1、 二次函數(shù)【知識(shí)清單】一、網(wǎng)絡(luò)框架二、清單梳理1、一般的，形如的函數(shù)叫二次函數(shù)。例如等都是二次函數(shù)。注意：系數(shù)不能為零，可以為零。2、二次函數(shù)的三種解析式表達(dá)式= 1 * GB3一般式：= 2 * GB3頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為= 3 * GB3交點(diǎn)式：3、二次函數(shù)的圖像位置與系數(shù)之間的關(guān)系= 1 * GB3：決定拋物線的開口方向及開口的大小。當(dāng)時(shí)，開口方向向上；當(dāng)時(shí)，開口方向向下。決定開口大小，當(dāng)越大，那么拋物線的開口越?。划?dāng)越小，那么拋物線的開口越大。反之，也成立。= 2 * GB3：決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)在軸正半軸即軸上方；當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸即軸下方；當(dāng)時(shí)

2、，拋物線過原點(diǎn)。反之，也成立。= 3 * GB3：共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置。當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右邊；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左邊；當(dāng)即當(dāng)時(shí)對(duì)稱軸為軸。反之，也成立。= 4 * GB3特別：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，有。反之也成立。4、二次函數(shù)的圖像可由拋物線向上向下，向左向右平移而得到。具體為：當(dāng)時(shí)，拋物線向右平移個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，拋物線向左平移個(gè)單位，得到；當(dāng)時(shí)，拋物線再向上平移個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，拋物線再向下平移個(gè)單位，而得到的圖像。5、拋物線與一元二次方程的關(guān)系：= 1 * GB3假設(shè)拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。= 2 * GB3假設(shè)拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn)，那么一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

3、即一根。= 3 * GB3假設(shè)拋物線與軸無交點(diǎn)，那么一元二次方程沒有實(shí)根。6、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)關(guān)系式圖像形狀拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性在圖像對(duì)稱軸左側(cè)，即或，隨的增大而減??；在圖像對(duì)稱軸右側(cè)，即或，隨的增大而增大；在圖像對(duì)稱軸左側(cè)，即或，隨的增大而增大；在圖像對(duì)稱軸右側(cè)，即或，隨的增大而減??；最大值最小值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【考點(diǎn)解析】考點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念【例1】以下函數(shù)中是二次函數(shù)的是 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可做出判斷，中符合的形式，所以是二次函數(shù)，分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)，中右邊不是整式，顯然不是二次函數(shù)?！敬鸢浮俊纠?】函數(shù)是二次函數(shù)，那么?！窘馕觥扛鶕?jù)二次函數(shù)的定義，

4、只需滿足兩個(gè)條件即可“二次項(xiàng)系數(shù)不為零，且的最高次數(shù)為。故有，解得，綜上所述，取?！敬鸢浮俊踞槍?duì)訓(xùn)練】假設(shè)函數(shù)是二次函數(shù)，那么該函數(shù)的表達(dá)式為?？键c(diǎn)二：待定系數(shù)法在求解二次函數(shù)解析式中的應(yīng)用【例1】點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，那么的值是【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，所以將點(diǎn)代入二次函數(shù)中，可以得出，那么可得，【答案】【例2】2023，泰安假設(shè)二次函數(shù)的與的局部對(duì)應(yīng)值如下表，那么當(dāng)時(shí)，的值為【解析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，所以，把代入得，所以二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，。【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】(2002年太原)過,三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2、無論為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象

5、總是過定點(diǎn) 【例3】2023，石家莊一模如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，那么與的函數(shù)關(guān)系式為 【解析】設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為，將代入得，解得：，故這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是，【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】2002，太原過，三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_?？键c(diǎn)三：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用與系數(shù)的關(guān)系【例1】2023，蘭州二次函數(shù)有最小值1，那么、的大小關(guān)系為 不能確定【考點(diǎn)】涉及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)有最小值1，所以，所以?！敬鸢浮俊踞槍?duì)訓(xùn)練】 1、二次函數(shù)的最小值是。2、2023，蘭州二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 3、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 【例2】2023，蘭

6、州拋物線可以由拋物線平移得到，那么以下平移過程正確的是 先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位【考點(diǎn)】涉及函數(shù)平移問題【解析】拋物線向左平移2個(gè)單位可得到拋物線，再向下平移3個(gè)單位可得到拋物線?！敬鸢浮俊踞槍?duì)訓(xùn)練】 1、2023，南京以下函數(shù)：1；2；3。其中，圖象通過平移可以得到函數(shù)的圖象的有填寫所有正確選項(xiàng)的序號(hào)。2、2023，上海將拋物線向上平移一個(gè)單位后，得到新的拋物線，那么新的拋物線的表達(dá)式是。3、將拋物線向左平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是 【例3】2023，長(zhǎng)沙

7、二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么以下關(guān)系式錯(cuò)誤的是 【考點(diǎn)】圖像與系數(shù)的關(guān)系【解析】觀察題中圖象可知，拋物線的開口方向向上，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，且當(dāng)時(shí)，。顯然選項(xiàng)A、B、C都正確，只有選項(xiàng)D錯(cuò)誤?！敬鸢浮俊纠?】2023，山西二次函數(shù)的圖象如下列圖，對(duì)稱軸為直線，那么以下結(jié)論正確的是 方程的兩根是，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【考點(diǎn)】圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【解析】由圖象可知，故A錯(cuò)誤；因?qū)ΨQ軸為直線，所以，故C錯(cuò)誤；由圖象可知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故D錯(cuò)誤；由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知B選項(xiàng)正確，【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】 1、2023，呼和浩特在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)是常數(shù)

8、，且的圖象可能是 2、2023，重慶拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的位置如下列圖，那么以下結(jié)論中，正確的是 3、在反比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，那么二次函數(shù)的圖象大致是 考點(diǎn)四：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例1】2023，重慶某企業(yè)為重慶計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件，受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格元與月份，且取整數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如下表：月份123456789價(jià)格元/件560580600620640660680700720隨著國家調(diào)控措施的出臺(tái)，原材料價(jià)格的漲勢(shì)趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格元與月份1012，且取整數(shù)之間存在如下列圖的變化趨勢(shì)：1

9、請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如下列圖的變化趨勢(shì)，直接寫出與之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；2假設(shè)去年該配件每件的售價(jià)為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力本錢為50元，其它本錢30元，該配件在1至9月的銷售量萬件與月份滿足函數(shù)關(guān)系式19，且取整數(shù)10至12月的銷售量萬件與月份滿足函數(shù)關(guān)系式1012，且取整數(shù)求去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤最大，并求出這個(gè)最大利潤；3今年1至5月，每件配件的原材料價(jià)格均比去年12月上漲60元，人力本錢比去年增加20%，其它本錢沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價(jià)在去年的根底上提高，與此同時(shí)每月銷售量均在去年1

10、2月的根底上減少這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成了1至5月的總利潤1700萬元的任務(wù)，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，估算出的整數(shù)值參考數(shù)據(jù)：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025【考點(diǎn)】涉及函數(shù)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)來解決問題，綜合性比較強(qiáng)，一般還涉及不等式，最值問題?！窘馕觥?把表格1中任意2點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式可得的解析式把10，73012，750代入直線解析式可得的解析式，；2分情況探討得：19時(shí)，利潤=售價(jià)各種本錢；1012時(shí)，利潤=售價(jià)各種本錢；并求得相應(yīng)的最大利潤即可；3根據(jù)1至5月的總利潤1700萬元得到關(guān)系式

11、求值即可。解：1設(shè)，那么 QUOTE ，解得 QUOTE ，19，且取整數(shù)；設(shè)，那么 QUOTE ，解得 QUOTE ，1012，且取整數(shù)；2設(shè)去年第月的利潤為元19，且取整數(shù)時(shí)=4時(shí)，最大=450元；1012，且取整數(shù)時(shí)，=10時(shí)，最大=361元；3去年12月的銷售量為0.112+2.9=1.7萬件，今年原材料價(jià)格為：750+60=810元今年人力本錢為：501+20%=60元510001+81060301.710.1=1700，設(shè)，整理得，解得9401更接近于9409， QUOTE ，0.1，9.8，10或980，1.710.11，10【答案】11012，且取整數(shù)；2=10時(shí)，最大=361

12、元；310【針對(duì)訓(xùn)練】1、2023湖北孝感在“母親節(jié)前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛貧困母親的活動(dòng)，他們購進(jìn)一批單價(jià)為20元的“孝文化衫在課余時(shí)間進(jìn)行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親。經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，假設(shè)每件按24元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出36件；假設(shè)每件按29元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出21件假定每天銷售件數(shù)y件與銷售價(jià)格x元/件滿足一個(gè)以x為自變量的一次函數(shù)。1求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出x的取值范圍；2在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的利潤最大？【例2】2023，孝感如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2，0，直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上1二次

13、函數(shù)的解析式為=；2證明點(diǎn)不在1中所求的二次函數(shù)的圖象上；3假設(shè)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)軸上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么K點(diǎn)的坐標(biāo)是；二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使得？求出點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】考察函數(shù)的圖像與性質(zhì)，與平面圖形綜合為主，一般涉及存在性問題和動(dòng)點(diǎn)問題?！窘馕觥?由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式寫出拋物線解析式2把該點(diǎn)代入拋物線上，得到的一元二次方程，求根的判別式3由直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，使為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么，且，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)過點(diǎn)作軸于，那么，又為

14、中點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，可得到，設(shè)，由題意可以解出1解：2證明：設(shè)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，那么有：，整理得，原方程無解，點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上3解：或二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得，如圖，過點(diǎn)作軸于，那么，又為中點(diǎn)，由于和可求得點(diǎn)軸，設(shè)，由題意得：解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)和，使得【答案】1； 2見上述解答過程； 3存在，點(diǎn)和【針對(duì)訓(xùn)練】1、2023，泉州如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)1求的值；2通過操作、觀察，算出的面積的最小值不必說理；3過點(diǎn)作直線，與軸交于點(diǎn)，試問：在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形是否為梯形？假設(shè)是，請(qǐng)說明理由；假設(shè)不是，請(qǐng)指出四邊形的形狀

15、【根底闖關(guān)】1、二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么這個(gè)函數(shù)的解析式為。2、二次函數(shù)，那么函數(shù)的最小值是。3、把拋物線向上平移5個(gè)單位，所得拋物線的解析式為。4、2023，濟(jì)寧將二次函數(shù)化成的形式，那么。5、2006，陜西如圖，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是 6、函數(shù)的圖象如下列圖，那么函數(shù)的圖象是 7、2023，蘭州二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 1，3，3 1，8、2023，泰安對(duì)于拋物線，以下結(jié)論：拋物線的開口向下；對(duì)稱軸為直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，3；時(shí)，隨的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為12349、2023，貴陽：直線過拋物線的頂點(diǎn)，如下列圖1頂點(diǎn)的坐標(biāo)是_2假設(shè)直線經(jīng)過另一點(diǎn)0，11，求出該直線的表達(dá)式；3

16、在2的條件下，假設(shè)有一條直線與直線關(guān)于軸成軸對(duì)稱，求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)10、2023，虹口區(qū)一模二次函數(shù)，解答以下問題：1用配方法將該函數(shù)解析式化為的形式；2指出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，以及它的變化情況【拓展提高】1、將二次函數(shù)的圖象沿軸向上平移3個(gè)單位，那么平移后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是。2、假設(shè)拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，那么的值是。3、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且過點(diǎn)，那么二次函數(shù)的解析式為4、2023，蘭州拋物線圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的解析式為，那么、的值為 ，5、2023，蘭州拋物線圖象如下列圖，那么一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致

17、為 6、2023，南寧如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩條位置確定的拋物線，它們的對(duì)稱軸相同，那么以下關(guān)系不正確的是k=nh=mknh0，k0 7、2023，北京將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為8、2023，重慶企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時(shí)進(jìn)行1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1噸與月份16，且取整數(shù)之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表： 月份x月 1 23 45 6 輸送的污水量y1噸 12000 6000 4000 3

18、000 24002000 7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2噸與月份712，且取整數(shù)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為其圖象如下列圖1至6月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用：元與月份之間滿足函數(shù)關(guān)系式：，該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用：元與月份之間滿足函數(shù)關(guān)系式：；7至12月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用均為1.5元1請(qǐng)觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，分別直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；2請(qǐng)你求出該企業(yè)去年哪個(gè)月用于污水處理的費(fèi)用元最多，并求出這個(gè)最多費(fèi)用；3今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運(yùn)行，該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計(jì)擴(kuò)大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的根底上增加a%，同時(shí)每噸污水處理的費(fèi)