1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和第1頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二問(wèn)題提出 從一加到一百有什么方法加最快呢？高斯在10歲時(shí)就巧妙地求出了n=100時(shí)的結(jié)果.S100=1 +2 +3 +4 +98+99+100 =100+99+98+97+3 + 2+ 1這兩個(gè)等式上、下對(duì)應(yīng)的和均為101，所以.2S100=101+101+101+101+101+101因?yàn)橛?00個(gè)101，所以.2S100=101100=10100S100=5050第2頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二問(wèn)題提出有200根相同的圓木料,要把它們堆放成正三角形垛,并使剩余的圓木料盡可能的少,那么將剩

2、余多少根圓木料?根據(jù)題意,各層圓木料數(shù)比上一層多一根,故其構(gòu)成等差數(shù)列: 1,2,3,4,設(shè)共擺放了n層,能構(gòu)成三角形垛的圓木料數(shù)為Sn,則:Sn=1+2+3+4+n第3頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二抽象概括設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，即那么根據(jù)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式，上式可以寫(xiě)成：再把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)，又可以寫(xiě)成第4頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二把，等號(hào)兩邊分別相加，得n個(gè)于是，首項(xiàng)為a1 ，末項(xiàng)為an，項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和這個(gè)公式表明:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半.第5頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，

3、5點(diǎn)33分，星期二將代入式 ，得特別地，當(dāng)a1 =1， d =1時(shí)，n個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和第6頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二圓木料問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為求滿足的最大自然數(shù)n此時(shí)，將堆垛19層，剩余10根圓木料.第7頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 例7：求n個(gè)正奇數(shù)的和.解: 由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得也可用面積圖來(lái)表示第8頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 例8：在我國(guó)古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如,北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成,最高一層的中心是一塊天心石,圍繞它的第一圈

4、有9塊石板,從第二圈開(kāi)始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈.請(qǐng)問(wèn): (1)第9圈共有多少塊石板? (2)前9圈一共有多少塊石板?第9頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二解(1)設(shè)從第1圈到第9圈石板數(shù)所在成數(shù)列為an ,由題意可知an是等差數(shù)列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得第9圈有石板(2)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得前9圈一共有石板答 第9圈有81塊石板,前9圈一共有405塊石板.第10頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二例9 在數(shù)列an中 , an=2n+3,求這個(gè)數(shù)列自第100項(xiàng)到第200項(xiàng)之和S的值.解 由于 .所以數(shù)列an

5、是公差為2的等差數(shù)列,此數(shù)列自第100項(xiàng)到第200項(xiàng)仍是等差數(shù)列.共有101項(xiàng),所求和為第11頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二例10 在新城大道一側(cè)A處,運(yùn)來(lái)20棵新樹(shù)苗.一名工人從A處起沿大道一側(cè)路邊每隔10m栽一棵樹(shù)苗,這名工人每次只能運(yùn)一棵.要栽完這20棵樹(shù)苗,并返回A處,植樹(shù)工人共走了多少路程?.解 植樹(shù)工人每種一棵樹(shù)并返回A處所要走的路程(單位:m)組成了一個(gè)數(shù)列0,20,40,60,380,這是首項(xiàng)為0,公差為20,項(xiàng)數(shù)為20的等差數(shù)列,其和答 植樹(shù)工人共走了3800 m的路程.第12頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二例11 九江抗洪指

6、揮部接到預(yù)報(bào),24時(shí)后有一洪峰到達(dá).為確保安全,指揮部決定在洪峰來(lái)臨前筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算,除現(xiàn)有的部隊(duì)指揮員和九江干群連續(xù)奮戰(zhàn)外,還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車,平均每輛工作24時(shí).但目前只有一輛車投入施工,其余的需從昌九高速公路沿線抽調(diào),每隔20分能有一輛車到達(dá),指揮部最多可調(diào)集25輛車,那么在24時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線?解 從第一輛車投入工作算起,各車工作時(shí)間(單位:h)依次為:第13頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二這是一個(gè)等差數(shù)列,25輛車可以完成的工作量為:需要完成的工作量為:因此,在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線.第14頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二1 已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為解：當(dāng)練習(xí)求它的通項(xiàng)公式,它是等差數(shù)列嗎?當(dāng)n=1時(shí),1(n=1),2n(n2), 數(shù)列an中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù). an 不是等差數(shù)列.第15頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二2 已知兩個(gè)等差數(shù)列