1、近世代數(shù)課件 子群第1頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三8.1定義與例 討論子對(duì)象是一個(gè)常用的代數(shù)方法.我們看一個(gè)群 假如由 里取出一個(gè)非空子集 來(lái)，那么利用 的乘法可以把 的兩個(gè)元相乘對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)， 很可能也作成一個(gè)群定義一個(gè)群 的一個(gè)非空子集 叫做 的一個(gè)子群，假如 對(duì)于 的乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群, 用符號(hào) 表示例給了一個(gè)任意群 ， 至少有兩個(gè)子群： ；只包含單位元 的子集第2頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三例 ， ， 那么 是 的一個(gè)子群因?yàn)椋?對(duì)于 的乘法來(lái)說(shuō)是閉的， ， ， ；結(jié)合律對(duì)于所有 的元都對(duì)，對(duì)于 的元也對(duì)； ； ， 更多的

2、例子注1: 的乘法必須是 的乘法注2: 驗(yàn)證 是子群時(shí)有些條件可以省略.第3頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三8.2 等價(jià)條件引理:設(shè) , 那么(1)(2) , 對(duì)于 中運(yùn)算定理一個(gè)群 的一個(gè)不空子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（）（）第4頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三證明若是（），（）成立， 作成一個(gè)群由于（）， 是閉的；結(jié)合律在 中成立， 在中自然成立；因?yàn)?至少有一個(gè)元 ，由（）， 也有 元 ，所以由（），由（），對(duì)于 的任意元 來(lái)說(shuō)， 有 元 ，使得反過(guò)來(lái)看 ，假如 是一個(gè)子群 ，（）顯然成立我們證明，這時(shí)（）也一定成立

3、證完（），（）兩個(gè)條件也可以用一個(gè)條件來(lái)代替第5頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三定理一個(gè)群 的一個(gè)不空子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（） 證明 I. 我們先證明，（）和（）成立，（）就也成立 假定 ， 屬于 ，由（）， ，由（）， II.現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)證明，由（）可以得到（）和（） 假定 由（）， ，于是 （）成立第6頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三假定 ， 由剛證明的， ；由（）， ,即 (i) 成立證完假如所給子集 是一個(gè)有限集合，那么 作成子群的條件更要簡(jiǎn)單定理一個(gè)群 的一個(gè)不空有限子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件

4、是：證明這個(gè)條件是必要的，無(wú)須證明我們證明它是充分的因?yàn)?是有限集合，我們使用有限的定義證明.第7頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三8.3 生成子群 現(xiàn)在我們要認(rèn)識(shí)一種找一個(gè)子群的一般方法 我們?cè)谝粋€(gè)群 里任意取出一個(gè)非空子集 來(lái)，包含元 ， ， ， ，.那么 當(dāng)然不見(jiàn)得是一個(gè)子群, 但是我們可以把 擴(kuò)大一點(diǎn)，而得到一個(gè)包含的子群 利用 的元以及這些元的逆元我們可以作各種乘積，比方說(shuō)， ， ， ，等等設(shè)集合 剛好包含所有這樣的乘積, 可以證明:第8頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三 (1). 作成一個(gè)子群因?yàn)閮蓚€(gè)這樣的乘積乘起來(lái)還是一個(gè)這樣的乘積

5、， 一個(gè)這樣的乘積的逆元也是一個(gè)這樣的乘積, 由定理， (2) 對(duì)任何一個(gè)包含 的子群 , 一定包含 這一點(diǎn)容易看出： 既是一個(gè)子群，它又包含所有 的元 ， ， ，兩個(gè)條件，因而根據(jù)定理1，它必須包含所有的上面所作的那些乘積；這就是說(shuō)， 由 (1)和(2)， 是包含 的最小的子群 第9頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三 定義如上得到的 叫做由 生成的子群，我們用符號(hào) 來(lái)表示它 假如我們?nèi)∫粋€(gè)只包含一個(gè)元 的子集 ，那么是一個(gè)循環(huán)子群例3 生成子群很復(fù)雜,給出一些簡(jiǎn)單的例子第10頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三8.4 子群的運(yùn)算兩個(gè)子群的交仍然是

6、子群兩個(gè)子群的并不一定是子群群的子集的運(yùn)算容易證明: , ,設(shè)A，B是群G的兩個(gè)非空子集,規(guī)定第11頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三等價(jià)條件的另外表達(dá) 定理1一個(gè)群 的一個(gè)不空子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（）（） 定理一個(gè)群 的一個(gè)不空子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（） 定理3一個(gè)群 的一個(gè)不空有限子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：第12頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三證明: 僅證明定理1 設(shè)H是G的子群, 那么 , (?)另一方面, , 所以 , 注意: ,所以 . 反過(guò)來(lái), 構(gòu)成 的一個(gè)子群.第13頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)42分，星期三子群的乘積例4 兩個(gè)子群的乘積一般不是子群.S3 中，H=(1),(12)N =(1),(13), HN =(1),(13),(12),(132)不是子群定理4 設(shè)H,K是G的兩個(gè)子群,那么 HK是子群 HK=KH證明: 如果HK是子群, 那么 (HK)-1=HK,同時(shí), (HK)-1=K-1H-1=KH, 所以 HK=KH反過(guò)來(lái), 如果HK=KH (HK)(HK)=(HK)(KH)=.=HK (HK)-1=K-1H-1=KH=HK注: