1、3.4 基本不等式3.4 基本不等式幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ 幾何背景：結(jié)論：一般的，如果結(jié)論：一般的，如果AKbbabaIHBJCDGFEAKbbabaIHBJCDGFE證明：、定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）證明：、定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）二、定理：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）要證要證（3），只要證 （ - ）0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立。（1）只要證 a+b（2）要證（2

2、），只要證 a+b- 0（3）（4）顯然，（4）是成立的。2二、定理：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）要證要證（3證明：即：當(dāng)且僅當(dāng)時， 證明：即：當(dāng)且僅當(dāng)時， A B D D Cab的幾何解釋：而半徑以過C作弦DDAB 則為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，從而即：“半徑不小于半弦”A B D D Cab的幾何解釋：而半徑以過C作弦D評述：1、如果把中項，2、在數(shù)學(xué)中，我們稱數(shù)，稱幾何平均數(shù). 看作是正數(shù)a、b的等差看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.為a、b的算術(shù)平均為a、b的幾何平均數(shù). 本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不

3、小于它們的評述：1、如果把中項，2、在數(shù)學(xué)中，我們稱數(shù)，稱幾何平均數(shù).b都是正數(shù)。 成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。 成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數(shù)，例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立. 歸納：1、兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，bR，且abM，M為

4、定值，則ab，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立.2、兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，bR，且abP，P為定值，則ab2，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立. 歸納：1、兩個正數(shù)的和為定值時練習(xí)、求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。練習(xí)、求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；例2、某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？解：設(shè)水池底面一邊的長度為 ，則另一邊的長度為 ，又設(shè)水池總造價

5、為 元，根據(jù)題意，得例2、某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3人教A版高中數(shù)學(xué)必修五3 因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元。 因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。 評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，

6、把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）正確寫出答案. 歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：例、某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖如圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200平方米的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為每平方米80元。（1）設(shè)總造價為S元，AD長為x米，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個最小值。Q

7、APCBNMFEGHD例、某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖如小結(jié)：本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：（1）函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；（2）函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；（3）函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值。即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。 小結(jié)：本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利三、定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：三、定理：如果，那

8、么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明： 上式0 從而 上式0 從而推論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：推論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù) 四、關(guān)于“平均數(shù)”的概念， 則：如果基本不等式：語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的 幾何平均數(shù)。 叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù) 四、關(guān)例、已知求證證明：因為所以即例、已知求證證明：因為所以即例、如圖，把一塊邊長為a 的正方形鐵片的各角切去大小相等的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？最大容積是多少

9、？答案：提示：例、如圖，把一塊邊長為a 的正方形鐵片的各角切去大小相等的小1、若，且，則四個數(shù)A、B、C、D、中最大的是（ ）B練習(xí)1、若，且，則四個數(shù)A、B、C、D、中最大的是（ ）2、已知函數(shù)設(shè) M =，N =P =（ ）B、C、D、為正實數(shù)，A、，則M，N，P的大小關(guān)系是B2、已知函數(shù)設(shè) M =，N =P =（ ）B、C、3、設(shè)和是不相等的正數(shù)，則（ ） B、C、D、 A、B3、設(shè)和是不相等的正數(shù)，則（ ） B、C、D、 人教A版高中數(shù)學(xué)必修五31、若且，則的最小值為（ ）A、6 B、12 C、16 D、24C練習(xí)1、若且，則的最小值為（ ）C練習(xí)D滿足，那么有（ ） B、最大值1而無最小值D、最小值和最大值1 2、如果實數(shù)A、最小值 而無最大值C、最小值和最大值1 D滿足，那么有（ ） B、最大值1而無最小值D、最 3、中，三邊成等比數(shù)列，則A、B、C、D、的取值范圍是（ ）B 3、中，三邊成等比