1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 13 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 頁(yè)2023屆上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1若cos 0，且sin20，則角的終邊在A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】D【詳解】試題分析：且，為第四象限角故D正確【解析】象限角2已知，則的最小值為（）A50B49C25D7【答案】B【分析】由結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，根?jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為49.故選：B.3教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，

2、排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)小于等于0.1%.經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為%，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為（）（參考數(shù)據(jù)）A11分鐘B14分鐘C15分鐘D20分鐘【答案】A【分析】由時(shí)，求得；由列不等式，通過(guò)解不等式來(lái)求得需要的時(shí)間.【詳解】依題意可知時(shí)，即，所以，由，得，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，所以至少需要分鐘.故選：A4已知遞增正整數(shù)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中

3、正確的有（）（1）可能成等差數(shù)列；（2）可能成等比數(shù)列；（3）中任意三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列；（4）當(dāng)時(shí)，恒成立.A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到數(shù)列間的關(guān)系，不放假設(shè)，可判斷（1）；假設(shè)是等比數(shù)列退出矛盾可判斷（2）,進(jìn)而可判斷（3）；同（2）一樣證明中任意三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，可判斷（4）；【詳解】因?yàn)?，因?yàn)槭沁f增正整數(shù)數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；所以，若，則，不滿足題意；所以，不妨取，此時(shí)成等差數(shù)列，故（1）正確；若成等比數(shù)列，則，所以，所以即與矛盾，故（2）錯(cuò)誤；同理假設(shè)成等比數(shù)列則，所以，與矛盾故（3）正確；當(dāng)時(shí)，且，故（4）正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主

4、要考查數(shù)列與組合數(shù)相結(jié)合的綜合題，組合數(shù)公式，這是正確計(jì)算的關(guān)鍵，其次也要注意式子的化簡(jiǎn)與放縮等.二、填空題5若集合，集合，則_【答案】【分析】先求得集合，或，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算，即可求解【詳解】由集合，集合或，則故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算，其中解答中正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則的值為 _【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以由題意得：【解析】復(fù)數(shù)概念7若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則此三棱錐的體積為_【答案】【詳解】試題分析：記正三棱錐為，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則，在中，所以.【解析】正三棱錐的性質(zhì)和體積的計(jì)算

5、.8函數(shù)的值域?yàn)開【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在上也單調(diào)遞增，所以，即，故的值域?yàn)?故答案為: .9已知，與的夾角為，則在上的數(shù)量投影為_【答案】【分析】利用平面向量的幾何意義可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，在上的數(shù)量投影為.故答案為：.10已知為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和，若，則_【答案】【分析】根據(jù)，求得公差，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【詳解】，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11一名信息員維護(hù)甲乙兩公司的5G網(wǎng)絡(luò)，一天內(nèi)甲公司需要維護(hù)和乙公司需要維護(hù)相互獨(dú)立，它們需要維

6、護(hù)的概率分別為0.4和0.3，則至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的概率為_【答案】0.88【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式直接求解即可【詳解】至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的對(duì)立事件是兩公司都需要維護(hù)，所以至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的概率為，故答案為0.88【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法以及相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式的應(yīng)用12由一組樣本點(diǎn)、，根據(jù)最小二乘法求得的回歸方程為，則_.【答案】【分析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程即可求得的值.【詳解】由已知條件可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得，解得.故答案為：.13已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范

7、圍為_.【答案】【分析】由于函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)分類討論，求出極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，可得關(guān)于的不等式，即可求出結(jié)果【詳解】由.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由于函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，這是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破點(diǎn).14設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，已知?jiǎng)t_【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，由于所以.【解析】正態(tài)曲線.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了正態(tài)曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)條件“隨

8、機(jī)變量服從正態(tài)分布”找到其對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，再利用正態(tài)曲線與軸圍成的面積和為及其對(duì)稱性，即可得到隨機(jī)變量在內(nèi)取值的概率就是,解答時(shí)，應(yīng)畫出圖形，這樣更加直觀.15已知圓，點(diǎn)，、為圓上兩點(diǎn)且滿足，為中點(diǎn)，且構(gòu)成三角形，記的面積為，則的最大值為_【答案】【分析】如圖，由已知，為中點(diǎn)可得出，利用勾股定理得到，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，設(shè)點(diǎn)并代入上式得到的軌跡方程，當(dāng)?shù)阶畲缶嚯x為圓的半徑時(shí)，最大.【詳解】如圖：因?yàn)?，所以，因?yàn)闉樾边呏悬c(diǎn)，所以，根據(jù)垂徑定理可知，所以，所以，設(shè)，則，所以，展開整理得，軌跡是以為圓心（中點(diǎn)），半徑為的圓，所以到最大距離為，且，所以，所以的最大值為.故答案為：16若，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

9、則的取值范圍是_.【答案】【分析】首先利用輔助角公式對(duì)化簡(jiǎn)，可得，再利用的值域，可求出的范圍，即得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】，其中，因?yàn)?，所以，令，則的值域?yàn)?，可得的值域?yàn)?又因?yàn)?，所以，即，且單調(diào)遞減，因?yàn)椋缘娜≈捣秶枪蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)求值域，涉及了輔助角公式，二倍角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題17設(shè)(2x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值；（1）a0；（2）a1a3a5a99；（3）(a0a2a4a100)2(a1a3a99)2.【答案】（1）2100；（2）；（3）1.【分析】（1）令x0

10、可得答案；（2）令x1和x1，兩式相加可得答案；（3）利用平方差公式，再將（2）中的兩式代入計(jì)算即可.【詳解】解：（1）令x0，則展開式可化為a02100.（2）令x1，得a0a1a2a99a100(2)100令x1，得a0a1a2a3a100(2)100聯(lián)立得：a1a3a99.（3）原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.18如圖，三棱錐，平面，且垂足在棱上，；（1）證明為直角三角形；（2）求點(diǎn)到平面的距離；【答案】（1）證明見解析；（2）；【分析】（1）建立空

11、間坐標(biāo)系，利用向量法即可證明PBC為直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直線AP與平面PBC所成角的正弦值【詳解】（1）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，于是，即為直角三角形.（2）由（1）可得，故，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，取，則，平面PBC的一個(gè)法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,則，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間坐標(biāo)系，利用向量法求證線線垂直，點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題19已知雙曲線，其右頂點(diǎn)為求以為圓心，且與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，其法向量為，若在雙曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)

12、到直線的距離均為，求的值【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓的半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出與直線平行的直線，代入雙曲線方程，求得的值，即可求解【詳解】（1）由題意，雙曲線，可得右頂點(diǎn)為，又由曲線的漸近線方程為，即，則點(diǎn)到漸近線的距離為，即圓的半徑為，所以圓的方程為（2）由題意，直線法向量為，可得直線的斜率為1，設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，令，解得，當(dāng)時(shí)，直線與的距離為；當(dāng)時(shí)，直線與的距離為，所以的值或【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與

13、運(yùn)算能力，屬于中檔試題20已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)的切線方程；(2)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，分別計(jì)算，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用存在型問(wèn)題的解決辦法，求解最大值；（3）計(jì)算函數(shù)的極小值點(diǎn)，再根據(jù)極小值所在范圍列不等式，分類討論求解.【詳解】(1)，因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為；(2)函數(shù)在上存在減區(qū)間，則有在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，此時(shí)令，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，則函數(shù)的極小值點(diǎn)

14、應(yīng)落在內(nèi)，令，得，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即得，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】研究單調(diào)區(qū)間與極值存在問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為研究不等式存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.21已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，記點(diǎn)，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：點(diǎn)、在同一直線上，并求出直線的方程；(3)若對(duì)恒成立，求的最小值【答案】(1)；(2)證明見解析，；(3)【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，解方程可求得公差和公比，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出和，令，消去得直線