1、 PAGE 9 PAGE 10此卷只裝訂不密封班級(jí) 姓名此卷只裝訂不密封班級(jí) 姓名 準(zhǔn)考證號(hào) 考場(chǎng)號(hào) 座位號(hào) （新高考）2021年高三最新信息卷數(shù) 學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1、本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上。2、回答第卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在試卷上無效。3、回答第卷時(shí)，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的1已知集合，則（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選D2若復(fù)數(shù)，且，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由，得，故選D3已知函數(shù)，且，則a的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)镽，又由，為奇函數(shù)，又，函數(shù)為增函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，解得，故選D4已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為，則（ ）AB4CD【答案】D【解析】如圖所示，由題得準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為，（當(dāng)點(diǎn)在線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等），所以，解得，故選D5已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為，若，則的最大值是（ ）A5B10C15D20【答案

3、】B【解析】依題意，所以要使的值最大，則包含所有的正項(xiàng)，令，得，代入得，故選B6在手機(jī)未普及的上世紀(jì)七八十年代，小孩玩的很多游戲都是自創(chuàng)的，其中有一個(gè)游戲規(guī)則如下：在地上畫一條線段，游戲參與者站在規(guī)定的距離外朝著此線段丟一片圓形鐵皮，鐵皮壓住了橫線為有效，恰好壓住了線段的兩端點(diǎn)之一，則為獲勝，現(xiàn)假設(shè)線段長為20厘米，鐵片半徑1厘米，若一個(gè)小孩朝著線段隨機(jī)丟鐵片若干次，其中有效次數(shù)為100次，獲勝次數(shù)為15次，用得到的頻率估計(jì)概率，可估算出的近似值為(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意得，鐵片的圓心在圖中兩個(gè)圓內(nèi)為獲勝，則，所以，解得，故選D7如圖，四邊形是正方形，四邊形

4、是矩形，平面平面，則多面體的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】連接，四邊形為矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，設(shè)，則，又，為等邊三角形，即，解得，四邊形為正方形，平面平面，平面平面，平面，平面，多面體體積，故選D8已知函數(shù)，若，則的最小值為（ ）ABCD【答案】D【解析】令，則，即，若，則，有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即的最小值為，故選D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9己知向量，則（ ）AB向量在向量上的投影向量是CD與向量方向相同的單位向量是【答案】ACD【解

5、析】由向量，A，所以，所以，故A正確；B，向量在向量上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；C，所以，故C正確；D，與向量方向相同的單位向量，故D正確，故選ACD10下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論有（ ）A若，則B當(dāng)時(shí)，C若，則的最小值為2D若，則【答案】AD【解析】A：因?yàn)?，不等式兩邊同乘以，因?yàn)椋坏仁絻蛇叢坏忍?hào)不變，所以成立，故A正確；B：，令，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；C：，令，原式為，根據(jù)函數(shù)的定義域可得，錯(cuò)誤；D：因?yàn)椋瑒t，正確，故選AD11如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)，若，則下列說法正確的是（ ）A存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為B用過，三點(diǎn)的平面去截正方體，得到的截面一定是

6、梯形C平面D用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長一定為【答案】ABD【解析】A連接，如圖所示：因?yàn)?，所以易知，且平面平面，又已知三棱錐各條棱長均為，所以三棱錐為正四面體，所以到平面的距離為，因?yàn)槠矫妫?，又，且，所以平面，又平面，所以，同理可得，且，所以平面，又因?yàn)?，所以到平面的距離，且，故正確；B如圖所示，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并將其延長與相交于，因?yàn)椋?，則，所以，所以即為，連接，所以過，的截面為四邊形，由條件可知，且，所以四邊形為梯形，故正確；C連接，由A可知平面平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以不平行于平面，所以平面不成立，故錯(cuò)誤；D在上取點(diǎn)，過點(diǎn)作交于

7、，過作交于，以此類推，依次可得點(diǎn)，此時(shí)截面為六邊形，根據(jù)題意可知：平面平面，不妨設(shè)，所以，所以，所以六邊形的周長為，故正確，故選ABD12已知函數(shù)，則下述結(jié)論中正確的是（ ）A若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)B若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞增C若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D若的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在單調(diào)，則的最大值為【答案】ACD【解析】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，C選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若

8、的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意，D選項(xiàng)正確，故選ACD第卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13設(shè)的展開式中x3的系數(shù)為a，則a的值為_【答案】60【解析】的展開式的通項(xiàng)是，令，解得，因此，x3的系數(shù)為，故答案為6014請(qǐng)你舉出與函數(shù)在處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)_【答案】 (答案不唯一)【解析】由題，故，故函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程為，故可考慮如函數(shù)，此時(shí)，故，取，此時(shí)故答案為(答案不唯一)15有7個(gè)座位連成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且僅有兩個(gè)空位相鄰且甲、乙兩人都在丙的同側(cè)，則共有_種不同的坐法【答案】320【解析】先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不

9、妨設(shè)為1，2，3，4號(hào)位置，因?yàn)榧?、乙兩人都在丙的同?cè)，當(dāng)丙在1號(hào)位置有種排法，當(dāng)丙在2號(hào)位置有種排法，當(dāng)丙在3號(hào)位置有種排法，當(dāng)丙在4號(hào)位置有種排法，共有16種排法；又因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)空位相鄰，將兩個(gè)空位捆在一起，與剩余一個(gè)空位插入甲、乙、丙、丁形成的5個(gè)空位中，有種排法，所以共有種排法，故答案為32016方程（且）最多_個(gè)根，當(dāng)此方程無根時(shí)的取值范圍是_【答案】3，【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，和其反函數(shù)的圖象如果有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線上，所以函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需要考慮圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，所以，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，與圖象沒有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與圖象有一個(gè)交點(diǎn)

10、，當(dāng)時(shí)，與圖象有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)與圖象相切于點(diǎn)，則切點(diǎn)在直線上，且直線或在點(diǎn)處切線斜率為，所以，即，所以，則，所以當(dāng)時(shí)兩條曲線相切于點(diǎn)，所以有：當(dāng)時(shí)，與圖象有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與圖象有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：時(shí)，方程有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程沒有根，故答案為，四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）求；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意，有，得，（2），18（12分

11、）在，且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答已知中，三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是， （1）求的值；（2）若，的面積是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長度(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）【解析】選：由，得，得，得，又，所以，又，所以因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，所以，所以，所以因?yàn)椋?，又，所以因?yàn)椋?，所以因?yàn)椋?，所以，又，所以?）在中，由，得由的面積為，得，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，從而，所以19（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是平行四邊形，分別是棱，的中點(diǎn)，且（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值【答案】（1）證明見解

12、析；（2）【解析】（1），是棱的中點(diǎn)，又，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）由題知平面，中，則兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，又，易得，設(shè)平面與平面的法向量分別為和，則，即，令，可得；則，即，令，可得，設(shè)平面與平面所成二面角為，則，平面與平面所成二面角的正弦值為20（12分）某公司開發(fā)了一款手機(jī)應(yīng)用軟件，為了解用戶對(duì)這款軟件的滿意度，推出該軟件3個(gè)月后，從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽查了1000名，將所得的滿意度的分?jǐn)?shù)分成7組：，整理得到如下頻率分布直方圖根據(jù)所得的滿意度的分?jǐn)?shù)，將用戶的滿意度分為兩個(gè)等級(jí)：滿意度的分?jǐn)?shù)滿意度的等級(jí)不滿意滿意（1）從使用該軟件的用戶

13、中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其滿意度的等級(jí)為“滿意”的概率；（2）用頻率估計(jì)概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中滿意度的等級(jí)為“滿意”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為【解析】（1）由頻率分布直方圖可知滿意度的分?jǐn)?shù)的頻率為，滿意度的分?jǐn)?shù)的頻率為，故從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人，其滿意度的等級(jí)為“滿意”的概率為（2）依題意可知，則的可能取值為、，所以，所以的分布列為：所以21（12分）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，橢圓過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線過點(diǎn)，且與軸垂直，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)與的面積之差取得最大值時(shí)，求直線的方程【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由題意知，則直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，即又橢圓過點(diǎn)，所以聯(lián)立，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，直線的方程為由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立，消去整理得，解得或由點(diǎn)異于點(diǎn)可得，所以直線的方程為，令，得，所以，所以與的面積之差為（利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，將面積差問題轉(zhuǎn)化為求）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧）故當(dāng)與的面積之差取得最大值