1、定積分的物理應(yīng)用第1頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三一、平面物質(zhì)線段的質(zhì)量 已知在閉區(qū)間a, b上的物質(zhì)直線段 L，線密度為(x)，且 (x)是連續(xù)函數(shù)，求線段 L 的質(zhì)量.質(zhì)量元素：從而線段L 的質(zhì)量為L(zhǎng)第2頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例1一金屬棒長(zhǎng)3(m)，離棒左端x(m)處的線密度為 (x) =問(wèn)：x為何值時(shí)，0, x一段的質(zhì)量為全棒的一半？解0, x上一段的質(zhì)量為第3頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三而全棒的質(zhì)量為 M(3) = 2,故依題意有第4頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三二、功O問(wèn)

2、題：設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動(dòng)到x = b，力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行，求變力所作的功 .由物理學(xué)，已知常力F0將質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)a 移至 b, 所作的功為：1. 變力沿直線所作的功第5頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三 功W具有可用定積分計(jì)算的量的三個(gè)特征，故可考慮用定積分的“元素法”來(lái)計(jì)算.功元素：注當(dāng)力的方向與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致時(shí)，W為正；當(dāng)力的方向與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向相反時(shí)，W為負(fù).xo第6頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例2自地面垂直地向上發(fā)射火箭. 設(shè)火箭的質(zhì)量為m, 求： (1) 火箭離開(kāi)地面距離為h 時(shí)，克服地球引力

3、 所作的功W ;(2) 若要火箭飛離地球，火箭的初始速度v0 至少為多少？解 (1)1 建立坐標(biāo)系(如圖)rO設(shè)地球的質(zhì)量為M,半徑為R.地平面第7頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三rO地平面 r 用于克服地球引力的外力：2 由萬(wàn)有引力定律， 地球?qū)ξ挥邳c(diǎn)r 處的火箭的引力： h r+dr功元素：R地心第8頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三第9頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三(2) 當(dāng)火箭飛離地球時(shí)，即若要火箭飛離地球，則火箭的初始動(dòng)能至少要等于火箭飛離地球時(shí)克服地球引力所作的功(即由此功全部轉(zhuǎn)化成的火箭的位能)第二宇宙速度第

4、10頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三 一圓柱形蓄水池高為5米，底半徑為3米，池內(nèi)盛滿了水.2. 從容器中抽出液體作的功例3分析把一桶重量為P的水(看成質(zhì)點(diǎn)), 提到高度為h 的地方，克服重力所作的功為：然而，現(xiàn)在的情形是將池內(nèi)的水連續(xù)不斷地問(wèn)：要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停第11頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三抽出，而不是象提水桶那樣，整體一下子提到某一高度。在水被抽出的過(guò)程中，液面到池口的距離是一個(gè)變量.解決的方法：把池中的水分成若干層，則“把池中的水抽空所作的功”=“分別把每層水從池中抽出所作的功的和”.而 “把每層

5、水從池中抽出所作的功 ” “把這層水看成一個(gè)整體從池中提到池口所作的功”.第12頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三解建立坐標(biāo)系如圖這一薄層水的重力元素為:功元素：(千焦)第13頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三三、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為 ,深為 h 處的壓強(qiáng): 當(dāng)平板與水面平行時(shí), 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用定積分來(lái)解決 .平板一側(cè)所受的壓力為面積為 A 的平板第14頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例4小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)近似相等為 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解 建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓利用對(duì)稱性

6、 , 側(cè)壓力元素的方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度端面所受側(cè)壓力為第15頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三注1當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí), 小窄條上的壓強(qiáng)近似為為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)2 對(duì)于選定的坐標(biāo)系，平板邊界曲線的方程， 水深，積分區(qū)間一定要匹配！第16頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三四、引力問(wèn)題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,二者間的引力 :大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 回顧： 兩質(zhì)點(diǎn)的引力則需用積分解決 .第17頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例5設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度

7、為 的均勻細(xì)直棒,在其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M, 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解 建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故垂直分力元素為第18頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三利用對(duì)稱性棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為 第19頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三注2 若考慮質(zhì)點(diǎn)沿 y 軸從 a 處移到 1 當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視 l 為無(wú)窮大 ,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .b (a b) 處時(shí)，克服引力作的功, 則有第20頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三引

8、力大小為注意正負(fù)號(hào)3 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí), 第21頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三內(nèi)容小結(jié)(1) 先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼 等.(2) 然后用定積分來(lái)表示整體量 Q , 并計(jì)算之. 2. 定積分的物理應(yīng)用:曲線弧段的質(zhì)量，變力作功 ,側(cè)壓力 ,引力等.條、段、環(huán)、帶、1. 用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:第22頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三思考題解如圖建立坐標(biāo)系,此閘門(mén)一側(cè)受到靜水壓力為第23頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三第24頁(yè)，共43頁(yè)，20

9、22年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三 在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹, 把容備用題例2-1求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所作的功.解建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng)p 與體積 V 成反比 , 即故作用在活塞上的力為器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 第25頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三功元素為所求功為第26頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例2-2解當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下, 一個(gè)單位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷

10、 a 處移動(dòng)到 b 處(a b) , 求電場(chǎng)力所作的功.則功的元素為所求功為第27頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第例2-3解木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榻⒆鴺?biāo)系如圖，則第一次錘擊時(shí)所作的功為xox一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？第28頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三第一次錘擊時(shí)所作的功為設(shè)n次擊入的總深度為h 厘米n次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等n次擊入的總深度為第n次擊入的深度為xoh第29頁(yè)，共43頁(yè)，2

11、022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例2-4(99考研)解 作 x 軸如圖.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口,在提升過(guò)程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問(wèn)克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m ,抓斗自重將抓起污泥的抓斗由x 提升 dx 所作的功為 400N , 纜繩每米重50N ,第30頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三提升抓斗中的污泥:克服纜繩重:抓斗升至 x 處所需時(shí)間 :克服抓斗自重: 井深 30 m, 抓斗自重 400

12、 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉 第31頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三解如圖所示建立坐標(biāo)系.于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有例3-1第32頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三第33頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三故所求速度為第34頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三R - y功元素：第35頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為第36頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三思考:若建立坐標(biāo)系（如圖），又如何求功W?解x第37頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三功元素第38頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例4-1解 建立坐標(biāo)系如圖面積元素：壓力元素：壓力：第39頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三例4-2斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板, 垂直放置于水解 選取坐標(biāo)系如圖.設(shè)斜邊長(zhǎng)為 l ,中, 并使一直角邊與水面相齊, 問(wèn)斜邊與水面交成銳角 取多大時(shí)，薄板所受的壓力P最大.則其方程為第40頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)52分，星期三故得唯一駐點(diǎn) 故此唯一駐點(diǎn)即為