1、初中幾何證明公式及例題初中幾何證明公式及例題5/5初中幾何證明公式及例題教師:李老師學(xué)生:年級(jí):科目：數(shù)學(xué)時(shí)間:2012年月日內(nèi)容：初中幾何證明技巧（分類）證明兩線段相等兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。同一三角形中等角同樣邊。等腰三角形頂角的均分線或底邊的高均分底邊。平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分紅的兩段相等。直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三極點(diǎn)距離相等。線段垂直均分線上隨意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。角均分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切

2、線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分紅的兩段相等。兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比率式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。等于同一線段的兩條線段相等。證明兩個(gè)角相等兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。同一三角形中等邊同樣角。等腰三角形中，底邊上的中線（或高）均分頂角。兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線均分兩條切線的夾角。相像三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

3、等于同一角的兩個(gè)角相等。證明兩條直線相互垂直等腰三角形的頂角均分線或底邊的中線垂直于底邊。三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。在一個(gè)三角形中，如有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。鄰補(bǔ)角的均分線相互垂直。一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。兩條直線訂交成直角則兩直線垂直。利用到一線段兩頭的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直均分線上。利用勾股定理的逆定理。利用菱形的對(duì)角線相互垂直。*10.在圓中均分弦（或弧）的直徑垂直于弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。證明兩直線平行垂直于同向來(lái)線的各直線平行。同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。平行四邊形的對(duì)邊平行。三角形

4、的中位線平行于第三邊。梯形的中位線平行于兩底。平行于同向來(lái)線的兩直線平行。一條直線截三角形的兩邊（或延伸線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比率，則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。延伸短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相像三角形的性質(zhì)等）。證明角的和差倍分與證明線段的和、差、倍、分思路同樣。利用角均分線的定義。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。證明線段不

5、等同一三角形中，大角對(duì)大邊。垂線段最短。三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。全量大于它的任何一部分。證明兩角的不等同一三角形中，大邊對(duì)大角。三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。全量大于它的任何一部分。證明比率式或等積式利用相像三角形對(duì)應(yīng)線段成比率。利用內(nèi)外角均分線定理。平行線截線段成比率。直角三角形中的比率中項(xiàng)定理即射影定理。*5.與圓相關(guān)的比率定理訂交弦定理、切割線定理

6、及其推論。利用比利式或等積式化得。證明四點(diǎn)共圓*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的極點(diǎn)共圓。*2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。*3.同底邊等頂角的三角形的極點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。*4.同斜邊的直角三角形的極點(diǎn)共圓。*5.到極點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓.證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。好多其他問題最后都可化歸為此類問題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其他如線段中垂線的性質(zhì)、角均分線的性質(zhì)、等腰三角形的判斷與性質(zhì)等也常常用到。例1.已知：如圖1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。求證：DEDF分析：由

7、ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連接CD，易得CDAD，DCF45。進(jìn)而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明：連接CD說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的協(xié)助線；在等腰三角形中，作頂角的均分線或底邊上的中線或高是常用的協(xié)助線。明顯，在等腰直角三角形中，更應(yīng)當(dāng)連接CD，由于CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延伸ED到G，使DGDE，連接BG，證EFG是等腰直角三角形。例2.已知：如圖2所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF證明：連接AC在ABC和CDA中，在BCE和DAF中，說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添協(xié)助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注

8、意：（1）制造的全等三角形應(yīng)分別包含求證中一量；（2）添協(xié)助線能夠直接獲得的兩個(gè)全等三角形。二.證明直線平行或垂直在兩條直線的地點(diǎn)關(guān)系中，平行與垂直是兩種特其他地點(diǎn)。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可經(jīng)過邊對(duì)應(yīng)成比率、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)變?yōu)樽C一個(gè)角等于90，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是ABC的內(nèi)角均分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KHBC分析：由已知，BH均分ABC，又BHAH，延伸AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延伸AK交BC于M，則CACM，AKKM。進(jìn)而由三

9、角形的中位線定理，知KHBC。證明：延伸AH交BC于N，延伸AK交BC于MBH均分ABCABHNBH又BHAHAHBNHB90BHBH同理，CACM，AKKMKH是AMN的中位線KH/MN即KH/BC說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角均分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也能夠理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱）而成一個(gè)等腰三角形。例4.已知：如圖4所示，ABAC，A90，AEBF，BDDC。求證：FDED證明一：連接AD在ADE和BDF中，說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角均分線是常用協(xié)助線。證明二：如圖5所示，延伸ED到M，使DMED，連

10、接FE，F(xiàn)M，BM說(shuō)明：證明兩直線垂直的方法以下：1）第一分析條件，察看可否用供給垂直的定理獲得，包含添常用協(xié)助線，見本題證二。（2）找到待證三直線所構(gòu)成的三角形，證明此中兩個(gè)銳角互余。（3）證明二直線的夾角等于90。三.證明一線段和的問題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其他部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例5.已知：如圖6所示在ABC中，B60，BAC、BCA的角均分線AD、CE訂交于O。求證：ACAECD分析：在AC上截取AFAE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：FOCDOC，F(xiàn)CDC證明：在AC上截取AFAE又B60即AC

11、AECD（二）延伸一較短線段，使延伸部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF求證：EFBEDF分析：本題若模擬例1，將會(huì)碰到困難，不易利用正方形這一條件。不如延伸證明：延伸CB至G，使BGDF45。CB至G，使BGDF。在正方形ABCD中，ABGD90，ABAD又EAF45即GAEFAE中考題：如圖8所示，已知ABC為等邊三角形，延伸BC到D，延伸BA到E，而且使AEBD，連接CE、DE。求證：ECED證明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又AEBD即EFAC

12、題型展現(xiàn)：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，12，ABAC。求證：BDDC證明一：延伸AC到E，使AEAB，連接DE在ADE和ADB中，證明二：如圖10所示，在AB上截取AFAC，連接DF則易證ADFADC說(shuō)明：在有角均分線條件時(shí)，常以角均分線為軸翻折結(jié)構(gòu)全等三角形，這是常用協(xié)助線。實(shí)戰(zhàn)模擬：1.已知：如圖11所示，ABC中，C90，D是AB上一點(diǎn)，DECD于D，交BC于E，且有ACADCE。求證：DE1CD2.已知：如圖1222B，CD是C的均分線。所示，在ABC中，A求證：BCACAD已知：如圖13所示，過ABC的極點(diǎn)A，在A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MPMQ14.ABC中，BAC90，ADBC于D，求證：ADABACBC【試題答案】證明：取CD的中點(diǎn)F，連接AF又1490，1390分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知