1、立方和與立方差公式立方和與立方差公式10/10立方和與立方差公式（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)(3x2)2+3x22y2+(2y2)2=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6說明：1、注意對(duì)公式的理解和記憶（1）項(xiàng)數(shù)特色：兩項(xiàng)乘三項(xiàng)積為二項(xiàng)，（2）符號(hào)特色：二項(xiàng)的因式若兩項(xiàng)都為+，則三項(xiàng)的因式符號(hào)為+，-，+，積的符號(hào)與二項(xiàng)因式的符號(hào)同樣，二項(xiàng)的因式符號(hào)若為+，-，則三項(xiàng)的因式符號(hào)為+，+，+，積的符號(hào)與二項(xiàng)因式的符號(hào)同樣，即是說公式在各樣條件都符合的狀況下，所得的積是兩數(shù)的立方和仍是兩數(shù)的立方差，主要看乘積中第一個(gè)乘式是兩數(shù)和，仍是兩數(shù)差。2

2、、公式中的字母a、b仍代表隨意數(shù)或代數(shù)式。第二階梯例1利用乘法公式計(jì)算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9)(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：1）小題可兩次使用平方差公式；2）小題先使用平方差公式，再使用完整平方公式；3）小題先使用平方差公式，再使用立方差公式4）小題兩次使用立方差公式。參照答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)

3、2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9說明：碰到多項(xiàng)式的乘法問題，第一應(yīng)看看能否切合某個(gè)乘法公式，如有適合的公式使用可大大簡化運(yùn)算過程。例2運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(a+b+c)(a-b-c)(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)(3)(x+2y+z)2(4)(2x-3y-4z)2提示：（1）（2）小題可利用平方差公式進(jìn)

4、行計(jì)算；（3）（4）小題可利用完整平方公式進(jìn)行計(jì)算。參照答案：(1)（a+b+c）(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(3)（x+2y+z）2=x+(2y+z)2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4)(2x-3y-4z)2=2x-(3y+4z)2=(2x)2-22x(3y+4z)+(13y+

5、4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2說明：進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，必定要認(rèn)真認(rèn)真地對(duì)題目進(jìn)行察看研究，把不切合公式標(biāo)準(zhǔn)形式的題目加以調(diào)整。適合地增添括號(hào)，將有益于應(yīng)用乘法公式，增添括號(hào)方式的不一樣，可一題多解，如（4）小題還可增添括號(hào)為（2x-3y）-4z2，但得出的結(jié)果均同樣。例3利用乘法公式計(jì)算：（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：1）小題前兩個(gè)因式可利用平方差公式計(jì)算，后兩個(gè)因式也可利用平方差公式計(jì)算，也能夠

6、將第一個(gè)因式與第四個(gè)因式聯(lián)合利用立方和公式，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式聯(lián)合利用立方差公式（2）小題近似。參照答案：1）解法一：22（x+1）(x-1)(x+x+1)(x-x+1)=(x2-1)(x2+1)2-x2=(x2-1)(x4+2x2+1-x2)=(x2-1)(x4+x2+1)=(x2-1)(x2)2+x2-1+12=(x2336)-1=x-1解法二：x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=（x3+1）(x3-1)(x3)2-12x6-12）解法一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=(a2-b2)(

7、a2+b2)2-(ab)2(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)(a2-b2)(a4+a2b2+b4)(a2)3-(b2)3a6-b6解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)2222=（a+b）(a-ab+b)(a-b)(a+ab+b)(a3+b3)(a3-b3)(a3)2-(b3)2=a6-b6說明：進(jìn)行整式乘法運(yùn)算時(shí)，要注意察看題目的特色，統(tǒng)觀全局，適合地采用所學(xué)的乘法公式或用乘法法例進(jìn)行計(jì)算，以上兩道小題的解法中，明顯解法二先運(yùn)用立方和，立方差公式，再運(yùn)用平方差公式，這樣做既簡易又不易犯錯(cuò)。第三階梯例1（1）化簡化求值：（x+2）(x2-2x+4)

8、+(x-1)(x2+x+1)，此中（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示：用乘法公式進(jìn)行化簡參照答案：1）（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)x3+8+x3-12x3+7當(dāng)時(shí)，22）（2x+1）-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解：4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2說明：在化簡求值和解方程的過程中，假如碰到多項(xiàng)式的乘法，應(yīng)先察看可否運(yùn)用乘法公式，假如能運(yùn)用，好多乘法便可直策應(yīng)用公式寫出結(jié)果，這充分簡化了計(jì)算過程。例2已知a+b=3,ab=-8,求以下各式的值。（1

9、）a2+b2(2)a2-ab+b2(3)(a-b)2(4)a3+b3提示：由完整平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用已知條件可求出a2+b2的值，再分別代入（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小題應(yīng)逆用立方和公式。參照答案：a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2(-8)=9+16=25a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33(3)(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2(-8)=25+16=41(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a

10、2+b2-ab)=325-(-8)=333=99說明：靈巧運(yùn)用公式變形和逆用公式，這些都是常用的解題技巧。例3若兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方差是17，求這兩個(gè)自然數(shù)的和提示：設(shè)一個(gè)自然數(shù)為x,另一個(gè)自然數(shù)為x+1，依據(jù)題意，列出方程，求出這兩個(gè)自然數(shù)，進(jìn)而求出它們的和參照答案：解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)是x,x+1依據(jù)題意得，(x+1)2-x2=17x2+2x+1-x2=172x+1=172x=16x=8x+1=8+1=9x+(x+1)=8+9=17答：這兩個(gè)自然數(shù)的和是17。說明：解方程時(shí)還可逆用平方差公式(x+1)2-x2=（x+1+x）(x+1-x)=2x+1四、檢測題A組選擇題1以下各式能用平方差

11、公式進(jìn)行計(jì)算的是（）（a+2）(-a-2)B.(-x-y)(y-x)C.D.(2x+y)(x-2y)2若16x2+mxy+81y2是一個(gè)完整平方式，則m的值為（）D.723a3-27b3的一個(gè)因式是（）+3ab+9b2+3ab+9b2+b2+b24若x+y=9,xy=16，則x2+y2=()填空題1、（3x+2y）=()=9x2-4y22、（-1+2a）(-1-2a)=()3、（+y）2=()4、x2+x+()=5、9x2-()+49y2=(3x-7y)26、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=()7、()(m4-m2+1)=m6+18、a2+b2=(a+b)2-()9、(a+b)22=(a-b)+()10、(p2-q)()=p6-q3B組1、計(jì)算：(1)（x+2）(x-2)(x2+4)(2)(x-y+1)(x+y-1)2(3)(a+b+c)(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)(5)(6)20222、化簡求值：3、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(