1、1 在u軸上取定一點o作為坐標原點設(shè)A, 例的兩個點，G是與u是u軸上坐標依次為uu121 在u軸上取定一點o作為坐標原點設(shè)A, 例的兩個點，G是與u是u軸上坐標依次為uu12u G.向量，證明AB 同方向21eBOA OAu1eA證ou1同理B u2e于ABOBOA u2e u1)e4空間兩向量的夾角的概念G空間兩向量的夾角的概念Gbb 向量G與向量b (G,b(b,Ga(0 類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定們的夾角可在0與之間任意取值.5A過點A作軸u的垂直A在軸u上的投影.u6空間一點在軸上的A過點A作軸u的垂直A在軸u上的投影.u6空間一

2、點在軸上的BAu已知向量的起點A和終點B在軸u上的投影分別為A, B那么軸u上的有向線段AB的 7空間一向量在軸上的BAu已知向量的起點A和終點B在軸u上的投影分別為A, B那么軸u上的有向線段AB的 7空間一向量在軸上的Pr juAB 向量AB在軸u上的投影記關(guān)于向量的投影定理向量AB在軸u上的投影等于向量的模PrjuAB|AB|證Pr Pr BuA| AB|BuAB8Pr juAB 向量AB在軸u上的投影記關(guān)于向量的投影定理向量AB在軸u上的投影等于向量的模PrjuAB|AB|證Pr Pr BuA| AB|BuAB8定理1的說明c(1) 0 投影為正2(2) 定理1的說明c(1) 0 投影

3、為正2(2) a投影為負2(3) ub 2,投影為零相等向量在同一軸上投影相等9關(guān)于向量的投影定理兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量（可推廣到有限多個該軸上的投影之和Pr j(a1 a2) Pr ja1 Pr ja2關(guān)于向量的投影定理兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量（可推廣到有限多個該軸上的投影之和Pr j(a1 a2) Pr ja1 Pr ja2CABuGM為一向量為一條數(shù)軸12M1P1u 上的投影分別為點 P1 u GM為一向量為一條數(shù)軸12M1P1u 上的投影分別為點 P1 u 上的坐u1 Pr M,u12uOP2 u2 u1au u2 u1ou如果是與u軸正向一致向量由例1 a

4、e 如果是與u軸正向一致向量由例1 a e (u u )GPu21設(shè)a是以M1x1y1z1)為起點、M2x2y2z2過M1 M 2各作垂直于三個坐標軸的平,這六個平面圍成一個以線段長方體M 2為對角線1G 以i, jk分別表示沿x, y, z向量Ga aj a zx向yzR量M2kPj在在在zxQNyoiay xG 以i, jk分別表示沿x, y, z向量Ga aj a zx向yzR量M2kPj在在在zxQNyoiay x xx21 M1M2 (x2 x1)i (y2 y1)j (z2z1按基向量的坐標分解式M1M2 (x2 x1按基向量的坐標分解式M1M2 (x2 x1)i (y2 y1)j

5、 (z2z1azk在三個坐標軸上的分向量：axi,ay jax ay az 向量的坐標a ax y2 y1ay az 向量的坐標表達式M1M2 x2 x1z2 z1特殊地：OM 向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表a ax b bxay az 向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表a ax b bxay az by bzGGbba b b,a,xxyyzz(axGbx )i (ay by )j bzGab (axbxay by az bzbx )i (ay by )j bzGa, ,yzx(ax )i (ay )j (az )k例2設(shè)Ax1y1z1)和Bx2y2z2例2設(shè)Ax1y1z1)

6、和Bx2y2z2 )為兩已知點，而在AB直線上的點M 分有向線段AB 為兩部分AM、MB，使它們的值的比等于某數(shù)( 1)， ，求分點的坐標設(shè)Mx, y, zz解BAM x x1MBx2 y y1y2 zz1z2 MAyoxAM zz1x2 x x1y y1y2 z2 AM zz1x2 x x1y y1y2 z2 x2 x) x x x (112y1 y2 y y1( y) y 21z2 z z121M M 為有向線段AB 的定比分點x z y1 y2 y ,.222非零向量的方向角：、 、非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向z0 0 0 非零向量的方向角：、 、非零向量與三條坐標軸的正向的

7、夾角稱為方向z0 0 0 yoxz由圖分析可Rax|aPQ|ayaz |aox方向余弦通常用來表示向量的方M1z由圖分析可Rax|aPQ|ayaz |aox方向余弦通常用來表示向量的方M1 M1 M2M1 |G222aaa向量模長的坐標表示xyz向量方向余弦的坐標表示2ay0時當cos,222aayaaxyzcos ,向量方向余弦的坐標表示2ay0時當cos,222aayaaxyzcos ,222aaaxyzcos .222aaaxyz方向余弦的特cos2cos2方向余弦的特cos2cos2cos2 特殊地向量的方向余弦aa0 |Gcos, cos, cos求平行于向量G 7j 6k向量的分解

8、式所求向量有兩個，一個與a同向，一個反解| G72 (6)求平行于向量G 7j 6k向量的分解式所求向量有兩個，一個與a同向，一個反解| G72 (6)2GG6a76j Gk|a6 GGGa76j k|Gi或 2，它與x設(shè)有向量P1P2，y軸的夾角分別和，如P 的坐標 2，它與x設(shè)有向量P1P2，y軸的夾角分別和，如P 的坐標134(1,0,3)，求P2的坐標、設(shè)向量P1P2的方向角解 cos 1 2cos 324 2cos 12cos2 cos2 2設(shè)P 的坐標為x, y233cos x1 x1 x 2設(shè)P 的坐標為x, y233cos x1 x1 x22y0y0 2cos y22 z3co

9、s z z z 22P2的坐標55j8kn2i4j55j8kn2i4j7kGGGGG5i j4k在xa上的投影及在軸上的分向量a 4m3n 4(3i 5j 8k) 3(2i 4j 7k解(5i j 4k) 13i 7j 15k在x軸上的投影為axy軸上的分向量為7 j向量在軸上的投向量在軸上的投影與投影定理向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別向量的模與方向余弦的坐標表示式思考G設(shè)G 思考G設(shè)G i jG 2j k，求以向量G , G為邊的平行四邊形的對角線的長度n思考題解mG|mn|mnmn思考題解mG|mn|mnmnmn |G G|G G平行四邊形的對角線的長度各練習題填空題一1 4 ,r與軸u的夾角是60D，則Pr jur已知兩點M1(012)和M2 (110)則M1M2 練習題填空題一1 4 ,r與軸u的夾角是60D，則Pr jur已知兩點M1(012)和M2 (110)則M1M2 2；-2M1M2=3已知兩點M1(4 21)和M2302)M1，M1M2_，方；cos余弦方向角_, ,a i jk,b 2i 3j 5k4GGGGG2i j 2k,；G0G0=5、一向量與xoyG0G0=5、一向量與xoy, yoz, zox三個坐標平面的夾角, 滿足cos2+cos2+cos2 _、一向量的終點在點B(217)，它在X 軸，Y Z 軸