1、定積分在物理學中的應用第1頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三 由物理學知道，如果一個物體在常力F作用下，使得物體沿力的方向作直線運動 ，物體有位移 s 時，力F對物體所作的功為：W=F*s 這個公式只有在力F是不變的情況下才適用，但在實際問題中，物體在運動過程中所受到的力是變化的。下面我們來說明如何利用微元法來求變力所作的功。 一、變力沿直線作功第2頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三我們?nèi)圆捎梦⒃?，所求?對區(qū)間 具有可加性。設變力 是連續(xù)變化的，分割區(qū)間 ，任取一小區(qū)間 由 的連續(xù)性，物體在 這一小段路徑上移動時， 的變化很小，可近似看作 是不變

2、的，則變力 在小段路徑 上所做的功可近似看作恒力做功問題，于是得功的微元為將微元從 到 求定積分，得整個區(qū)間所做的功第3頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三【例10】將彈簧一端固定，另一端連一個小球，放在光滑面上，點 為小球的平衡位置。若將小球從點 拉到點 ，求克服彈性力所做的功。解 如圖所示，建立數(shù)軸 ，由物理學知道，彈性力的大小和彈簧伸長或壓縮的長度 成正比，方向指向平衡位置 ，即： xOM其中k是比例常數(shù)，負號表示小球運動 方向與彈性力F方向相反。若把小球從點 拉到點 克服彈性力F，所用外力的大小與F相等，但方向相反， 即： ，它隨小球位置 的變化而變化。在 的變化區(qū)

3、間0，S上任取一小區(qū)間 ，則力 所做功的微元 于是功第4頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三【例11】某空氣壓縮機，其活塞的面積為S，在等溫壓縮過程中，活塞由 壓縮到 處，求壓縮機在這段壓縮過程中所消耗的功？解 如圖所示建立數(shù)軸 ，由物理學知 xOx2 x1道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強 與體積 的乘積為常數(shù) ，即由已知，體積 是活塞面積S與任一點位置 的乘積，即 因此 于是氣體作用于活塞上的力活塞所用力則力 所做功的微元第5頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三于是所求功二、液體壓力現(xiàn)有一面積為S的平板，水平置于比重為 ，深度為 的液體中，則平板一側

4、所受的壓力值： F = 壓強面積如若將平板垂直于該液體中，對應不同的液體深度，壓強值也不同，那么，平板所受壓力應如何求解呢？Oaxx+dxby=f(x)xy如圖所示建立直角坐標系，設平板邊緣曲線方程為則 所求壓力F對區(qū)間 具有可加性，現(xiàn)用微元法來求解。第6頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三在 上任取一小區(qū)間 ，其對應的小橫條上各點液面深度均近似看成 ，且液體對它的壓力近似看成長為 、寬為 的小矩形所受的壓力，即壓力的微元為 于是所求壓力第7頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三yOX+dx2m1mxx【例12】有一底面半徑為1米，高為2米的圓柱形貯水桶，

5、里面盛滿水。求水對桶壁的壓力。解 如圖所示建立直角坐標系,則積分變量的變化區(qū)間為0，2在其上任取一小區(qū)間 ，高為 的小圓柱面所受壓力值的近似值，即壓力的微元為于是所求壓力將 牛頓/米3代入得 牛頓第8頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三【例13】 有一半徑 米的圓形溢水洞，試求水位為3米時作用在閘板上的壓力？解 如果水位為3米，如圖所示，xOx+dxxyy= R2-x2 建立直角坐標系，積分變量 的變化區(qū)間為 ，在其中任取一小區(qū)間 ，所對應的小窄條上所受壓力的近似值，即壓力微元將第9頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三解取 ox 軸豎直向上xoRR+H地

6、球半徑設為R 質量為M，由萬有引力定律，即 x =R 時火箭所受的引力就是火箭的重力mg 火箭所受地球的引力隨火箭發(fā)射的高度 x 而變化當火箭在地面上代入上式為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力， 克服地球引力的外力F與 f 大小相等 第10頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三下面用微元法來求變力所作的功。 取 x 為積分變量所須作的功 為了使火箭脫離地球引力范圍，也 就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠處第11頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三則動能為因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有代入上式得 第二宇宙速度 這功是由火箭上的動能轉化而來，若火箭離開地面時的初速度為

7、 第12頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三 半徑為R，高為H 的圓柱形貯水桶，盛滿了水，問將水桶中的水全部吸出須作多少功？解 這個問題雖然不是變力作功問題，但是由于吸出同樣重量不同深度的水時所作的功是不同的，所以也要用定積分來計算?？梢岳斫馑且粚右粚拥乇晃酵翱诘脑趨^(qū)間 y ,y + dy 上對應一小薄柱體該水柱重為 將這一小水柱提到桶口所經(jīng)過的距離例3第13頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三將以上幾例的解法一般化可得若一物體在變力 F ( x ) 的作用下，沿力的方向（ox 軸）作直線運動，當物體由 x = a 移到 x = b 時，變力 F (

8、 x )對物體所作的功為第14頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三 由物理學知道，一水平放置在液體中的薄板，其面積為A，距液面的深度為 h ，則該薄板的一側所受的壓力P等于液體的壓強 p 與受力面積的乘積，而壓強等于深度與比重的乘積，于是 但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直放置的薄板一側的所受的壓力，由于薄板在不同深度處壓強不同，因而不能直接應用上述公式進行計算，需要采用微元法，利用定積分來計算。例4 設半徑為R的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，求閘門一側所受的壓力。 二、液體的側壓力第15頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三取坐標系如圖oxyy+dy2

9、Ry 奇函數(shù) 偶函數(shù)四分之一圓面積x解第16頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三 邊長為 a , b 的矩形薄板，與液面成 角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深 h 處，設 a b 液體的比重為 ，求板的一側所受的壓力。解如圖建立坐標系坐標為 x 處液體的深度為xx+dxab例5第17頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三得液體的側壓力的計算公式將以上幾例的解法一般化第18頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三由萬有引力定律：兩個質量分別為 相距為 r 的質點間的引力 若要計算一細長桿對一質點的引力，此時由于細桿上各點與質點的距離是變化

10、的，所以不能直接利用上述公式計算。例6 設有一長為 l 質量為 M 的均勻細桿，另有一質量為 m 的質點和桿在一條直線上，它到桿的近端距離為 a ，求細桿對質點的引力。三、引力第19頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三取 x 為積分變量該小段細桿的質量為 若把問題改為求細桿對位于它的一端垂線上距桿 a 處的質量為 m 質點的引力。 第20頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三解 取坐標系如圖0lma取 x 為積分變量該小段細桿的質量為 若把問題改為求細桿對位于它的一端垂線上距桿 a 處的質量為 m 質點的引力。 第21頁，共30頁，2022年，5月20日，

11、0點51分，星期三解如圖建立坐標系第22頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三 尤其是如何在具體問題中取“微元”微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手無策，不知如何下手。四、平均值和均方根 關于定積分在物理方面的應用，除了應熟記各個公式的結果外，還須了解其推導過程第23頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三關于定積分的應用說明三點：1。選擇合適的坐標系2。善于根據(jù)問題的性質和要求構造積分元素，主要是選擇好參數(shù)，并能正確地確定出積分限，3。具體計算定積分時，要特別注意和充分并且慎重應用對稱性及等量關系以簡化定積分的計算，對此，熟悉區(qū)域或曲線的形狀，對于解決問題是十分有益的。第24頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關的物理知識）思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關系？ 五、小結第25頁，共30頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因