1、理論力學(xué)教學(xué)材料動(dòng)力學(xué)普遍定理第1頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（二）變力的功 力在曲線路程中作功為（自然形式表達(dá)式）（矢量式）（直角坐標(biāo)表達(dá)式）動(dòng)力學(xué)元功：2第2頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（三）合力的功 質(zhì)點(diǎn)M 受n個(gè)力 作用合力為,則合力的功 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。動(dòng)力學(xué)3第3頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（四）常見(jiàn)力的功 1重力的功 重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與其的路徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)(下降為正)2彈性力的功1初變形，2末變形 k彈簧常數(shù) 彈性力的功

2、只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。4第4頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四若m = 常量, 則注意：功的符號(hào)的確定。3萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)如果作用力偶，m , 且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸，則 4作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力或力偶的功設(shè)在繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度 時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。5第5頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四注意：圓輪作純滾動(dòng)時(shí)摩擦力F不做功(2) 滾動(dòng)摩擦阻力偶m的功 5摩擦力的功(1) 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功動(dòng)力學(xué)若m = 常量則同其他力的功

3、計(jì)算一樣。一般摩擦力做負(fù)功。6約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。即：理性約束的約束反力做功為零。6第6頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四動(dòng)力學(xué)（1）光滑支承面（2）固定鉸支座（3）活動(dòng)鉸支座、向心軸承（4）不可伸長(zhǎng)的繩（5）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）7第7頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（五）質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功 只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。 不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。動(dòng)力學(xué)內(nèi)力功之和一般不等于零。8第8頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四二動(dòng)能 物體的

4、動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。 （一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 （二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 動(dòng)力學(xué)瞬時(shí)量,與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。 將質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，據(jù)此計(jì)算某些問(wèn)題中的動(dòng)能較為方便：設(shè)質(zhì)心速度為vc，則質(zhì)點(diǎn)Mi的速度vi：9第9頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四動(dòng)力學(xué)即：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和?？履嵯６ɡ碛谑牵菏街校嘿|(zhì)心相對(duì)于質(zhì)心的速度10第10頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（I為速度瞬心）1平動(dòng)剛體2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體3平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力

5、學(xué)（三）剛體的動(dòng)能 剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和饒過(guò)質(zhì)心且垂直于運(yùn)動(dòng)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以：或：11第11頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四三動(dòng)能定理1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：因此質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)力學(xué)兩邊點(diǎn)乘以，有12第12頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) ：即 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)力學(xué)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理將上式沿路徑 積分，可得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和。 在某一過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化量，等于質(zhì)點(diǎn)系上所有力在同一過(guò)程中

6、所作的功的代數(shù)和。13第13頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例1 圖示系統(tǒng),均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重P，半徑均為R, OC水平, A上作用一矩為M(常量)的力偶；重物D重Q。求D下落h時(shí)的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)動(dòng)力學(xué)解：研究對(duì)象：系統(tǒng)14第14頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四對(duì)（*）式求導(dǎo)（注意：此時(shí)應(yīng)視h為變量）得：動(dòng)力學(xué)（*）（F做功不？）15第15頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 例2 均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r，作純滾動(dòng)；滑塊B：m。桿AB質(zhì)量不計(jì)。斜面傾角，摩擦系數(shù)f。求：滑塊的加

7、速度。動(dòng)力學(xué)解：研究對(duì)象：系統(tǒng)由動(dòng)能定理的微分形式dT=dW得：兩邊同除以d，得設(shè)任意瞬時(shí)圓盤(pán)A質(zhì)心的速度為v，則當(dāng)圓盤(pán)A質(zhì)心沿斜面向下運(yùn)動(dòng)dS時(shí)：16第16頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例3 均質(zhì)桿AB與重物C的質(zhì)量均為m ，桿在地面水平位置時(shí)系統(tǒng)靜止，求桿被拉到與水平成300角時(shí)C的加速度（不計(jì)各處摩擦及定滑輪O、滑塊B的質(zhì)量）。動(dòng)力學(xué)解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象設(shè)桿長(zhǎng)l，則：IwjT1=0將桿放在任一位置研究。設(shè)C的速度為v，則vB= v17第17頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四動(dòng)力學(xué)Iwj（*）兩邊對(duì)t求導(dǎo)得：由（*）知：代入上式得：當(dāng)j=30

8、0時(shí)，a=0.275g18第18頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 *1均質(zhì)桿OA質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。彈簧常數(shù)k =3N/mm，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時(shí)的角速度0至少應(yīng)為多大？解：研究對(duì)象：OA桿由 得：動(dòng)力學(xué)動(dòng)能定理練習(xí)題19第19頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四*2行星齒輪機(jī)構(gòu), 位于水平面內(nèi)。 動(dòng)齒輪O1半徑r ,重P, 視為均質(zhì)圓盤(pán)；曲柄OO1重Q, 長(zhǎng)l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)； 求曲柄的 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示) 和。動(dòng)力學(xué)解：研究對(duì)象：系統(tǒng)將（）式對(duì)

9、t 求導(dǎo)數(shù)，得根據(jù) 得（）20第20頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四*3兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，不計(jì)摩擦，機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B 端的速度。動(dòng)力學(xué)解：研究對(duì)象：系統(tǒng)OA鉛直時(shí)AB瞬時(shí)平動(dòng)21第21頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四四功率 功率方程（一）功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。動(dòng)力學(xué)22第22頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20

10、日，17點(diǎn)0分，星期四（二）功率方程：由 的兩邊同除以dt 得動(dòng)力學(xué)分析：起動(dòng)階段（加速）：即制動(dòng)階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)械效率是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下 。23第23頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四8-7勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律一勢(shì)力場(chǎng)1力場(chǎng)：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場(chǎng)。動(dòng)力學(xué)重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱為有勢(shì)力(保守力),如重力、彈力等。2勢(shì)力場(chǎng)： 在力場(chǎng)中, 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)

11、動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)。24第24頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四二勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中, 質(zhì)點(diǎn)從位置M 運(yùn)動(dòng)到任選位置M0, 有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置M 相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用V 表示。M0作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱為零勢(shì)能點(diǎn)。動(dòng)力學(xué)X=X(x,y,z), Y=Y(x,y,z), Z=Z(x,y,z), 上式積分與路徑無(wú)關(guān)，由高度數(shù)學(xué)知Xdx+Ydy+Zdz可表示為某一單值連續(xù)函數(shù)的全微分，即：Xdx+Ydy+Zdz=dVV=V(x,y,z)是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱為勢(shì)能函數(shù)。25第25頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四動(dòng)力學(xué)比較前式有：

12、質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在某一位置具有的勢(shì)能是相對(duì)于零位置而言的，零位置是任選的，同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同的零位置的勢(shì)能是不同的。某位置的勢(shì)能就等于該位置的勢(shì)能函數(shù)值，如果不知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，可通過(guò)功的計(jì)算來(lái)確定。勢(shì)能相等的各點(diǎn)所組成的面，稱為等勢(shì)面。物理意義：勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)（系）在某一位置相對(duì)零位置所具有的做功的能力。26第26頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末位置的勢(shì)能之差。動(dòng)力學(xué)*有勢(shì)力的功*質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在常見(jiàn)勢(shì)力場(chǎng)中的勢(shì)能1.重力場(chǎng) 在給定零位置之上為正2. 彈性力場(chǎng)：取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)3. 萬(wàn)有引力場(chǎng)：取距引力中心無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置：27第27頁(yè)，共3

13、9頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力) 作用，則機(jī)械能守恒定律動(dòng)力學(xué)三機(jī)械能守恒定律機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。例4 均質(zhì)直桿： m 、l ，直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表示）。28第28頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡(jiǎn)后得動(dòng)力學(xué)初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：29第29頁(yè)，共39頁(yè)，2022

14、年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四8-8動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開(kāi)那些無(wú)關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。 求解過(guò)程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析

15、, 提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。 動(dòng)力學(xué)30第30頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四舉例說(shuō)明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用： *例1 兩根均質(zhì)桿各重為P，長(zhǎng)均為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)。動(dòng)力學(xué)31第31頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四討論 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理動(dòng)能定理求解。 計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。動(dòng)力學(xué)解：研究對(duì)象：整體由動(dòng)能定理：且初始靜止，水平方向質(zhì)心位置守恒。C到達(dá)地面時(shí)，AC速度瞬心在A點(diǎn)32第32頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期

16、四例2 重150N的均質(zhì)圓盤(pán)與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB鉸接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)B點(diǎn)的速度及支座A的約束反力。解：（1）取圓盤(pán)為研究對(duì)象，圓盤(pán)平動(dòng)。動(dòng)力學(xué)又開(kāi)始系統(tǒng)靜止，33第33頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（2）用動(dòng)能定理求速度。 取系統(tǒng)研究：T1=0 ，代入數(shù)據(jù)，得動(dòng)力學(xué)34第34頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度 。由于所以 0 。動(dòng)力學(xué)桿質(zhì)心 C的加速度：盤(pán)質(zhì)心加速度：（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。研究整個(gè)系統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得35第35頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理+動(dòng)能定理+動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 可用對(duì)積分形式的動(dòng)能定理求導(dǎo)計(jì)算，但要注意需取桿AB在 一般位置進(jìn)行分析。動(dòng)力學(xué) 例3 基本量計(jì)算 (動(dòng)量,動(dòng)量矩,動(dòng)能)36第36頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例4 質(zhì)量為m 的桿置于兩個(gè)半徑為r ， 質(zhì)量為的實(shí)心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時(shí)，桿的加速度。設(shè)接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。動(dòng)力學(xué)解：方法一：用動(dòng)能定理求解。取系統(tǒng)為研究對(duì)象，桿作平動(dòng)，圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)任一瞬時(shí)，桿的速度為v，則圓柱體質(zhì)心速度為v/2，角速度系統(tǒng)的動(dòng)