1、 8.3 全微分及其應用一、全微分的定義依據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系 有偏增量與偏微分fx x y fx y fxx y xfx x y fx y為函數(shù)對 x 的偏增量 fxx y x 為函數(shù)對 x 的偏微分fx y y fx y fyx y yfx y y fx y為函數(shù) 對 y 的偏增量 fyx y y 為函數(shù)對 y 的偏微分全增量 z fx x y y fx y運算全增量比較復雜 我們期望用 x、 y 的線性函數(shù)來近似代替之定義 假如函數(shù) z fx y在點x y的全增量z fx x y y fx y 可表示為z A x B y o x 2 y 2 其中 A、B 不依靠于 x、 y

2、 而僅與 x、y 有關 就稱函數(shù) z fx y在點x y可微分 而稱A x B y 為函數(shù) z fx y在點 x y的全微分 記作 dz 即dz A x B y那么稱這函數(shù)在D 內(nèi)可微分假如函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點處都可微分可微與連續(xù) 可微必連續(xù) 但偏導數(shù)存在不肯定連續(xù)這是由于假如 z fx y在點x y可微 就fx ,yz fxx yy fx y A x B y o 于是lim 0z0fxx ,yylim 0fx ,y z 從而x ,lim y ,0 0 因此函數(shù) z fx y在點 x y處連續(xù)可微條件定理 1必要條件 假如函數(shù) z fx y在點 x y可微分 就函數(shù)在該點的偏導數(shù) z 、z

3、必定存在 且x y函數(shù) z fx y在點x y的全微分為 dz z x z yx y證設函數(shù) z fx y在點 Px y可微分 于是 對于點 P 的某個鄰域內(nèi)的任意一點 P x x y y 有 z A x B y o 特殊當 y 0 時有f xx y fx y A x o| x|z 存在 且 yzB所以上式兩邊各除以x 再令 x0 而取極限 就得lim x0fxx ,y fx ,y Ax從而偏導數(shù)z 存在 且 xzA同理可證偏導數(shù)xydzzxzyxy于是有z A x B y o 特殊當簡要證明設函數(shù)z fx y在點 x y可微分y 0 時有f xx y fx y A x o| x|xz yy上

4、式兩邊各除以x 再令 x0 而取極限 就得lim x0fxx ,y fx ,y lim x 0Ao |x |Axx從而z 存在 且 xzA同理z 存在 且 yz yB所以dzz xx偏導數(shù)z 、xz 存在是可微分的必要條件 y但不是充分條件例如函數(shù) f x , y x 2 xyy 2 x 2 y 2 0在點 0 0處雖然有 fx0 0 0 及 fy0 0 0 但函數(shù)0 x 2 y 2 0在0 0不行微分 即 z fx0 0 x fy0 0 y不是較 高階的無窮小這是由于當 x y沿直線 y x 趨于0 0時z f x 0 , 0 x f y ,0 0 y x 2 x yy 2 x 2 x xx

5、 2 12 0定理 2充分條件 假如函數(shù) z fx y的偏導數(shù)z 、xz 在點 x y連續(xù) 就函數(shù)在該點可微分 y定理 1 和定理 2 的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)按著習慣x、 y 分別記作 dx、dy 并分別稱為自變量的微分就函數(shù) z fx y的全微分可寫作dzzdxzdyxy二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù) 例如函數(shù) u f x y z 的全微分為du u dx u dy u dzx y z例 1 運算函數(shù) z x2y y2的全微分解由于 z 2 xy z x 2 2 yx y所以 dz 2xydx x 2 2y

6、dy例 2 運算函數(shù) z exy在點 2 1處的全微分解由于x z ye xy zy xe xyz x 2 e 2 zx 2 2e 2x y 1 y y 1所以 dz e2dx 2e2dy例 3 運算函數(shù)uxsinye yz的全微分2解由于u1u1cosyze yzuye yzxy22z所以dudx1 2cosyze yz dyye yz dz2* 二、全微分在近似運算中的應用當二元函數(shù) z f x y在點 P x y的兩個偏導數(shù) fx x y fyx y連續(xù) 并且 | x| | y|都較小時 有近似等式即 f xx yz dz fx x y x fyx y y y fx y fx x y x

7、 fyx y y我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似運算例 4 有一圓柱體 受壓后發(fā)生形變 它的半徑由 20cm 增大到 20 05cm 高度由100cu 削減到 99cm 求此圓柱體體積變化的近似值解 設圓柱體的半徑、高和體積依次為 r、h 和 V 就有V r 2h已知 r 20 h 100 r 0 05 h 1 依據(jù)近似公式 有V dV Vr r Vh h 2 rh r r 2 h2 20 100 0 05 20 2 1 200 cm 3即此圓柱體在受壓后體積約削減了 200 cm 3例 5 運算 1 04 2 02的近似值解 設函數(shù) f x y x y 明顯 要運算的值就是函數(shù)在f1

8、 04 2 02取 x 1 y 2x 0 04y 0 02 由于x 1 04 y 2 02 時的函數(shù)值f x x y y fx y fxx y x fyx y yxyyxy 1x xyln x y所以1 042 02122 12 10 04 12ln1 0 02 1 08例 6 利用單擺搖擺測定重力加速度 g 的公式是 g 4T 2 2 l現(xiàn)測得單擺擺長 l 與振動周期 T 分別為 l=1000.1cm、T=20.004s.問由于測定 l 與T 的誤差而引起 g 的肯定誤差和相對誤差各為多少？解 假如把測量 l 與 T 所產(chǎn)生的誤差當作 | l|與|T|, 就利用上述運算公式所產(chǎn)生的誤差就是二

9、元函數(shù) g 4T 2 2 l 的全增量的肯定值 |g|. 由于 | l| |T|都很小 因此我們可以用 dg 來近似地代替 g 這樣就得到 g 的誤差為| g | | dg | | g l g T |l T| gl | l |T g | T4 2 T 12 lT 2 l3 T 其中 l 與 T 為 l 與 T 的肯定誤差 把 l=100 T=2, l=0.1, T=0.004代入上式 得 g 的絕對誤差約為g 4 2 .02 2 1 22 1003 .0 004 0 . 5 2 4 . 93 cm / s 2 . g g4 0 .2 5100 20 . 5 002 2從上面的例子可以看到 對于一般的二元函數(shù) z=fx, y, 假如自變量