1、福師實(shí)變函數(shù)在線(xiàn)作業(yè)二一、判斷題（共 37 道試題，共 74 分。）1. fV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，并且只能有第一類(lèi)間斷點(diǎn). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：2. 持續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是有界變差函數(shù). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：3. 若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：4. L積分下Nwton-liniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對(duì)持續(xù)函數(shù)。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：5. 對(duì)Rn中任意點(diǎn)集，必為可測(cè)集. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：6. 測(cè)度為零的集稱(chēng)為零測(cè)集. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：7. 三大積分收斂定理是實(shí)變函數(shù)論的基本成果。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：8.

2、當(dāng)f在(0,+)上一致持續(xù)且L可積時(shí)，則lim_x-+f(x)=0. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：9. 測(cè)度收斂的L可積函數(shù)列，其極限函數(shù)L可積. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：10. 不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間,上增且使得f(x)在,上積分值fxf()-f() . 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：11. f,gM(X),則fgM(X). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：12. 若f_n測(cè)度收斂于f，則1/f_n也測(cè)度收斂于1/f. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：13. 可積的充足條件:若存在gL1,使得|f|=g. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：14. f在,上為增函數(shù)，則f的導(dǎo)數(shù)fL1,. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：15. 運(yùn)用有界變差函數(shù)可

3、表達(dá)為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將有關(guān)單調(diào)函數(shù)的某些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎到處可微并且導(dǎo)函數(shù)可積。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：16. 若fV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：17. 若f_n測(cè)度收斂于f，g持續(xù)，則g(f_n)也測(cè)度收斂于g(f). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：18. 設(shè)f為,上增函數(shù)，則存在分解f=g+h，其中g(shù)是上一種持續(xù)增函數(shù)，h是f的跳躍函數(shù). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：19. 運(yùn)用積分的sigm-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)可以任意重排。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：20. 一致收斂的絕對(duì)持續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對(duì)持續(xù)函數(shù). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案

4、：21. 三大積分收斂定理涉及Lvi定理，F(xiàn)tou定理和Lsgu控制收斂定理。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：22. 可數(shù)個(gè)G_lt集之交和有限個(gè)G_lt集之并仍是G_lt集，但可數(shù)個(gè)G_lt集之并未必仍是G_lt集. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：23. 若對(duì)任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測(cè)，則f為可測(cè)函數(shù). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：24. fV，則f幾乎到處可微，且fL1,. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：25. 若f,gV，則f+g,f-g,fg均屬于V。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：26. 增函數(shù)f在,上幾乎到處可微。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：27. 零測(cè)度集的任何子集都是可測(cè)集. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：28.

5、設(shè)f是區(qū)間,上的有界實(shí)函數(shù)，則f在,上R可積，當(dāng)且僅當(dāng)f在,上幾乎到處持續(xù). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：29. 函數(shù)f-,則f可測(cè)。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：30. 若fV,則f有界。. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：31. 若交等于空集，則可測(cè)時(shí)必可測(cè). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：32. 無(wú)論Rimnn積分還是Lsgu積分，只要|f|可積，則f必可積. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：33. 函數(shù)f在,上為常數(shù)的充要條件是f在,上絕對(duì)持續(xù)且在,上幾乎到處為零. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：34. 有界可測(cè)集的測(cè)度為有限數(shù)，無(wú)界可測(cè)集的測(cè)度為+. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：35. fV，則f有“原則分解式”:f(x)=f()+p

6、(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差. 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：36. 一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù). 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：37. f為,上減函數(shù)，則f(x)在,可積且其積分值fxf()-f() . 錯(cuò)誤. 對(duì)的對(duì)的答案：福師實(shí)變函數(shù)在線(xiàn)作業(yè)二二、單選題（共 5 道試題，共 10 分。）1. 開(kāi)集減去閉集其差集是（ ）. 閉集. 開(kāi)集. 非開(kāi)非閉集. 既開(kāi)既閉集對(duì)的答案：2. 若為Rn中一疏集，則（ ）. 為稠集. 為開(kāi)集. 為孤立點(diǎn)集. 不完備對(duì)的答案：3. 設(shè)g(x)是0,1上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0 x(g)是0,1上

7、的. 持續(xù)函數(shù). 單調(diào)函數(shù). 有界變差函數(shù). 絕對(duì)持續(xù)函數(shù)對(duì)的答案：4. 若|=|,|=|,則. |=|. |=|. |=|. 當(dāng)或?yàn)闊o(wú)限集時(shí)，|=|對(duì)的答案：5. 下列關(guān)系式中不成立的是（ ）. f(i)=f(i). f(i)=f(i). ()0=00. (i)=(i)對(duì)的答案：福師實(shí)變函數(shù)在線(xiàn)作業(yè)二三、多選題（共 8 道試題，共 16 分。）1. 設(shè)為Rn中的一種不可測(cè)集，則其特性函數(shù)是. 是L可測(cè)函數(shù). 不是L可測(cè)函數(shù). 有界函數(shù). 持續(xù)函數(shù)對(duì)的答案：2. f(x)=sinx/x,x(0,+),則f(x)在(0,+)上. 廣義R可積. 不是廣義R可積. L可積. 不是L可積對(duì)的答案：3. 設(shè)fn與gn在X上分別測(cè)度收斂于f與g，則（ ）. fn測(cè)度收斂于|f|. fn+gn測(cè)度收斂于f+g. (fn)2測(cè)度收斂于f2. fngn測(cè)度收斂于fg對(duì)的答案：4. 若f,，則（ ）. f,. fV,. f(x)=f()+x f (t)t. fLip,對(duì)的答案：5. 若 和都是R中開(kāi)集，且是的真子集，則（ ）. m()m(). m()=m(). m()=m(). m()=m()+m()對(duì)的答案：6. f(x)=1,x(-，+),則f(x)在(-，+)上. 有L積分值. 廣義