1、 第三章 線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)域分析法 第一節(jié)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)和第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域分析【教學(xué)目的】 熟悉系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)和一階系統(tǒng)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】典型輸入信號(hào)及其一階響應(yīng)?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】 一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)。【教學(xué)方法及手段】通過(guò)課堂講解和提問(wèn)使學(xué)生正確掌握一階響應(yīng)?！菊n外作業(yè)】 習(xí)題3-3。【學(xué)時(shí)分配】2課時(shí)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】3.1.1 典型試驗(yàn)信號(hào)經(jīng)常采用的試驗(yàn)輸入信號(hào)：實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號(hào)不可知性；典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)與系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)，存在某種關(guān)系；電壓試驗(yàn)信號(hào)是時(shí)間的簡(jiǎn)單函數(shù)，便于分析。突然受到恒定輸入作用或突然的擾動(dòng)。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時(shí)間函數(shù)

2、是比較合適的。（單位）階躍函數(shù)（Step function） 室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)（單位）斜坡函數(shù)（Ramp function） 速度 （單位）加速度函數(shù)（Acceleration function）拋物線(xiàn) （單位）脈沖函數(shù)（Impulse function） 正弦函數(shù)（Simusoidal function）Asinut ，當(dāng)輸入作用具有周期性變化時(shí)。通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號(hào)，這樣可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。本章討論系統(tǒng)非周期信號(hào)（Step、Ramp、對(duì)正弦試驗(yàn)信號(hào)相應(yīng)，將在第五章頻域分析法，第六章校正方法中討論）作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。3.1.2 動(dòng)

3、態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程瞬時(shí)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) Transient Response & Steady_state Response在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。1 瞬態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 是指當(dāng)t趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。3.1.3 絕對(duì)穩(wěn)定性，相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差A(yù)bsolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動(dòng)態(tài)特性中

4、，最重要的是絕對(duì)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒(méi)有受到任何擾動(dòng)，或輸入信號(hào)的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線(xiàn)性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線(xiàn)性定常控制系統(tǒng)受到擾動(dòng)量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過(guò)程或輸出量無(wú)限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。 實(shí)際上，物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械止動(dòng)裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過(guò)一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線(xiàn)性的，而使線(xiàn)性微分方程不再適用。本章不討論非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 絕對(duì)穩(wěn)定性是前提。相對(duì)穩(wěn)定

5、性：因?yàn)槲锢砜刂葡到y(tǒng)包含有一些貯能元件，所以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程。對(duì)于實(shí)際控制系統(tǒng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應(yīng)，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程。稱(chēng)動(dòng)態(tài)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)誤差：如果在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認(rèn)為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個(gè)誤差表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)特性： 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對(duì)輸入信號(hào)跟蹤的誤差大小。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： 在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時(shí)域

6、量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初使條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0），對(duì)（單位）階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程，為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用下列一些性能指標(biāo)。延遲時(shí)間：（Delay Time）響應(yīng)曲線(xiàn)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間，叫延遲時(shí)間。上升時(shí)間（Rise Time）響應(yīng)曲線(xiàn)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。5%上升到95%，或從0上升到100%，對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)，通常采用0100%的上升時(shí)間，對(duì)于過(guò)阻尼系統(tǒng)，通常采用1090%的上升時(shí)間，上升時(shí)間越短，響應(yīng)

7、速度越快。峰值時(shí)間（Peak Time）：響應(yīng)曲線(xiàn)達(dá)到過(guò)調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間 （Settling Time）：在響應(yīng)曲線(xiàn)的穩(wěn)態(tài)線(xiàn)上，用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作一個(gè)允許誤差范圍，響應(yīng)曲線(xiàn)達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)，所需的時(shí)間。最大超調(diào)量（Maximum Overshoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即 或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱(chēng)為一階系統(tǒng)。圖3-3（a）所示的RC電路，其微分方程為 （3-2）其中C(t)為電路輸出電壓，r(

8、t)為電路輸入電壓，T=RC為時(shí)間常數(shù)。圖3-3一階系統(tǒng)電路圖、方塊圖及等效方塊圖當(dāng)初使條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為 （3-3）這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。3.2.1 單位階躍響應(yīng)Unit-Step Response of First-order System 因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出由式（3-3）可知為 對(duì)上式取拉氏反變換，得 （3-4）注：R(s)的極點(diǎn)形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適用于一階線(xiàn)性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線(xiàn)性定常系統(tǒng)。響應(yīng)曲線(xiàn)在時(shí)的斜率為，如果系統(tǒng)

9、輸出響應(yīng)的速度恒為，則只要tT時(shí)，輸出c(t)就能達(dá)到其終值。如圖3-4所示。由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，R(s)1，輸入量的拉氏變換于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即 這時(shí)相同的輸出稱(chēng)為脈沖響應(yīng)記作g(t)，因?yàn)?其表達(dá)式為 （3-5）3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)Unit-ramp Response of first-order Systems當(dāng)對(duì)上式求拉氏反變換，得： （3-6）因?yàn)?（3-7）所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明： = 1 * GB3 一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡

10、輸入信號(hào)。穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸入和輸出信號(hào)的變化率完全相同 由于系統(tǒng)存在慣性，從0上升到1時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)在數(shù)值上要滯后于輸入信號(hào)一個(gè)常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。 減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.2.4 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。表3-1 一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)式輸入信號(hào)輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)微分 1微分1(t)t等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零

11、初始條件確定。線(xiàn)性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性，適用于任何階線(xiàn)性定常系統(tǒng)，但不適用于線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)。因此，研究線(xiàn)性定常系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不必對(duì)每種輸入信號(hào)形式進(jìn)行測(cè)定和計(jì)算，往往只取其中一種典型形式進(jìn)行研究?！咀詫W(xué)內(nèi)容】預(yù)習(xí)第三節(jié)。第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析【教學(xué)目的】1熟悉典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。2掌握典型二階系統(tǒng)欠阻尼情況下性能指標(biāo)的計(jì)算方法。3掌握根據(jù)性能指標(biāo)的要求確定典型二階系統(tǒng)參數(shù)的方法。【教學(xué)重點(diǎn)】二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)及其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算。典型傳遞函數(shù) 當(dāng)0時(shí)，特征根s1.2=,特征根在S平面上的位置見(jiàn)圖3.1。圖中 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為C(t)=1-動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算公式為上升時(shí)間

12、峰值時(shí)間 其中Td是有阻尼振蕩周期，且Td=是有阻尼振蕩頻率。超調(diào)量 調(diào)整時(shí)間 （=0.02）振蕩次數(shù) N= （=0.05）或 N= （=0.02）【教學(xué)難點(diǎn)】根據(jù)性能指標(biāo)的要求確定典型二階系統(tǒng)參數(shù)的方法。【教學(xué)方法及手段】 通過(guò)課堂授課，演示，提問(wèn)使學(xué)生熟練掌握二階系統(tǒng)，確定其參數(shù)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算?！菊n外作業(yè)】 習(xí)題3-5，3-6?！緦W(xué)時(shí)分配】2學(xué)時(shí)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】 3.3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱(chēng)為二階系統(tǒng)。3.3.1 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型隨動(dòng)系統(tǒng)（位置控制系統(tǒng)）如圖3-6所示。該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。工作原理：用

13、一對(duì)電位計(jì)作系統(tǒng)的誤差測(cè)量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號(hào)，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號(hào)。輸入電位計(jì)電刷臂的角位置，由控制輸入信號(hào)確定，角位置就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計(jì)電刷臂的角位置，由輸出軸的位置確定。電位差就是誤差信號(hào)。 橋式電位器的傳遞函數(shù)該信號(hào)被增益常數(shù)為的放大器放大，（應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）放大器的輸出電壓作用到直流電動(dòng)機(jī)的電樞電路上。電動(dòng)機(jī)激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號(hào)，電動(dòng)機(jī)就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動(dòng)輸出負(fù)載，并使誤差信號(hào)減少到零。(3)當(dāng)激磁電流固定時(shí)，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為： （3-10）電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為

14、電樞電流對(duì)于電樞電路 （3-11） 電動(dòng)機(jī)電樞繞組的電感和電阻。電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)常數(shù)，電動(dòng)機(jī)的軸的角位移。電動(dòng)機(jī)的力矩平衡方程為： （3-12）J:為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的組合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。f:為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。 （3-13）根據(jù)圖3-7，可以求出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（即前向通路傳遞函數(shù)）因?yàn)榉答伝芈穫鬟f函數(shù)為1 （3-14）如果略去電樞電感（3-15） 增益 阻尼系數(shù)，由于電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。 開(kāi)環(huán)增益 機(jī)電時(shí)間常數(shù)那么，不考慮負(fù)載力矩的情況下，隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以簡(jiǎn)化為： （3-16）相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) （

15、3-17）為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式（3-17）表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式 （3-18） 自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)的方塊圖如圖3-8所示二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，可以用和這兩個(gè)參量的形式加以描述二階系統(tǒng)的特征方程： （3-19） （3-20）3.3.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)阻尼比是實(shí)際阻尼系數(shù)F與臨界阻尼系數(shù)的比值 臨界阻尼系數(shù)，時(shí)，阻尼系數(shù) 兩個(gè)正實(shí)部的特征根 發(fā)散 ，閉環(huán)極點(diǎn)為共扼復(fù)根，位于右半S平面，這時(shí)的系統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng) ，為兩個(gè)相等的根 ，兩個(gè)不相等的根根據(jù)性能指標(biāo)的要求確定典型，虛軸上，瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷?1)欠阻尼()二階系統(tǒng)的

16、單位階躍響應(yīng) 令衰減系數(shù) 阻尼振蕩頻率，由式（3-18）得 對(duì)上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為 （3-21）穩(wěn)態(tài)分量 瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量為1，表明圖3-8系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率包絡(luò)線(xiàn)決定收斂速度時(shí)， （3-23）這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為故稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩頻率。由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)K和，或和J確定，常稱(chēng)自然頻率。實(shí)際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比，因此不可能通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得，而只能測(cè)得，且，不復(fù)存在，系統(tǒng)的響應(yīng)不再出現(xiàn)振蕩。(2)臨界阻尼()臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱(chēng)為臨界阻尼響應(yīng) （

17、3-24）當(dāng)時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無(wú)超調(diào)單調(diào)上升過(guò)程，(3)過(guò)阻尼() （3-25）圖3-11表示了二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)（書(shū)上圖3-10 P87）3.3.3 二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)欠阻尼情況圖3-12 為系統(tǒng)欠阻尼時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。下列所述的性能指標(biāo)，將定量地描述系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能。在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。二階系統(tǒng)一般取 。其它的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，有的可用精確表示，如,有的很難用準(zhǔn)確表示，如,可采用近似算法。 在式（3-21）中，即令可得參見(jiàn)書(shū)P82，在較大的值范圍內(nèi)，近似

18、有 （3-26） 書(shū)（3-19）式時(shí)，亦可用 （3-27） （書(shū)3-20）（上升時(shí)間） ，求得 （3-28） （3-31書(shū)）一定，即一定， ,響應(yīng)速度越快對(duì)式（3-21）（書(shū)3-14）求導(dǎo)，并令其為零，求得 ,根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)取 (書(shū)3-22) 超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生，故即為最大輸出 (3-30) (書(shū)3-23)圖3-14時(shí)，時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí) 調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算典型二階系統(tǒng)欠阻尼條件下的單位階躍響應(yīng) 書(shū)式(3-14)令表示實(shí)際響應(yīng)于穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差，則有時(shí)，并在上述不等式右端分母中代入，選取誤差帶 (3-31) 書(shū)(3-24)當(dāng)較小 穩(wěn)態(tài)誤差定義：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的參考輸入和輸出之間的誤差就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

19、誤差，用表示。對(duì)圖3-8的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)有利用拉氏變換的終值定理，故二階系統(tǒng)在(單位)階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差恒為零。如果在斜坡信號(hào)作用下， (3-32)例3-1 考慮圖3-8所示系統(tǒng)，已知設(shè)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下。解：過(guò)阻尼 延遲時(shí)間同欠阻尼情況(仍然近似成立)上升時(shí)間 0.9的定義 調(diào)節(jié)時(shí)間 可用查圖法 無(wú)超調(diào)有二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)可自己看，書(shū)(3-29)可以對(duì)(3-14)進(jìn)行積分求得 利用線(xiàn)性系統(tǒng)的性質(zhì)，系統(tǒng)對(duì)輸入積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)響應(yīng)的積分。3.3.4二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)校正對(duì)于特定的系統(tǒng)，3.3.1節(jié)中介紹的位置控制系統(tǒng)(隨動(dòng)系統(tǒng))其閉環(huán)傳遞函數(shù) 調(diào)整時(shí)間，當(dāng)一定時(shí)與有關(guān)，大，小僅與有關(guān)

20、，大超調(diào)小控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的是穩(wěn)、準(zhǔn)、快。但各項(xiàng)指標(biāo)之間是矛盾的。如果要求系統(tǒng)反應(yīng)快，顯然要求小大，因?yàn)橐欢?對(duì)特定的系統(tǒng)) K小同樣如果要求系統(tǒng)反應(yīng)快， 就要大K大如果要求穩(wěn)態(tài)誤差小， K大必須采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系統(tǒng)滿(mǎn)足要求，就必須研究其他控制方式，以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。如二階系統(tǒng)在斜坡信號(hào)作用下，有穩(wěn)態(tài)誤差 在改善二階系統(tǒng)性能的方法中，比例微分控制和測(cè)速反饋控制是兩種常用方法。3.3.4.1 比例微分控制Proportional-plusderivative Control Of Second-order Systems用分析法研究PD控制，對(duì)系統(tǒng)性能的影響

21、，由圖3-15，可得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-15 PD控制系統(tǒng) (3-33) ，稱(chēng)為開(kāi)環(huán)增益，與有關(guān)。 (3-34)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (3-35)令 (3-36)結(jié)論：比例微分控制可以不該變自然頻率，但可增大系統(tǒng)的阻尼比。,由3-35可知，可通過(guò)適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)，改變阻尼的大小。，由于均與K有關(guān)，所以適當(dāng)選擇開(kāi)環(huán)增益，以使系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差減小，單位階躍輸入時(shí)有滿(mǎn)意的動(dòng)態(tài)性能(快速反應(yīng)，小的超調(diào))。這種控制方法，工業(yè)上稱(chēng)為PD控制，由于PD控制相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，故比例微分控制的二階系統(tǒng)稱(chēng)為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。適用范圍 微分時(shí)對(duì)噪聲有放大作用(高頻噪聲)。輸入噪聲放大時(shí)，不宜采

22、用。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí) (3-37)可以化簡(jiǎn)為書(shū)式(3-44)的簡(jiǎn)化形式，但式(3-45)式 (3-38)書(shū)(3-44)好像有問(wèn)題 丟了一個(gè)Z (3-39)r (3-38) (3-39) (3-40)3.3.4.2 測(cè)速反饋控制輸入量的導(dǎo)數(shù)同樣可以用來(lái)改善系統(tǒng)的性能。圖3-16 測(cè)速反饋控制的二階系統(tǒng)通過(guò)將輸出的速度信號(hào)反饋到系統(tǒng)輸入端，并與誤差信號(hào)比較，其效果與比例微分控制相似，可以增大系統(tǒng)阻尼，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。實(shí)例：角度控制系統(tǒng)。為與測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出斜率有關(guān)的測(cè)速反饋系數(shù)。(電壓/單位轉(zhuǎn)速)由圖3-16，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) (3-41) 開(kāi)環(huán)作用 (3-42)相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可用

23、(3-41)式中的第一種表示方式令 與PD控制相比說(shuō)明：由(3-42)式知，測(cè)速反饋會(huì)降低系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，從而會(huì)加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。 測(cè)速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率 不變可增大系統(tǒng)的阻尼比 與 (3-35) 形式相同測(cè)速反饋不形成閉環(huán)零點(diǎn)，因此時(shí)，測(cè)速反饋與比例微分控制對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不相同的。設(shè)計(jì)時(shí)，可適當(dāng)增加原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。例3-2 圖3-17(a)所示的系統(tǒng)，具有圖3-17(b)所示的響應(yīng)，求K和T解：閉環(huán)傳遞函數(shù) 例3-3 一控制系統(tǒng)如圖3-18所示，其中輸入，試證明當(dāng)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的輸出能無(wú)誤差地跟蹤單位斜坡輸入信號(hào)。解：圖3-18系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞

24、函數(shù) 圖3-18 控制系統(tǒng)的方塊圖由上式知，只要令，就可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)無(wú)誤差地跟蹤單位斜坡輸入。例3-4 設(shè)一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-19所示，要求系統(tǒng)的超調(diào)量為0.2，峰值時(shí)間，求求增益K和速度反饋系數(shù)。 根據(jù)所求的圖3-19 控制系統(tǒng)的方塊圖解： 由 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 【自學(xué)內(nèi)容】預(yù)習(xí)第四節(jié)。第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析【教學(xué)目的】對(duì)三階及其高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)能夠了解，會(huì)利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算公式。 【教學(xué)重點(diǎn)】利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算公式?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】 根據(jù)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算公式對(duì)高

25、階系統(tǒng)進(jìn)行估算?！窘虒W(xué)方法及手段】主要通過(guò)課堂講解和提問(wèn)。【課外作業(yè)】復(fù)習(xí)本節(jié)。【學(xué)時(shí)分配】 2課時(shí)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為將上式的分子與分母進(jìn)行因式分解，可得：式中： 令系統(tǒng)所有的零、極點(diǎn)互不相同，且其極點(diǎn)有實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)，零點(diǎn)均為實(shí)數(shù)零點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，將式（3-47）用部分分式展開(kāi)，得對(duì)上式求反變換得由可知：高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的瞬態(tài)分量是由一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）和二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）的響應(yīng)函數(shù)組成。其中輸入信號(hào)（控制信號(hào)）極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。系統(tǒng)瞬

26、態(tài)分量的形式由閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)所決定，而系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間的長(zhǎng)短與閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部絕對(duì)值的大小有關(guān)。如果閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，則相應(yīng)的瞬態(tài)分量就衰減得快，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間也就較短。而閉環(huán)零點(diǎn)只影響系統(tǒng)瞬態(tài)分量幅值的大小和符號(hào)。如果所有閉環(huán)的極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，則由（3-49）可知，隨著時(shí)間的推移，式中所有的瞬態(tài)分量（指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦（余弦）項(xiàng)）將不斷地衰減趨于零，最后該式的右方只乘t。由輸入信號(hào)極點(diǎn)所確定的穩(wěn)態(tài)分量項(xiàng)。它表示過(guò)渡結(jié)束后，系統(tǒng)的輸出量（被控制量）僅與輸入量（控制量）有關(guān)。閉環(huán)極點(diǎn)均位于S左半平面的系統(tǒng)，稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的首要條件，有關(guān)這方面的內(nèi)容，將在下節(jié)中做較詳細(xì)的闡述。如果閉環(huán)

27、傳遞函數(shù)中有一極點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)很遠(yuǎn)，即有 其中 則當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時(shí)間很短，而且其相應(yīng)的幅值亦較小，因而由它產(chǎn)生的瞬態(tài)分量可略去不計(jì)。如果閉環(huán)傳遞函數(shù)中某一個(gè)極點(diǎn) 則極點(diǎn)對(duì)應(yīng)瞬態(tài)分量的幅值很小，因而它在系統(tǒng)響應(yīng)中所占百分比很小，可忽略不計(jì)。主導(dǎo)極點(diǎn) 如果系統(tǒng)中有一個(gè)(極點(diǎn)或一對(duì))復(fù)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，且附近沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)；而其它閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離都比該極點(diǎn)與虛軸距離大5倍以上，則此系統(tǒng)的響應(yīng)可近似地視為由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)所產(chǎn)生。這是因?yàn)檫@種極點(diǎn)所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)，而且其初始幅值也大，充分體現(xiàn)了它在系統(tǒng)響應(yīng)中的主導(dǎo)作用，故稱(chēng)其為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)通常

28、為一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)。 在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，人們常利用主導(dǎo)極點(diǎn)這個(gè)概念選擇系統(tǒng)的參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，從而把一個(gè)高階系統(tǒng)近似地用一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)去表征。 【自學(xué)內(nèi)容】 預(yù)習(xí)第五節(jié) 線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 第五節(jié) 線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析?！窘虒W(xué)目的】1熟悉系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義。熟練掌握判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性及根據(jù)穩(wěn)定性要求確定系統(tǒng)參數(shù)的方法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】特征根必須全部分布在S平面的左半部，即具有負(fù)實(shí)部。 已知系統(tǒng)的特征方程時(shí)，可采用Routh穩(wěn)定判據(jù)或Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特征多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)均大于零(或同符號(hào))是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。Routh判據(jù)：由特征方程各項(xiàng)系數(shù)列出Routh

29、表，如果表中第一列各項(xiàng)嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各項(xiàng)數(shù)值符號(hào)改變的次數(shù)就是正實(shí)部特征根的數(shù)目。Hurwitz判據(jù)：由特征方程各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成的各階Hurwitz行列式全部為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】 Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況?！窘虒W(xué)方法及手段】通過(guò)課堂講解例題，使學(xué)生充分理解Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)?！菊n外作業(yè)】習(xí)題3-11，3-12。【學(xué)時(shí)分配】2課時(shí)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】3.5 線(xiàn)形定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各類(lèi)品質(zhì)指標(biāo)的分析也必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基

30、本任務(wù)之一。3.5.1 穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件基本概念 控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的干擾，例如，負(fù)載和能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。這些因素總是存在的，如果系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)不考慮這些因素，設(shè)計(jì)出來(lái)的系統(tǒng)不穩(wěn)定，那這樣的系統(tǒng)是不成功的，需要重新設(shè)計(jì)，或調(diào)整某些參數(shù)或結(jié)構(gòu)。 例如：三軸搖擺臺(tái)的飛車(chē)問(wèn)題是控制系統(tǒng)不穩(wěn)定、發(fā)散的一個(gè)典型實(shí)例。指令輸入信號(hào)走速率時(shí)，輸出不跟蹤指令，而是越走越快。陀螺會(huì)跟不上，力反饋拉不住。有關(guān)穩(wěn)定性的定義和理論較多?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義和理論闡述是由俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫于1892年提出的，它主要用于判別時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系

31、統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)一線(xiàn)性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。由此可知：線(xiàn)形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 基于穩(wěn)定性研究的問(wèn)題是擾動(dòng)作用去除后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，它與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的特征，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述。如果脈沖響應(yīng)函數(shù)是收斂的，即有 (3-52)表示系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可知，系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應(yīng)函數(shù)的收斂是一致的。由于單位脈沖函數(shù)的拉氏反變換等于1，所以系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

32、函數(shù)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。如同上節(jié)所假設(shè)的那樣，令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則式(3-46)可改寫(xiě)為式中 q+2r=ny用部分分式展開(kāi)對(duì)上式取拉氏反變換，求得系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為由式(3-54)可見(jiàn)，若即系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面，每一個(gè)特征根不論是是實(shí)根還是復(fù)根都要具有負(fù)實(shí)部，這就是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。如果系統(tǒng)的特征根中只要有一個(gè)正實(shí)根或一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)根，則其脈沖響應(yīng)函數(shù)就是發(fā)散形式，系統(tǒng)永遠(yuǎn)不會(huì)再回到原有的平衡狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。P52 物理系統(tǒng)的輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械止動(dòng)裝置的限制，或者系統(tǒng)

33、遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過(guò)一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線(xiàn)性的，（而使線(xiàn)性微分方程不再適用。）由于非線(xiàn)性因素存在，僅表現(xiàn)為等幅振蕩。圖3-20 以上討論了在零輸入系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，人們也許會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：即一個(gè)在零輸入下穩(wěn)定的系統(tǒng)，會(huì)不會(huì)因某個(gè)參考輸入信號(hào)的加入而使其穩(wěn)定性受到破壞？回答是否定的。下面以單位階躍函數(shù)，即，則系統(tǒng)的輸出為 (3-47)顯然，上式就是上節(jié)所述的式(3-47)，因而對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式就是式(3-49)。由該式可見(jiàn)，等號(hào)右方第一項(xiàng)是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量，它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量第二、第三項(xiàng)為系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量，它們是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定的。如果所研究的系統(tǒng)在零輸入下

34、是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)所有的特征根都具有負(fù)實(shí)部，則輸出響應(yīng)中各瞬態(tài)分量都將隨著時(shí)間的推移而不斷地衰減，經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的時(shí)間后，系統(tǒng)的輸出量最終將趨向于穩(wěn)態(tài)分量的一個(gè)無(wú)限小的領(lǐng)域，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)運(yùn)行。這表明了一個(gè)在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng)，在參考輸入信號(hào)作用下仍能將繼續(xù)保持穩(wěn)定。綜上所述，控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否完全取決于它本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，即取決于系統(tǒng)特征方程式根實(shí)部的符號(hào)，與系統(tǒng)的初始條件和輸入無(wú)關(guān)。如果系統(tǒng)特征方程式的根都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)特征方程式的根中有一個(gè)或一對(duì)以上實(shí)部為正的根，則對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量將隨著時(shí)間的推移而不斷地增大，并成為輸出響應(yīng)的主要成分，而穩(wěn)態(tài)分量與之相比都變得無(wú)足輕重了。顯

35、然，這種系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)特征方程式的根中有一對(duì)共軛虛根，其余的根均在S的左半平面，則對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)中含有等幅振蕩的分量，基于系統(tǒng)的參數(shù)和外部環(huán)境的變化，這種等幅振蕩不可能持久地維持下去，系統(tǒng)最后很可能會(huì)不穩(wěn)定。因此，在控制工程中通常把臨界穩(wěn)定亦當(dāng)作不穩(wěn)定處理。3.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)3.5.2.1勞斯表線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面。能否找到一種不用求根而直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方式，稱(chēng)為穩(wěn)定判據(jù)。令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為如果方程式的根都是負(fù)實(shí)部，或其實(shí)部為負(fù)的復(fù)數(shù)根，則其特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且無(wú)零系數(shù)。證明、說(shuō)明：設(shè)為實(shí)數(shù)

36、根，為復(fù)數(shù)根因?yàn)樯鲜降忍?hào)左方所有因式的系數(shù)都為正（數(shù)）值，所以它們相乘后與各次項(xiàng)的系數(shù)必然仍為正值，且不會(huì)有系數(shù)為零的項(xiàng)。反之，若方程中如有一個(gè)根為正實(shí)根，或有一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)根，則由式(3-56)可知，對(duì)應(yīng)方程式與各項(xiàng)的系數(shù)不會(huì)全為正值，即一定會(huì)有負(fù)系數(shù)項(xiàng)或缺項(xiàng)出現(xiàn)。不難證明，對(duì)于一階和二階線(xiàn)性定常系統(tǒng)，其特征方程式的系數(shù)全為正值，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和必要條件。但對(duì)于三階以上的系統(tǒng)，特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而非充分條件。勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是這種間接的方法（不用直接求根，因?yàn)榍蟾軓?fù)雜），它是由勞斯于1877年首先提出的。有關(guān)勞斯判據(jù)自身的數(shù)學(xué)論證，從略。本節(jié)主要介

37、紹該判據(jù)有關(guān)的結(jié)論及其在判別控制系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的應(yīng)用。設(shè)系統(tǒng)特征方程式如（3-55）所示，將各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成老斯表這樣可求得n+1行系數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變化，去判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過(guò)程如下：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。例3-5 已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表 由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面

38、，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例3-6 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值。可得：3.5.2.2 勞斯判據(jù)特殊情況。在應(yīng)用勞斯判據(jù)時(shí)，有可能會(huì)碰到以下兩種特殊情況。勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有余項(xiàng)，這種情況的出現(xiàn)使勞斯表無(wú)法繼續(xù)往下排列。解決的辦法是以一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一

39、對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定。例3-7 已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于表中第一列上面的符號(hào)與其下面系數(shù)的符號(hào)相同，表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯表中出現(xiàn)全零行則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表 由上表可知，第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上

40、沒(méi)有特征根。令F(s)=0，求得兩對(duì)大小相等、符號(hào)相反的根，顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.5.2.3 勞斯判據(jù)的應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿(mǎn)意的動(dòng)態(tài)性能。換句話(huà)說(shuō)，勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對(duì)于虛軸的距離。希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設(shè)，并代入原方程式中，得到以為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線(xiàn)，右側(cè)。由此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。例3-8 用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)有

41、幾個(gè)根在垂線(xiàn)的右方。解：列勞斯表第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程： 式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在的右方。列勞斯表 第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線(xiàn)的右方。可確定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例3-9 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-21所示，試回答圖3-21解：排勞斯表 第一列均為正值，S全部位于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征方程為 列勞斯表 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值，既 由此得出系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為【自學(xué)內(nèi)容】 預(yù)習(xí)第六節(jié)。第六節(jié) 線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算【教學(xué)目的】掌握系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法和減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施

42、?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的共同前提條件是：系統(tǒng)必須穩(wěn)定。 (1)靜態(tài)誤差系數(shù)法。根據(jù)系統(tǒng)的型別v，求靜態(tài)誤差系數(shù)。利用參考輸入作用下en()與系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)間的關(guān)系確定en()(2)利用拉氏變換的終值定理求en()。當(dāng)sE(s)的全部極點(diǎn)(除坐標(biāo)原點(diǎn)外)都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，有en()=en()=sE(s) (3)動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法。首先將誤差傳遞函數(shù)表示成s的冪級(jí)數(shù)把E(s)表示成輸入信號(hào)的拉氏變換R(s)與s的冪級(jí)數(shù)相乘的形式，再取拉氏反變換，就可把穩(wěn)態(tài)誤差en(t)表示成輸入信號(hào)r(t)與其導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合，從而可求出穩(wěn)態(tài)誤差隨時(shí)間變化的表達(dá)式en(t)?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】減

43、小穩(wěn)態(tài)誤差的措施?！窘虒W(xué)方法及手段】 通過(guò)課堂講解使學(xué)生建立穩(wěn)態(tài)誤差的概念，通過(guò)例題講解使學(xué)生掌握求解穩(wěn)態(tài)誤差的方法?！菊n外作業(yè)】 習(xí)題3-16。【學(xué)時(shí)分配】 2學(xué)時(shí)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】3.6 線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算前提：系統(tǒng)穩(wěn)定 一個(gè)符合工程要求的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差必須控制在允許的范圍之內(nèi)。例如工業(yè)加熱爐的爐溫誤差若超過(guò)其允許的限度，就會(huì)影響加工產(chǎn)品的質(zhì)量。又如造紙廠中卷繞紙張的恒張力控制系統(tǒng)，要求紙張?jiān)诰砝@過(guò)程中張力的誤差保持在某一允許的范圍之內(nèi)。若張力過(guò)小，就會(huì)出現(xiàn)松滾現(xiàn)象，而張力過(guò)大，又會(huì)促使紙張的斷裂。重要性能指標(biāo)?？刂葡到y(tǒng)的性能是由動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成的。動(dòng)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤

44、差的不可避免性 輸入量（控制量），擾動(dòng)量不同，輸入函數(shù)的形式不同（階躍、斜坡、或加速度），控制系統(tǒng)的輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當(dāng)，也不可能在任何形式的擾動(dòng)作用下都準(zhǔn)確地恢復(fù)到原平衡位置?？刂葡到y(tǒng)中不可避免存在摩擦，不靈敏區(qū)，零位輸出等非線(xiàn)性因素，都會(huì)造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差。無(wú)差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下沒(méi)有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱(chēng)之無(wú)差系統(tǒng)。有差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱(chēng)之有差系統(tǒng)。本節(jié)主要討論原理性誤差的計(jì)算方法3.6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的定義圖3-22控制系統(tǒng)框圖 (3-56) 在實(shí)際系統(tǒng)中是可以量測(cè)的。 (3-57) 輸出的實(shí)際值輸出的希望值（真值很難得到），可舉例說(shuō)

45、明。如果，輸出量的希望值，即為輸入量。由圖3-22可得誤差傳遞函數(shù) (3-58) (3-59) (3-60)插入 二階系統(tǒng)分別在斜坡輸入和階躍輸入作用下的響應(yīng)的誤差曲線(xiàn)，說(shuō)明不同的輸入對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)所產(chǎn)生的誤差是不同的。終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差。 (3-61)公式條件：的極點(diǎn)均位于S左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）式(3-61)表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與輸入形式密切相關(guān) 。(3-61)對(duì)于一個(gè)給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號(hào)的能力來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)分類(lèi)是必要的。3.6.2 系統(tǒng)類(lèi)型令系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)