1、題型55 割補(bǔ)法與等積變換求解體積問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】利用等積變換求解三棱錐的體積問(wèn)題，歸根結(jié)底就是“換頂點(diǎn)（或換底面）”，換頂點(diǎn)的常用方法有二.一是直接換，即從四個(gè)頂點(diǎn)選擇一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，選擇的基本原則是點(diǎn)面距易求，如出現(xiàn)線面垂直等；二是利用線面平行更換頂點(diǎn)，由于該直線上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，換完后依然是便于求出點(diǎn)面距.當(dāng)然，有時(shí)還會(huì)遇到利用與平面相交的直線上的點(diǎn)換頂點(diǎn)等不一而足.利用求體積可以求點(diǎn)面距，其數(shù)學(xué)方法是“算兩次”.【典型題示例】例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在棱BB1上，動(dòng)點(diǎn)F在線段A1C1A. 與x，y都有關(guān)B. 與x，y都無(wú)關(guān)C. 與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)D

2、. 與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)【答案】B【分析】利用線面平行換頂點(diǎn)，化動(dòng)為靜.【解析】易知，平面，故四面體 QUOTE O-AEF 即四面體與四面體同底等高，即同理，平面，故四面體 QUOTE O-AEF 即四面體與四面體同底等高，即所以，故與x，y都無(wú)關(guān).例2 如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且、均為正三角形，則該多面體的體積為（ ）A B CD【答案】A【分析】將物體切割成一個(gè)三棱柱，兩個(gè)三棱錐分別計(jì)算體積.【解析】在上取點(diǎn)使，連接，是邊長(zhǎng)為1的正方形，且、均為正三角形，所以四邊形為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，是平面內(nèi)兩條相交直線，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，幾何體體積

3、為，故選：A例3 如圖，在長(zhǎng)方體中，則四棱錐的體積為 cm3.【答案】【解析】如圖所示，連結(jié)交于點(diǎn)，因?yàn)?平面，又因?yàn)椋?，所以四棱錐的高為，根據(jù)題意，所以，又因?yàn)?，故矩形的面積為，從而四棱錐的體積.例4 如下圖，四棱錐中，平面，則點(diǎn)到平面的距離為 .【答案】【分析】先證明，而所求點(diǎn)到平面的距離，需利用“算兩次”，求出三棱錐的體積即可.【解析】因?yàn)槠矫?平面,所以.由,得又,平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以.連結(jié).設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)?所以從而由,得的面積.由平面及,得三棱錐的體積因?yàn)槠矫嫫矫?所以,又,所以由,得的面積,由,得因此點(diǎn)到平面的距離為【鞏固訓(xùn)練】AA1B不C不B1不C1

4、不D1不D不1.AA1B不C不B1不C1不D1不D不2.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為 cm3 3.如圖，已知正四棱柱的體積為36，點(diǎn)，分別為棱，上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則四棱錐的體積為 4如圖，三棱錐中，是中點(diǎn)，在上，且，若三棱錐的體積是2，則四棱錐的體積為 5.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐AA1EF的體積是 AABCA1B1FC1E6.如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 7.在直三棱柱中，.則到面的距離為 .【答案與提示】1.【答案】1【提示】直接使用等體積法.2.【答案】【提示】直接使用等體積法.3.【答案】12【解析一】特殊位置法，轉(zhuǎn)化為求四棱錐的體積；【解析二】連接DE，則三菱錐與三菱錐體積相等，所以，因?yàn)?，所?【解析三】補(bǔ)體，如右圖.4【答案】10【解析】補(bǔ)體，轉(zhuǎn)化為三菱錐與三棱錐的體積比，實(shí)施等積變換.，因?yàn)椋瑒t四棱錐的體積為10.5.【答案】【提示】直接使用等體積法.6. 【答案】1：24【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：247