1、差分方程基礎(chǔ)知識第1頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三一、差分二、差分方程的概念三、一階常系數(shù)線性差分方程四、二階常系數(shù)線性差分方程第2頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三一、差分 微分方程是自變量連續(xù)取值的問題, 但在很多實際問題中, 有些變量不是連續(xù)取值的. 例如, 經(jīng)濟(jì)變量收入、儲蓄等都是時間序列, 自變量 t 取值為0, 1, 2, , 數(shù)學(xué)上把這種變量稱為離散型變量. 通常用差商來描述因變量對自變量的變化速度.定義1 設(shè)函數(shù) y = f (x), 記為 yx, 則差 yx+1 yx稱為函數(shù) yx 的一階差分, 記為yx, 即 yx = yx+

2、1 yx.第3頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 (yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx為二階差分, 記為2 yx, 即 3yx = (2yx), 同樣可定義三階差分3yx, 四階差分4yx, 即 4yx = (3yx) . 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx第4頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3).解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1, 2(x3) = (3

3、x2 + 3x + 1)= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1)= 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.第5頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三二、差分方程的概念 定義2 含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程, 稱為差分方程.差分方程的一般形式為 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)差分方程中可以不含自變量 x 和未知函數(shù) yx, 但必須含有差分. 式(1)中, 當(dāng) n = 1時, 稱為一階差分方程；當(dāng)n =

4、 2時, 稱為二階差分方程.第6頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例2 將差分方程 2yx + 2yx = 0表示成不含差分的形式.解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,代入得 yx+2 yx = 0. 由此可以看出, 差分方程能化為含有某些不同下標(biāo)的整標(biāo)函數(shù)的方程.第7頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 定義3 含有未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程, 稱為差分方程. 其一般形式為G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. (2) 定義3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于兩個. 例如,

5、yx+2 + yx+1 = 0為差分方程, yx = x不是差分方程. 差分方程式(2)中, 未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)為 n, 則稱差分方程為n 階差分方程.第8頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 定義4 如果一個函數(shù)代入差分后, 方程兩邊恒等, 則稱此函數(shù)為該差分方程的解. 例3 驗證函數(shù) yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定義5 差分方程的解中含有任意常數(shù),

6、 且任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相等, 這樣的解稱為差分方程的通解.第9頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三三、一階常系數(shù)線性差分方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 yx+1 ayx = f (x). (3)其中 a 為不等于零的常數(shù).稱為齊次差分方程; 當(dāng) f (x) 0時, 稱為非齊次差分方程. 當(dāng) f (x) = 0 時, 即 yx+1 ayx = 0 (4)第10頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三先求齊次差分方程 yx+1 ayx = 0的解設(shè) y0 已知, 代入方程可知 y1 = ay0, y2 = a2y0, yx = axy0,令

7、y0 = C, 則得齊次差分方程的通解為 yx = Cax. (5) 第11頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 這里 a = 2, 由公式(5)得, 通解為 yx = C(2)x .第12頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 定理 設(shè) y0*是非齊次差分方程(3)對應(yīng)的齊次差分方程(4)的通解, 再討論非齊次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的結(jié)構(gòu)是(3)的一個特解, 則程(3)的通解.是方下面用待定系數(shù)法來求兩種類型函數(shù)的特解. (1) 令f (x) = b0 + b1x + +b

8、mxm設(shè)特解的待定式為 或(6)(7)其中B0 , B1 , , Bm為待定系數(shù). 第13頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一個特解. 解 這里 a = 2, 設(shè)代入差分方程, 得 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理, 得 (B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2.比較系數(shù), 得 B0+B1 +B2=0,B1+2B2 = 0,B2 = 3.解出 B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,故所求特解為第14頁，共27頁，2022年，5月20日，4點4

9、5分，星期三 例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解. 解 對應(yīng)的齊次方程 yx+1 yx = 0的通解為這里 a = 1, 設(shè) (x+1)B0+B1(x+1) x(B0+B1x) = x +1.整理, 得 2B1 x + B0 + B1 = x +1.比較系數(shù), 得 2B1 = 1,B0 + B1 = 1,解出故所求通解為代入差分方程, 得第15頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三(2) f (x) = Cbx 設(shè)特解的待定式為 或(8)(9)其中 k 為待定系數(shù). 第16頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例7 求差分方程 的通解.

10、 解 對應(yīng)的齊次方程的通解為因為故可設(shè)特解為則第17頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三解出則所求通解為第18頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三四、二階常系數(shù)線性差分方程 形如 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x). (10)(其中 a , b 0, 且均為常數(shù))的方程, 稱為二階常系數(shù)線性差分方程.稱為齊次差分方程; 當(dāng) f (x) 0時, 稱為非齊次差分方程.當(dāng) f (x) = 0 時, 即 yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (11) 類似于二階線性常微分方程, 二階線性差分方程與其有相同的解的結(jié)構(gòu). 故先求齊次方程(1

11、1)的通解.第19頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 當(dāng) 為常數(shù)時, yx = x和它的各階差商有倍數(shù)關(guān)系,所以可設(shè) yx = x為方程(11)的解.代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,方程(12)稱為齊次差分方程(11)的特征方程.特征方程的解兩個不相等的實根 1, 2一對共軛復(fù)根 1,2= i兩個相等實根 1 = 2 x+2 + ax+1 + bx = 0的通解 2 + a + b = 0, (12) 由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解：第20頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例8 求差分方程 yx+2 7yx+1

12、+ 6yx = 0的通解. 解 特征方程為 方程的根為 1 = 1, 2 = 6. 2 7 + 6 = 0.原方程的通解為 yx = C1 + C26x.第21頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0滿足條件y0=0, y1=1的特解. 解 特征方程為 方程的根為 2 4 + 16 = 0.原方程的通解為第22頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三代入初始條件 y0=0, y1=1得解出故所求特解為第23頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三(1) f (x) = b0 + b1x

13、 + +bmxm 根據(jù)非齊次差分方程 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x)的函數(shù) f (x)的形式, 用待定系數(shù)法可求出一個特解.設(shè)特解的待定式為 其中B0 , B1 , , Bm為待定系數(shù). 第24頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解. 解 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 方程的根為 1 = 2, 2 = 1, 2 + 2 = 0.齊次方程的通解為 因為 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 設(shè)非齊次方程的一個特解為第25頁，共27頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三代入原方程, 得整理, 得 B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1 (x+1)(x+1)