1、教 案課題：點(diǎn)到直線的距離 教材：人教版全日制一般高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)其次冊(cè)（上）第七章第 3節(jié) 教案目標(biāo)：1 至少把握點(diǎn)到直線的距離公式的一種推導(dǎo)方法,能用公式來(lái)求點(diǎn)到 直線距離；2 培育同學(xué)探究才能和由特別到一般的爭(zhēng)論問(wèn)題的才能；3 熟悉事物（學(xué)問(wèn)）之間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證法思想,培育學(xué) 生轉(zhuǎn)化的思想和綜合應(yīng)用學(xué)問(wèn)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的才能；4 培育同學(xué)團(tuán)隊(duì)合作精神,培育同學(xué)個(gè)性品質(zhì),培育同學(xué)勇于探究的 科學(xué)精神；教案重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)及公式的應(yīng)用 教案難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo) 教案方法：?jiǎn)⑹疽龑?dǎo)法、爭(zhēng)論法 學(xué)習(xí)方法：任務(wù)驅(qū)動(dòng)下的爭(zhēng)論性學(xué)習(xí) 教案時(shí)間： 45 分鐘 教

2、案過(guò)程：1 .老師提出問(wèn)題,引發(fā)認(rèn)知沖突（約 5 分鐘）問(wèn)題：假定在直角坐標(biāo)系上,已知一個(gè)定點(diǎn) P（x0 ,y0）和一條定直線 l：Ax+By+C=0,那么如何求點(diǎn) P 到直線 l 的距離 d？請(qǐng)同學(xué)摸索并回答；同學(xué) 1：先過(guò)點(diǎn) P 作直線 l 的垂線,垂足為 Q,就 | PQ| 就是點(diǎn) P 到直線 l 的距離 d；然后用點(diǎn)斜式寫(xiě)出垂線方程,并與原直線方程聯(lián)立方程組,此方程 組的解就是點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；最終利用兩點(diǎn)間距離公式求出 | PQ| ；接著,老師用投影出示以下5 道題 嘗試性題組 ,請(qǐng) 5 位同學(xué)上黑板練習(xí)（第（ 4）題請(qǐng)一位運(yùn)算才能強(qiáng)的同學(xué),其余同學(xué)在下面自己練習(xí),每做完一題立刻講評(píng)）

3、：1 求 P（1 ,2）到直線 l：x=3 的距離 d；（答案： d=2）C2 求 P（x0 ,y0）到直線 l：By+C=0（B 0）的距離 d；（答案：d y 0）B3 求 P （ x0 ,y0 ） 到 直 線 l ： Ax+C=0 （ A 0） 的 距 離 d ； （ 答 案 ：d x 0 C）A4 求 P（6 ,7）到直線 l：3x-4y+5=0 的距離 d；（答案： d=1）5 求 P（x0 ,y0）到直線 l：Ax+By+C=0（AB 0）的距離 d；第（ 1）簡(jiǎn)潔、（ 2）和（ 3）題雖然含有字母參數(shù),但由于直線的位置比較1特別,同學(xué)不難得出正確結(jié)論；第（4）題雖然運(yùn)算量較大,但

4、依據(jù)剛才同學(xué)回答的方法與步驟,也能順當(dāng)解出正確答案；第（5）題雖然思路清楚,但由于字母參數(shù)過(guò)多、運(yùn)算量太大行不通；同學(xué)們陷入了困境；1 / 5 2老師啟示引導(dǎo),同學(xué)走出困境（約 8 分鐘）老師：依據(jù)以上 5 位同學(xué)的運(yùn)算結(jié)果,你能得到什么啟示？同學(xué) 2：當(dāng)直線的位置比較特別（水平或豎直）時(shí),點(diǎn)到直線的距離簡(jiǎn)潔 求得,而當(dāng)直線是傾斜位置時(shí)就較難；含有多個(gè)字母時(shí)雖然想起來(lái)思路很自 然,但詳細(xì)操作起來(lái)因運(yùn)算量很大而無(wú)法得出結(jié)果；老師：那么,練習(xí)（ 5）有沒(méi)有運(yùn)算量小一點(diǎn)的推導(dǎo)方法呢？我們能不能根 據(jù)剛才的第（ 2）、（ 3）的啟示,借助水平、豎直情形和平面幾何學(xué)問(wèn)來(lái)解決 傾斜即一般情形呢？請(qǐng)同學(xué)們摸

5、索；y同學(xué) 3：能！如圖 1,過(guò)點(diǎn) P 作 x、y 軸的垂線分別交直線 l 于 S、 R,就由三角形面積公式可得ROdSPx0,y0 | PQ|= （|PR| |PS| ）/|RS| 老師： |PR| 怎么求？ |PS| 又怎么求？xQ 同學(xué) 3：設(shè) R（x1 ,y0）,就由 Ax1+By0+C=0,得 x1= （ By0+C） A,圖 1 l|PR|=| x0- x1|=| Ax0+By0+C| | A| ；同理： |PS|=| Ax0+By0+C| | B| ；老師： |RS| 怎么求？同學(xué) 3：|RS|=PR2PS2=（A2B2/|AB| ） |Ax0+By0+C| ；老師： | PQ|

6、 結(jié)果是什么？同學(xué) 3：| PQ|=Ax0By0C；A2B2老師：公式的這種推導(dǎo)方法是否需要作補(bǔ)充說(shuō)明？同學(xué) 4：當(dāng) A=0 或 B=0 時(shí), PRS 不存在,故應(yīng)說(shuō)明公式當(dāng) A=0 或 B=0 時(shí)是否適用？由（ 2）、（ 3）檢驗(yàn)可知公式依舊成立,即公式對(duì)任意直線都適用；3 .老師提出問(wèn)題,同學(xué)分組爭(zhēng)論（約 10 分鐘）老師：推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法不少；前面我們學(xué)了函數(shù)、三角函 數(shù)、向量、不等式等數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn),你能用所學(xué)過(guò)的學(xué)問(wèn)從不同角度、采納不同方 法來(lái)推導(dǎo)這個(gè)公式嗎？請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立摸索,然后在小組上進(jìn)行爭(zhēng)論溝通,由 組長(zhǎng)負(fù)責(zé)記錄； 10 分鐘后每組推選一名代表對(duì)本組找到的最好的一種推導(dǎo)

7、方法 通過(guò)實(shí)物投影進(jìn)行“ 成果” 溝通；同學(xué)們積極探討；老師來(lái)回巡察,回答各爭(zhēng)論小組的詢問(wèn) 4.同學(xué)溝通“ 成果” ,老師點(diǎn)評(píng)小結(jié)（約16 分鐘）4 名代經(jīng)過(guò)約非常鐘的研討,各小組都找到了新的推導(dǎo)方法；于是老師請(qǐng) 表依次上講臺(tái)（讓預(yù)備成熟的先講）,借助實(shí)物投影介紹本組的“ 成果” ；由于時(shí)間關(guān)系,每組只要求講一種方法,用時(shí)不超過(guò) 重復(fù)；4 分鐘,且各組的方法不能同學(xué) 5：我們用的是“ 設(shè)而不求,整體代換” 的數(shù)學(xué)思想；請(qǐng)看投影屏 幕：2 / 5 設(shè) Q 的坐標(biāo)為（ x1 ,y1）,就直線 PQ 的斜率 k1= y 1 y 0,又直線 l 的斜率x 1 x 0k= -A ,于是由 PQ l 得,

8、 k1k= -1 即 Bx1- x0-Ay 1- y0=0 B又由于 Ax1+By1+C=0, 即 Ax1+By1=-C 兩邊同減 Ax0+By0得 Ax1-x0+By1-y0= - Ax 0+By0+C 于是 2+ 2 得, A 2+B 2x1-x0 2+y1-y0 2= Ax0+By0+C 2, 即 A 2+B 2 d 2= Ax0+By0+C 2Ax 0 By 0 C所以 d= 2 2；A B老師：“ 設(shè)而不求,整體代換” ,真是奧妙無(wú)窮,這是解讀幾何削減運(yùn)算量的有效途徑,同時(shí)也表達(dá)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美,妙不行言；幕：同學(xué)6：我們小組向大家介紹一種特殊的方法向量法,請(qǐng)看投影屏如圖 2,設(shè) T（

9、x1 ,y1）為直線l 上的任意一點(diǎn),就Ax1+By1+C=0, PT =（x1-x0,y1-y0）yPQ直線 l ,lOQ dPx 0,y0 PQ 平行于直線 l 的法向量 n=（A,B）x另設(shè) n 與 PT 的夾角為 ,就 nPT =nPTcos圖 2 Tx 1,y1 即| Ax1-x0+By1-y0|= A2B2| PT | cos |即| Ax0+By0+C|=A2B2 d d=Ax0By0C；A2B2老師：向量是數(shù)量與圖形的有機(jī)結(jié)合,解讀幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題,兩者都表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想,第三小組的推導(dǎo)方法證明白這一點(diǎn),也再次說(shuō)明白向量具有很強(qiáng)的有用性與工具性,用向量法解解讀

10、幾何題的確行之有效；同學(xué) 7：我們小組向大家介紹向量的另一lOyndM種方法,妙用向量數(shù)量積的性質(zhì)請(qǐng)看投影屏幕：如圖 3,設(shè)垂足是點(diǎn) Hm,n,HMx0m,y0n 與HAx+By+C=03 / 5 圖3X直線 l 的法向量 nA,B 共線,nA,B.AX 0By0CHMnHM nx0m,y0AX 0By0AmBndHMHM nAX 0By0C這是相當(dāng)簡(jiǎn)潔的方法了；n2 A2 B老師：奇妙利用向量數(shù)量積的性質(zhì)來(lái)求距離,簡(jiǎn)直是“ 巧奪天工” ,與其他方法相比,這種方法有肯定優(yōu)勢(shì),我們必需重視對(duì)向量工具性的爭(zhēng)論和應(yīng)用；同學(xué) 8：剛才三個(gè)小組的證明方法的確出色,我們也發(fā)覺(jué)了一種奇妙的方法,把它稱為“

11、柯西不等式法” ,請(qǐng)看投影屏幕：我們知道, P 點(diǎn)到直線 l 的距離 ,實(shí)質(zhì)上是點(diǎn) P 與直線 l 上任意一點(diǎn) T 的距離的最小值,于是我們?cè)O(shè)T （ x1 ,y1）為直線l 上的任一點(diǎn)（如圖2）,就Ax1+By1+C=0,A2B2,而 d=|PT| min,于是 |PT|=x0 x12y0y 12=x 0 x 12y0y 12A2B2利用柯西不等式,便有 |PT| A x0 x 1By0y 12=Ax0By0C,A2B2A2B2所以 d=Ax0By0C,此時(shí)B x 0 x 1A y 0y 1,即 PT 垂直于直線 l；A2B2老師：這一證法果真非常奇妙,包含的數(shù)學(xué)思想非常豐富；由點(diǎn)到直線的距想

12、到最小值,又由最小值想到不等式,在一步步“ 轉(zhuǎn)化” 中問(wèn)題得到圓滿解決；同時(shí)也表達(dá)了不等式的工具作用；5.公式應(yīng)用（同學(xué)練習(xí),約 3 分鐘）（ 1） 求 P（6 ,7）到直線 l：3x-4y+5=0 的距離 d. （直接代公式得答案： d=1,檢驗(yàn)嘗試性題組第（ 4）的答案）（ 2）求 P（-1,1）到直線 l：y 2 x 1 的距離 d. （先化直線方程為一般式再代公式得答案：d 4 5）56.老師小結(jié)并布置作業(yè)（約 1 分鐘）這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式,在公式的推導(dǎo)中學(xué)到了很多重要4 / 5 的數(shù)學(xué)思想和方法,感受到了數(shù)學(xué)的奧妙,也感受到了勝利的歡樂(lè)；其實(shí)這個(gè) 公式的推導(dǎo)方法不下十

13、種,由于課堂上時(shí)間緊,很多同學(xué)有制造性的推導(dǎo)方法 不能進(jìn)行展現(xiàn)、溝通,請(qǐng)同學(xué)們撰寫(xiě)一篇題為點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo) 方法的數(shù)學(xué)小論文,作為本節(jié)課的作業(yè),答應(yīng)三到四人合作完成；設(shè)計(jì)說(shuō)明：數(shù)學(xué)公式的教案應(yīng)包含兩個(gè)部分：公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用；由于受應(yīng)試 訓(xùn)練的影響,前者往往被“ 輕描淡寫(xiě)” ,而后者卻搞得“ 轟轟烈烈” ,這明顯 與“ 重結(jié)論,但更重過(guò)程” 的現(xiàn)代訓(xùn)練理念相違反；其實(shí)數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)都蘊(yùn) 含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,誰(shuí)忽視了這個(gè)“ 產(chǎn)生過(guò)程” ,誰(shuí)就忽視了數(shù) 學(xué)的“ 精髓” ,誰(shuí)就忽視了同學(xué)探究性思維品質(zhì)的培育；這節(jié)課把爭(zhēng)論性學(xué)習(xí)引入公式的教案,讓同學(xué)真正成為課堂的主人；在推 導(dǎo)公式的過(guò)程中,同學(xué)通過(guò)克服困難的經(jīng)受,以及獲得勝利的體驗(yàn),錘煉了意 志,增強(qiáng)了信心；其實(shí)全部公式的教案、定理的教案都應(yīng)向這個(gè)方向努力；數(shù)學(xué)教案,從根本上講就是提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的 有效途徑有二：其一,使同學(xué)善于總結(jié),使零亂的學(xué)問(wèn)系統(tǒng)化、綜合化；其 二,使同學(xué)善于聯(lián)想,培育發(fā)散性思維；本節(jié)課使學(xué)會(huì)從不同的角度摸索問(wèn) 題,加強(qiáng)學(xué)問(wèn)間的聯(lián)系,正是鍛練、提高同學(xué)運(yùn)用學(xué)問(wèn)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的 才能,從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過(guò)公式求點(diǎn)到直線的距離并不困難,但這個(gè)公式的推導(dǎo)方法不下十種,且各種推導(dǎo)都包蘊(yùn)著重要的數(shù)學(xué)思想、方法,由于課堂上時(shí)間緊,很多同學(xué)的