1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望第二節(jié) 方差第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第四節(jié) 矩 協(xié)方差矩陣一、數(shù)學(xué)期望的概念三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念 引例 甲，乙兩射擊選手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在100次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：甲： 環(huán)數(shù) 8 9 10 乙： 環(huán)數(shù) 8 9 10 次數(shù) 30 10 60 次數(shù) 20 50 30試問如何判定甲，乙兩射擊選手的技術(shù)優(yōu)劣？解：用平均命中環(huán)數(shù)進(jìn)行比較甲的平均命中環(huán)數(shù)：乙的平均命中環(huán)數(shù)：故可以認(rèn)為甲的技術(shù)比乙的好。分析：若設(shè)X是命中的環(huán)數(shù)，則X是一r.v.，它的可能取值為0，1，10。上述所求的平均命中環(huán)數(shù)

2、可看作是r.v.X的觀測(cè)值（8，9，10）的算術(shù)平均值，是以頻率（0.3，0.1，0.6或0.2，0.5，0.3）為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均。 平均命中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng) 穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值。說明“絕對(duì)收斂”保證期望存在及唯一；數(shù)學(xué)期望實(shí)際上就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均；r.v.X的期望也就是它服從的分布的期望。注：并非所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。例1 設(shè)r.v.X服從0-1分布，求E(X) 。解： r.v.X的分布律為： X 0 1 P 1p p也稱0-1分布的期望為 p 書

3、P94例6解： 例3 擲兩枚均勻硬幣， 表示出現(xiàn)正面的次數(shù)， 求 。先求出r.v. 的分布律0 1 2P再求 的期望到站時(shí)刻概率例4解2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望說明 可與離散型r.v. X的期望公式比較，幫助記憶。例1 設(shè)r.v.X ，求E(X) 。解： r.v.X的概率密度函數(shù)為：故ab00書P94例7解因此, 顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).例如 顧客平均等待多長(zhǎng)時(shí)間? 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間 X(以分計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間?定理 設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，若 絕對(duì)收斂，則有（）若X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（）若 X 是連

4、續(xù)型的,它的概率密度為 f (x) , 則二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例3 設(shè) ( X , Y ) 的分布律為1. 設(shè) C 是常數(shù), 則有證明2. 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，C 是常數(shù), 則有證明例如三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4. 設(shè) X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有3. 設(shè) X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有證明說明 用連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望的定義可類似證明?？衫闷谕男再|(zhì)求r.v.（函數(shù)）的期望。則有例1解X的分布律為另解解例12一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)二、重要概率分布的方差第二節(jié)方差一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì) 引例 有兩個(gè)學(xué)生的五次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦录祝?成績(jī) 78 80 82 乙：

5、成績(jī) 75 80 90 次數(shù) 1 3 1 次數(shù) 2 2 1問誰的成績(jī)好？ 但分析發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)比較穩(wěn)定，而乙的成績(jī)起伏較大，這就是他們的差別。描述這種差別的量就是方差。乙的平均成績(jī)=（752+802+901）5=80。兩人的平均成績(jī)相同；解：甲的平均成績(jī)=（781+803+821）5=80說明 ，其中E(X)視作為一個(gè)常數(shù)；定義 設(shè) 是任一 r.v. ，若 存在，則稱它為r.v. 的方差，記作 ，即 稱 為r.v. 的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。XXX 當(dāng) 較大時(shí)，表示r.v. 的取值比較分散； 當(dāng) 較小時(shí)，表示r.v. 的取值比較集中， 即 刻畫了r.v. 取值的離散程度， XXX1.離散型隨機(jī)變量的

6、方差 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差2. 隨機(jī)變量方差的計(jì)算 (1) 利用定義計(jì)算 (2) 利用公式計(jì)算其中X是離散型r.v.X是連續(xù)型r.v.證明證明3. 方差的性質(zhì)(1) 設(shè) C 是常數(shù), 則有(2) 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù), 則有證明(3) 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在, 則證明推廣1. 兩點(diǎn)分布 已知隨機(jī)變量 X 的分布律為則有二、重要概率分布的期望和方差2. 泊松分布 則有所以3. 二項(xiàng)分布 則有 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n, p 二項(xiàng)分布,其分布律為另解4. 均勻分布則有結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).5. 指數(shù)分布 則有指數(shù)分布的期望和方差

7、分別為6. 正態(tài)分布則有結(jié)論例如且X，Y相互獨(dú)立求 的分布+1（Ci不全為零）+b+b解例8分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布契比雪夫不等式 切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以寫成得證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。利用切比雪夫不等式估計(jì)補(bǔ)例一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1. 問題的提出 一、協(xié)方差協(xié)方差2. 定義3. 協(xié)方差的計(jì)算公式證明4. 性質(zhì) ，反之未必成立。（書例1）二、相關(guān)系數(shù)1. 定義2

8、. 性質(zhì) X與Y之間呈線性相關(guān)關(guān)系，即即X與Y之間無線性相關(guān)關(guān)系（可能存在非線性關(guān)系）(1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系3. 注意相互獨(dú)立不相關(guān)(2) 不相關(guān)的充要條件（書例1）例2結(jié)論一、基本概念二、n 維正態(tài)隨機(jī)變量第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣一、基本概念1.定義2. 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的應(yīng)用協(xié)方差矩陣可用來表示多維隨機(jī)變量的概率密度，從而可通過協(xié)方差矩陣達(dá)到對(duì)多維隨機(jī)變量的研究二、n 維正態(tài)隨機(jī)變量n 維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)線性變換不變性一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容 三、典型例題 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征習(xí) 題 課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計(jì)算2.難點(diǎn)數(shù)字特征的計(jì)算方差的性質(zhì)和計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算二、主要內(nèi)容數(shù)學(xué)期望方 差離散型連續(xù)型性 質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定 義計(jì) 算性 質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定 義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)X是離散型r.v.X是連續(xù)型r.v.X是離散型r.v.X是連續(xù)型r.v.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1. 設(shè)C是常數(shù), 則有2. 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量, C是常數(shù), 則有3. 設(shè)X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有4. 設(shè)X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)