),a(0)，,a(0)(8)i12I(9(9)(

19、9(9)i(n)=i(n),i(n),，i(n)T12I于是,陣列接收的總信號向量表示為期望信號與干擾信號和噪聲信號之和:X(n)=X(n)+X(n)+n(n)i利用式(9)導(dǎo)出的結(jié)果重寫式(1)得:(10)(11)y(n)=WhX(n)=y(n)=WhX(n)+X(n)(10)(11)i陣列的幅度波束圖定義為:F)=WHa(9)為了將波束指向法線方向(9=0),取(12(12)此時(shí)波束圖為:F(9)二|Wha(F(9)二|Wha(9)|二蘭ej(i-i)p=sin(Mp/2)sin(M兀d/2)sin9i=1sin(p/2)sin(兀d/2)sin9(13)式中，陣元間距d=入/2。波束形成

20、的基本陣元II1于變頻至幸?guī)/D陣元II1于變頻至幸?guī)/D|下變頻至荃帯A/Df*下殳頻至壘常A/r孔沁)白迄應(yīng)波屯形詼網(wǎng)紹工-I口適硬算達(dá)設(shè)M為均勻直線陣列的陣元數(shù)目，陣元沿x軸均勻排列?？疾煲粋€(gè)入射到陣列上與陣列軸線所夾的入射角為9的平面波。設(shè)第一個(gè)陣元為參考陣元,位于原點(diǎn)處。入射到陣元m(m=2,.,M)的信號與入射到參考陣元的信號分量間的相位差表示為:*=P-x-sin9mk其中，p=芋為相位傳播因子，九為載波波長。設(shè)由第k(k=1,2,D)個(gè)信號源輻射到天線陣列的波前信號為S(t),假設(shè)S(t)為窄帶信號,則Sk(t)可以表示為以下形式：S(t)=S(t)exp(jwt)kkk式

21、中S(t)是信號Sk(t)的復(fù)包絡(luò)，w是信號Sk(t)的角頻率。假設(shè)D個(gè)信號具有相同的中心kkkk頻率，所以有：2兀dW=W=mk0九式中。d是陣元間距，九是入射波波長。m當(dāng)信源信號入射到天線陣列時(shí)，相對于參考陣元，其它陣元所接收到的信號都會(huì)存在一個(gè)時(shí)間延遲，所以其中某一個(gè)陣元的接收信號可以表示為S(t-T)，其中T為該陣元相對于參考陣k元的時(shí)間延遲，假設(shè)信號源是窄帶信號,有如下近似：S(t-T)沁S(t)kk故延遲后的波前信號為：S(t-t)=S(t-t)expjw(t-t)qS(t)exp(jwt)exp(一jwt)=S(t)exp(一jwt)kk0k00k0所以，若以第一個(gè)陣元為參考點(diǎn)，

22、則t時(shí)刻等間距直線陣中的第m(m=1,2,M)個(gè)陣元對應(yīng)的陣元間距為d=(m-1)d，第m個(gè)陣元與第1個(gè)陣元間的波程差所引起的信號相位差為mdsin0甲=(m-1)一l，對第k個(gè)信號源的感應(yīng)信號為：m九Sk(t)expj(m-1)2兀;in0k其中，a,為第m個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的影響,假設(shè)各陣元無方向性，所以可取a=1。0kkk為第K個(gè)信號源的方位角。考慮測量噪聲和所有信號源來波，第m個(gè)陣元的輸出信號為：x(t)=藝Smkk=1(t)exp-j(m-1)2兀dsin0X所有標(biāo)號為m表示該量屬于第(t)exp-j(m-1)2兀dsin0Xa(0)=exp-j(m-1)2兀d:in匕mkX為第m

23、個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的響應(yīng)函數(shù)。則第m個(gè)陣元的輸出信號為:x(t)=藝a(0)Sk(t)mmkkk=1波束形成器的輸出為一復(fù)標(biāo)量y，即y(t)=wx(t)+wx(t)HFwx(t)+11122NNn=wx(t)+Iiini=1=WHa(0)SFIn其中，W=w,w，,wT，12NS=S1(t),S2(t),SD(t)ta(0)=a(0),a(0),a(0)t12D-11-1e-e-加2e-jDe-j(m-1)e-j(m-1)2e-j(m-1)%2兀dsin09=ka(0)=va(0)=vml,exp(j學(xué)sin0),，expjm(N-1)sin0mA(0)=Xwexpj2兀(i-1)dsin0

24、=Whq(0)iXi=1則A(0)為陣列因子,它決定了陣列輸出端的信號y(t)與參考陣元處測得的信號s(t)的比值。通過調(diào)整權(quán)向量W可以將天線陣列波束圖的最大主瓣對準(zhǔn)任意方向0。I=n(t),n(t),n(t)T為外加噪聲。n12M對x(t)進(jìn)行N點(diǎn)采樣,我們要處理的問題就變成了通過輸出信號x(t)的采樣mmx(i),i=12,Mh古計(jì)出信號源的波達(dá)方向角e,9，,9。m12d當(dāng)陣元響應(yīng)具有全方向特性時(shí)，波束方向圖B(e)就等于陣列因子，即B(9)=A(9)在實(shí)際中，每個(gè)陣元都不是全向的，而是有一定的方向性，如偶極子陣元。故陣列方向圖為陣列因子和陣元輻射方向圖B(9)的乘積，即eB(9)=A(

25、9)B(9)e陣列天線的這種特性被稱為方向圖乘法。常用的算法性能準(zhǔn)則波束賦形可以認(rèn)為是一種特殊的自適應(yīng)濾波問題,實(shí)現(xiàn)過程中所遇到的最佳化問題都是非線性的。通常是在一定的約束條件下使非線性問題中的代價(jià)函數(shù)達(dá)到最小或者最大來獲得最優(yōu)解。因此,代價(jià)函數(shù)的最小值或者最大值以及約束條件就被稱為最佳準(zhǔn)則,不同代價(jià)函數(shù)就對應(yīng)不同的準(zhǔn)則。本節(jié)主要介紹最小均方誤差準(zhǔn)則、最大信干噪比準(zhǔn)則、最小二乘準(zhǔn)則、最大似然準(zhǔn)則最小均方誤差(MinimumMeanSquareError,MMSE)準(zhǔn)則是B.Widrow最小均方誤差(MinimumMeanSquareError,MMSE)準(zhǔn)則是B.Widrow等人首先提出的,它

26、基于大多數(shù)情況下人們對有用信號具備某些先驗(yàn)知識的事實(shí),提出在接收系統(tǒng)中設(shè)置本地參考信號,然后調(diào)整陣列加權(quán),使陣列輸出與參考信號的均方誤差值最小.設(shè)輸入信號為x(k)=x(k),x(k),x(k)T，參考信號為d(k),加權(quán)向量為W,則陣列的TOC o 1-5 h z12N輸出可以表示為:y(k)=wH(k)x(k)(1)設(shè)古計(jì)誤差可以表示為:e(k)=d(k)y(k)(2)則MMSE準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)可以表示為：J(w)=Ee(k)|2)(3)其中，E表示統(tǒng)計(jì)平均。最佳處理問題歸結(jié)為如下的無約束最佳化問題：MinJ(w)=El(k)|2了(4)由上式可得：J(w)=E(k)|2LEt(k)e*(k

27、)=Ed(k)-wHx(k)(d(k)-wHx(k)J(w)=E(k)|2LEt(k)e*(k)=Ed(k)-wHx(k)(d(k)-wHx(k)*(k)-Etd(k)(wHx(k)*-EvHx(k)d*(k)+Evhx(k)(whx(k)*(5)L2RewHx(k)d*(k)+ECvHx(k)(wHx(k)*Hx(k)d*(k)令輸入矢量信號x(k)與參考信號d(k)之間的互相關(guān)可以表示為R(k):xdR(k)=Ex(k)d*(k)xd6)關(guān)于WHX(k)為一個(gè)標(biāo)量，因此:(WHX(k)*=(WHX(k)*)t=(WHX(k)H=WHX(k)7)令輸入矢量信號x(k)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為R

28、(k)XXXX將式(6)(8)帶入式(5)得:J(w)=E|d(k)|2-2ReIwhRxd+wHRwXX則J(w)取最小值時(shí)的最佳權(quán)向量w可以通過對w求偏導(dǎo)數(shù)得到。opta令J(w)=2Rw2R=0awXXXd(8)9)10)若R是可逆矩陣，最佳權(quán)向量可以表示為:XXw=R-1RoptXXXd11)i=j最大信干噪比準(zhǔn)則(MSINR)最大信干噪比(MaxSignaltoInterferenceplusNoiseRatio,MSINR淮則用來選擇使SINR最大的權(quán)向量,陣列接收信號可以表示為：TOC o 1-5 h zx(k)=s(k)+u(k)(1)其中，s(k)=s(k),s(k)，s(k

29、)T,u(k)=u(k),u(k),u(k)T分別表示輸入信號和12N12N噪聲與干擾。相應(yīng)的輸出信號可以表示為:y(k)=wHs(k)+wHu(k)=y(k)+y(k)(2)su其中，y(k)=wHs(k),y(k)=wHu(k)su則輸出SINR可以表示為:33)33)其中，其中，n(k)=ni(k)，吵),nN(k)T表示噪聲。其中，其中，n(k)=ni(k)，吵),nN(k)T表示噪聲。SINR=丄EL(k)|2=叫(k)l2(k)Jss、/II、/1wHRuuwE卜wHs(k)whswHRw其中R(k)二E(k)sH(k),R(k)二Eu(k)uh(k)ssuu要得到滿足MSINR的

30、權(quán)向量，需要將式(3)對w進(jìn)行求偏導(dǎo),whRwT6J令s=J,=0whRwdwuu根據(jù)求偏導(dǎo)數(shù)的商法則可得：-QJ-whRwRw-whRwRw-0Qw4)5)uussssuuwhRwwhRwRw-ssRw，則：R-1Rw-sswhRwuuuusswhRwuuuu從而可得：wHRwss的數(shù)值介于R-1R的最小特征值和最大特征值之間。其中,R-1R的最大特征值wHRwuussuussuu九滿足下式：R-1Rw-九w。因此只需求出九的最大值，即可得到SINR的最大值，則maxuussmax九對應(yīng)的特征向量w.即為基于MSINR準(zhǔn)則的最佳權(quán)向量。maxmax當(dāng)系統(tǒng)中不存在干擾時(shí),該準(zhǔn)則就簡化為最大信噪

31、比(MSNR)準(zhǔn)則。此準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)是可以使信噪比最大化,缺點(diǎn)是必須得到噪聲的統(tǒng)計(jì)量,且需要對信號的到達(dá)方向進(jìn)行估計(jì)。最大似然準(zhǔn)則(ML)最大似然ML(MaximumLikelihOOd)準(zhǔn)則是以期望信號s未知，非期望信號n服從均值為零的高斯分布的設(shè)想。該準(zhǔn)則旨在定義一個(gè)能估計(jì)出期望信號的似然函數(shù)假定總的分布服從高斯分布，但均值受期望信號s的控制。概率密度函數(shù)由聯(lián)合概率密度P(x/s)描述,表示為在給定s(n)的條件下x(n)出現(xiàn)的條件概率,該密度可視為似然函數(shù),用來估計(jì)參數(shù)s。表達(dá)式為:P(x(k)/s)-exp2kS2n仃(x(k)-a(k)s)hr-1(x(k)-a(k)s)nn1)式中，3

32、2表示非期望信號的標(biāo)準(zhǔn)方差；R=521表示非期望信號的自相關(guān)矩陣nnn設(shè)接收信號為x(k),則最大似然(MaxLikelihood,ML)準(zhǔn)則的模型表示為：x(k)-a(k)s+n(k)(2)0000a(k)=a(k),a(k),a(k)T表示一個(gè)固定的方向向量。S為一個(gè)標(biāo)量，表示輸入信號。12N設(shè)接收信號的對數(shù)似然函數(shù)為:L(x)=InP(x(k)/s)(3)其中，P(x(k)/s)是在給定s條件下x(k)出現(xiàn)的條件概率。In表示自然對數(shù)。設(shè)噪聲n(k)為零均值的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其自相關(guān)矩陣用R表示。則似然函數(shù)L(x)可以寫成：nnL(x)=Bx(k)-a(k)sHR-1Lx(k)a(k)

33、snn(4)=B(xh(k)R-1x(k)ah(k)shR1x(k)xh(k)R-ia(k)s+ah(k)R-ia(k)shsnnnnnnnn其中，B是一個(gè)與x(k)和s無關(guān)的常數(shù)?，F(xiàn)在要計(jì)算使似然函數(shù)最大的S,記作S稱為s的最大似然估計(jì)。即：入s=wHx(k)為此大似然估計(jì)。即：入s=wHx(k)為此,將似然函數(shù)對s求偏導(dǎo)數(shù),得到：色=XH(k)R-1a(k)+aH(k)R-ia(k)SH=0dsnnnn則SH=xh(k)R-1a(k)nnaH(k)R-1a(k)=xH(k)wnn由(7)可得最佳權(quán)向量為：woptah(k)R-ia(k)R-ia(k)=丫即(k)nn(5)(6)(7)8)為

34、標(biāo)量。1為標(biāo)量。其中，丫=rraH(k)R-1a(k)nn線性約束最小方差準(zhǔn)則(LCMV)最小方差Mv(Minimumvariance)準(zhǔn)則要求保證在有用信號增益固定的情況下，使得輸出總功率達(dá)到最小,也就是噪聲和干擾信號的功率最小。為確保無失真,通常加入約束條件,因此MV準(zhǔn)則也常稱為線性約束最小方差(LCMV)準(zhǔn)則。假定采用均勻直線陣，非期望信號的均值為零,其方程式如下：MinP=Ey(k)F丿outwHa=10(1)若是均勻直線陣,輸入有用信號向量可表示為：S(k)=s(k)a(2)式中,a為方向向量,是一個(gè)固定向量。結(jié)合式(1),陣列的輸出信號為y(k)=whS(k)+whu(k)=wHa

35、S(k)+whu(k)=S(k)+whu(k)0(3)于是天線陣輸出干擾加噪聲功率：P=Ejy(k)F=whRwoutuu(4)應(yīng)用拉格朗日法，代價(jià)函數(shù)J(w)是方差和約束條件的線性組合，得5)J(w)=whRw+21-wn5)uu0將上式對w求導(dǎo)并令其為零，得到w=XR-ia(6)optuu0將式(6)代入(1)得到7)7)X=aHR-1a00uu得到最小方差的最優(yōu)權(quán)向量wMVRwMVR-iaaHR-1auu000uu8)對照式(3.35)和式(3.42),最小方差準(zhǔn)則和最大似然準(zhǔn)則在形式上是一樣的。唯一的區(qū)別在于,最大似然準(zhǔn)則要求所有合并后的非期望信號服從均值為零的高斯分布。而在最小方差準(zhǔn)

36、則中,非期望信號包括干擾源及噪聲。常用的波束賦形算法最小均方(LMS)算法圖使用參考信號的波束賦性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)dri表示時(shí)刻n的參考信號，兀表示時(shí)刻n的輸入信號。波束形成器的輸出信號y(n)=WHS(I1)e(n)=d(n)Iy(n)MMSE準(zhǔn)則就是使誤差信號的均方值最小，陣元加權(quán)向量代價(jià)函數(shù)取為：陣元加權(quán)向量式中.陣列輸入向量x(n)=采用梯度法求得均方誤差函數(shù)，有：，當(dāng)梯度為零時(shí)有最小值，解得:叫jpt(町二RxxCn)rsd(nJ式中：一般，我們是不知道信號的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的。解決的方法是使用其瞬時(shí)值來估計(jì);:;和J-即:Rqx(n)(n)x(n)xxxd采樣最陡下降法的選代技術(shù)可近似求出代價(jià)函數(shù)

37、的梯度。最陡下降迭代近似由下式給出：1w(n+1)=wfn)I-Vw(jw(n)代價(jià)函數(shù)的梯度由式給出，帶入時(shí).得到LMS的解:式中，-是步長，是一個(gè)值很小的正實(shí)數(shù)一般介于0和1之間；可：、：是代價(jià)函數(shù)的梯度。LMS算法權(quán)向量的初始值是n=0時(shí)刻的w(0)值。通過不斷調(diào)整權(quán)向量的值，最終使得均方誤差值最小。LMS算法的收斂性與步長-成正比。如果步長太小，則收斂速度緩慢。如果步長太大，會(huì)因?yàn)槭諗克俣忍於斐上到y(tǒng)不穩(wěn)定。因此，必須選擇一個(gè)步長范圍來確保收斂。研究表明,如果滿足下列條件就可以確保算法穩(wěn)定：10五max式中，九是R；：的最大特征值。max采樣矩陣求逆(SMI)算法LMS自適應(yīng)算法的一

38、個(gè)缺點(diǎn)是，在達(dá)到令人滿意的收斂前，算法必須經(jīng)過多次迭代。采樣矩陣求逆SMI(SampleMaXtrixlnversion算法可以解決LMS算法相對緩慢收斂性的問題，也稱直(8)(8)(8)(8)接矩陣求逆(DMI)算法，對天線陣的自相關(guān)矩陣R直接求逆。采樣矩陣是對利用K次采樣的XX天線陣相關(guān)矩陣的時(shí)間平均估計(jì)。如果隨機(jī)過程在相關(guān)性上遍歷,則時(shí)間估計(jì)將等于實(shí)際相關(guān)矩陣。關(guān)于MMSE最小值的討論，最優(yōu)天線陣權(quán)值由維納解w=R-ir得到。通過時(shí)間平均optxxxd可估計(jì)相關(guān)矩陣,得R二為x(i)xh(i)(5)(6)xxK(5)(6)xd=I藝d”xd=I藝d”xi=1式中,K是觀察周期。可以表示成

39、:R(n)=丄X(n)Xh(n)xxKKKr(n)=丄D*(n)X(n)xdKK其中，X(n)=x,x(2),x(K)KD*(n)=d*(1),d*(2),d*(K)由于使用長度為K的數(shù)據(jù)塊,因此這種方法也稱塊自適應(yīng)法(block-adaptiveapproach)。長度為K的第n個(gè)塊的SMI的最優(yōu)權(quán)向量為：w=R-1r=X(n)XH(n)-1D*(n)X(n)(7)optxxxdKKK可見,SMI是樣本數(shù)據(jù)塊的更新方法。雖然，在理論上SM工算法比LMS算法收斂速度快很多,但是SMI算法需要對矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算,隨著矩陣階數(shù)的增加,求逆帶來的計(jì)算量也將增大,硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜,這使它在實(shí)際應(yīng)用中受到限

40、制.。遞歸最小二乘(RLS)算法盡管SMI算法的速度比LMS算法的速度快，但是計(jì)算復(fù)雜度和潛在的奇異性會(huì)帶來一些問題。因此,我們可以采用遞歸的方式計(jì)算出所需的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量,稱此算法為遞歸最小二乘(RLS)算法。自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量的估計(jì)採用總和除以塊長的形式。當(dāng)計(jì)算權(quán)值時(shí),乘積R-i(n)r(n)抵消了用K除。因此，可以省略K而將自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量重寫為：xxxdR(n)=工x(i)xh(i)i=1r(n)=工d*(i)x(i)xdi=1R-i(n)和r(n)是終止于采樣時(shí)刻n的相關(guān)估計(jì)。xxxd由于信源隨時(shí)間緩慢移動(dòng),所以可以不關(guān)注最早的數(shù)據(jù)采樣,而只關(guān)注最近的數(shù)據(jù)采樣。修改

41、上式,去掉最早的時(shí)間采樣,有R(n)=xx工anR(n)=xx工an一ix(i)xh(i)i=1(9)r(n)=xdnid*(i)x(i)i=1其中ae(0,1為加權(quán)因子,也稱遺忘因子。當(dāng)a=1時(shí),就是常見的最小二乘算法;a=1還表明記憶無限。將上式的求和分成兩項(xiàng)，前i=n-1項(xiàng)的值和最后一項(xiàng)i=n的得到兩式的遞歸形式:xx(n)=乞aniix(i)xhxx(n)=乞aniix(i)xh(i)+x(n)xh(n)=aR(n1)+x(n)xh(n)xx(10)i=1r(n)=xda藝ani1d*(i)x(i)+d*(n)x(n)=arxd(n1)+d*(n)x(n)(11)i=1因此,使用前面的

42、值可求得后面的天線陣的自相關(guān)矩陣估計(jì)和互相關(guān)向量估計(jì)。對R(n)使用矩陣求逆，得:xxR1(n)=a1RR1(n)=a1R1(n1)xxxxa-2R-1(n1)x(n)xh(n)R-1(n1)xxxx1+a-1xh(n)R1(n1)x(n)xx=a1R1(n1)g(n)xH(n)R1(n1)xxxx式中，增益向量g(n)=R-1(n1)x(n)xxa+xH(n)R1(n1)x(n)xx化簡可得到:g(n)=R1(n)x(n)xx按照迭代次數(shù)n重新整理最優(yōu)維納解并將式(11)代入得w(n)=R1(n)r(n)=aR1(n)r(n1)+R1(n)x(n)d*(n)xxxdxxxdxx將式(12)、

43、式(13)代入式(14)得到權(quán)向量更新公式w(n)=w(n1)+g(n)d*(i)xH(n)w(n1)(12)(13)(14)(15)比較式(15)和式(4),兩者在形式上相同。RLS算法采用遞推的方法來完成矩陣求逆運(yùn)算,因而收斂速度快,對特征值的散布度不那么敏感。最優(yōu)最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)算法若是均勻直線陣,輸入有用信號向量可表示為:22)22)S(k)=as(k)+u(k)0式中,a為方向向量,是一個(gè)固定向量。陣列的輸出信號為y(k)=wHS(k)+wHu(k)=wHaS(k)+wHu(k)0其中，u(k)為干擾加噪聲信號。于是天線陣輸出干擾加噪聲功率:P=Ey(k)F=whRwo

44、utuu3)R=E(xxH為干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣。uuuuuu設(shè)計(jì)波束形成的目標(biāo)是如下：最小化輸出干擾噪聲的功率EVuuI21保證有用信號的無失真。即w=argminwhRw)MVDRuu4)或者wHao=1minvhRw!uus.wHa=10應(yīng)用拉格朗日法，代價(jià)函數(shù)J(w)是方差和約束條件的線性組合，得5)J(w)=whRw+2X1-wHa0將上式對w求導(dǎo)并令其為零，得到5)uuw=XR-iaoptuu0將式(6)代入(1)得到6)1X=aHR-1a00uu得到最小方差的最優(yōu)權(quán)向量7)w=R-iaMVaHR-iauu00uu8)假設(shè)協(xié)方差矩陣R是已知的,MVDR算法稱為最優(yōu)波束形成器，當(dāng)協(xié)

45、方差矩陣不知道時(shí),uu必須利用訓(xùn)練序列進(jìn)行估計(jì)，而利用估計(jì)統(tǒng)計(jì)特性的波束形成稱之為自適應(yīng)波束形成。估計(jì)協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)方法是構(gòu)造樣本協(xié)方差矩陣Ruu。其中： )中，卩0是步長因子，表示關(guān)于w的梯度算子，并用瞬時(shí)梯度代替平均梯度可得恒模算法的更新方程為:TOC o 1-5 h zw(n+1)=w(n)卩x(n)z*(n)(5)不同的恒模算法在迭代公式上的主要區(qū)別為z(n)取值不同。恒模波束形成器的輸出信號可以表示為：y(n)=whx(n)(6)恒模算法就是通過調(diào)整該加權(quán)向量值,來恢復(fù)信號的恒模特性,從而實(shí)現(xiàn)盲自適應(yīng)波束形成。既然我們要恢復(fù)的信號具有恒模特性,不失一般性的令該信號的模為1,于是可以

46、得到恒模算法的代價(jià)函數(shù)為：J(n)二E9y(n)|p-1q(7)當(dāng)p=2,q=2時(shí),whx(n)8)(9)e(n)二y(n)1whx(n)8)(9)nJ22(n)二Ey(研12恒模算法的代價(jià)函數(shù)類似于傳統(tǒng)的均方誤差代價(jià)函數(shù),所以類似于傳統(tǒng)的LMS算法可以采用隨機(jī)梯度下降法，用負(fù)梯度方向上的小步長來不斷的更新權(quán)向量w的迭代值。其迭代式子如下w(n+1)w(n+1)=w(n)一yVJ22(n)10)其中，卩0是小步長因子，運(yùn)用公式|y(n)|2=y(n)y*(n)=wHx(n)xH(n)w可以得到下面所給出的梯度:y(n)|所給出的梯度:y(n)|2-12丿二2E卜|y(n)|2-1V|y(n)|

47、2-1VJ(n)二VE9y(n)|2-122丄I=2E|y(n)|2-1Vlwhx(n)xh(n)w=2E|y(n)|2-1x(n)xh(n)w)11)二2E卜卜(n)|21x(n)y*(n)上式用瞬時(shí)值取代期望值,有:VJ2(n)二29y(n)|2-1x(n)y*(n)將式(11)代入式(10)可以得到恒模算法CMA(2,2)的迭代更新方程為w(n+1)=w(n)+卩1一|y(n)|2y*(n)x(n)同理，當(dāng)P=1,q=2時(shí)，J(n)二E(n)-1/(14)15(14)15)16)y(n)|w(n+1)二w(n)+y1y*y(n)|p=1的情況比p=2的情況收斂快。比較LMS算法的遞推公式

48、：e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-whx(n)w(n+1)=w(n)+停(n)x(n)可以發(fā)現(xiàn),兩者算法的遞推更新公式是一樣的，唯一不同的是期望信號。在LMS算法中，期望信號需要通過訓(xùn)練序列獲得,而在CMA中，期望信號可以取y(n)/|y(n)|,可以根據(jù)輸出信號y(n)直接計(jì)算。因此CMA算法就是考慮信號恒模特性的LMS算法。MUSIC算法波達(dá)方向估計(jì)問題中的陣列信號數(shù)學(xué)模型為了分析推導(dǎo)的方便,現(xiàn)將波達(dá)方向估計(jì)問題中的數(shù)學(xué)模型作理想狀態(tài)的假設(shè)如下:(1)各待測信號源具有相同的極化、且互不相關(guān)。一般考慮信號源為窄帶的,且各信號源具有相同的中心頻率。待測信號源的個(gè)數(shù)為Do0天線陣列是由M

49、(MD)個(gè)陣元組成的等間距直線陣，各陣元特性相同，各向同性，陣元間隔為d,并且陣元間隔不大于最高頻率信號半波長。天線陣列處于各信號源的遠(yuǎn)場中，即天線陣列接收從各信號源傳來的信號為平面波。各陣元上有互不相關(guān)，與各待測信號也不相關(guān),方差為b2的零均值高斯白噪聲n(t)om各接收支路具有完全相同的特性。kk=1圖零距線陣與遠(yuǎn)場佶號設(shè)由第k(k=1,2,D)個(gè)信號源輻射到天線陣列的波前信號為S(t),前面已假S*(t)為窄帶信號，則S(t)可以表示為以下形式:S(t)=S(t)exp(jwt)kkk式中s(t)是信號Sk(t)的復(fù)包絡(luò)，w是信號Sk(t)的角頻率。前面已經(jīng)假設(shè)D個(gè)信號具有相kkkk同的

50、中心頻率，所以有：2兀dw=w=k0九式中。d是電磁波波束，九是公用的信號波長。當(dāng)信源信號入射到天線陣列時(shí)，相對于參考陣元，其它陣元所接收到的信號都會(huì)存在一個(gè)時(shí)間TOC o 1-5 h z延遲，所以其中某一個(gè)陣元的接收信號可以表示為S(t-1)，其中t為該陣元相對于參考陣k11元的時(shí)間延遲，則根據(jù)窄帶假設(shè),有如下近似：S(t-1)-S(t)k1k故延遲后的波前信號為：S(t一t)=S(t一t)expjw(t一t)沁S(t)expjw(t一t)k1k101k01所以，若以第一個(gè)陣元為參考點(diǎn)，則t時(shí)刻等間距直線陣中的第m(m=1,2,M)個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的感應(yīng)信號為:akakSk(t)exp一

51、j(m一1)2兀dsin0其中，a為第m個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的影響,前面己假設(shè)各陣元無方向性，所以可取k-/八dsin0a=1。0為第K個(gè)信號源的方位角，(m-1)4表示由第m個(gè)陣元與第1個(gè)陣元間kk入的波程差所引起的信號相位差。考慮測量噪聲和所有信號源來波，第m個(gè)陣元的輸出信號為:其中n(t)是測量噪聲，所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個(gè)陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于m(t)=f(t)=fSk(t)exp一j(m一1)2兀dsin0+n(t)m第k個(gè)信號源。設(shè)a(0)二exp-j(m-1)2兀dfn匕mk九為第m個(gè)陣元對第k個(gè)信號源的響應(yīng)函數(shù)。則第m個(gè)陣元的輸出信號為:x(t)=2Da(0)S(

52、t)+n(t)mmkkmk=1其中S(t)是第k個(gè)信號源在陣元上的信號強(qiáng)度。k運(yùn)用矩陣的定義,可以得到更為簡潔的表達(dá)式:X=AS+N式中X(t)=x(t),x(t)，x(t)TTOC o 1-5 h z12MS=S(t),S(t),S(t)T12DA=a(0),a(0)，,a(0)t12D-11-1e-e-加2e-jDe-j(m-1)e-j(m-1)2e-j(m-1)%2兀dsin0N=W/)，n2(t),nM(t)T對x(t)進(jìn)行N點(diǎn)采樣,我們要處理的問題就變成了通過輸出信號x(t)的采樣mmx(i),i=12,Mh古計(jì)出信號源的波達(dá)方向角0,0，,0。m12d由此,可以很自然的將陣列信號看

53、作是噪聲干擾的若干空間諧波的疊加,從而將波達(dá)方向古計(jì)問題與譜古計(jì)聯(lián)系起來。對陣列輸出X作相關(guān)處理，得到其協(xié)方差矩陣RX:R=EXXHX其中,H表示矩陣共扼轉(zhuǎn)置。前面已假設(shè)信號與噪聲互不相關(guān)、且噪聲為零均值白噪聲,因此將式(3-9)代入式(3-15),可以得到R二E(AS+N)(AS+N)hX二AE(SSh)Ah+E(NNH)=ARAh+RSN式中R二E(SSh)S稱為信號的相關(guān)矩陣。R=b21N是噪聲的相關(guān)矩陣,。b2是噪聲功率，I是MxM階的單位矩陣。當(dāng)所有信號互不相關(guān)時(shí),有0,i豐jES(t)S*(t)=仁.iiP，i=ji其中，P為第i個(gè)信號源的功率。i此時(shí)信號相關(guān)矩陣為R=diag(P

54、,P，P)S12D為一對角陣,其秩為Rank(R)=DS對于信號部分相關(guān)的情況,R不是一個(gè)對角陣,但其秩仍為SRank(R)=DS對角元素仍為信號功率，第i行第j列的元素r.表示第i個(gè)信源與第j個(gè)信源ij之間的相關(guān)程度。對于信號部分相干的情況,R不是一個(gè)對角陣,且其秩：SRank(R)D,則有：Rank(ARAH)=DS由于R=EXXH，所以有：XRH=RXX即R是Hemrite矩陣,它的特征值都是實(shí)數(shù)。又由于Rs是正定的，X矩陣ARAh是半正定的，它有D個(gè)正特征值和M-D個(gè)零特征值。S再考慮有噪聲存在的情況R=ARAh+o21XS由于a20為滿秩陣，所以R有M個(gè)正實(shí)特征值九,九，,九，分別X

55、12M對應(yīng)于M個(gè)特征向量V,V，,V。又由于R是Hemriet矩陣,所以各特征向12MX量是相互正交的,即VV=0i豐jij與信號有關(guān)的特征值只有D個(gè),分別等于矩陣ARAh的各特征值與a2之S和,其余的M-D個(gè)特征值為a2，也就是說，a2是R的最小特征值，它是XMD維的。對應(yīng)的特征向量v,i=1,2，,M中，也有d個(gè)是與信號有關(guān)的，i另外MD個(gè)是與噪聲有關(guān)的。MUSIC算法的基本原理通過對陣列協(xié)方差矩陣的特征分解,可以得到如下的結(jié)論:將矩陣R的特征值進(jìn)行從小到大的排序,即X尢X乙，X012M其中D個(gè)較大的特征值對應(yīng)于信號，M-D個(gè)較小的特征值對應(yīng)于噪聲。矩陣R的屬于這些特征值的特征向量也分別對應(yīng)于信號和噪聲,因此,可以把XR的特征值（特征向量）劃分為信號特征值（特征向量）與