1、PAGE 3 -微專題(十九)三角形的“心”的向量表示及應(yīng)用1三角形各心的概念介紹重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)；垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心)；外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心)根據(jù)概念，可知各心的特征條件比如：重心將中線長度分成21；垂線與對應(yīng)邊垂直；角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等2三角形各心的向量表示(1)O是ABC的重心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0；(2)O是ABC的垂心eq o(OA,sup6()eq o(OB

2、,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()；(3)O是ABC的外心|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|(或OA2eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()2)；(4)O是ABC的內(nèi)心eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq o(OB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(B

3、A,sup6(),|o(BA,sup6()|)f(o(BC,sup6(),|o(BC,sup6()|)eq o(OC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(CA,sup6(),|o(CA,sup6()|)f(o(CB,sup6(),|o(CB,sup6()|)0.注意向量eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)(0)所在直線過ABC的內(nèi)心(是BAC的角平分線所在直線)專題一將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例1若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，|eq o(OA,sup6()|

4、eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|，則O是ABC的()A內(nèi)心B外心 C垂心D重心解析：由向量模的定義知O到ABC的三頂點(diǎn)距離相等，故O是ABC的外心，故選B.答案：B專題二將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查例2點(diǎn)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()，則點(diǎn)P是ABC的()A外心B內(nèi)心 C重心D垂心解析：由eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()，

5、得eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()0，即eq o(PB,sup6()(eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()0，即eq o(PB,sup6()eq o(CA,sup6()0，則PBCA.同理PABC，PCAB，所以P為ABC的垂心故選D.講評：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形的垂心的定義等相關(guān)知識將三角形的垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合答案：D專題三將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例3O是平面上一定點(diǎn)，A，

6、B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A外心B內(nèi)心 C重心D垂心解析：因?yàn)閑q f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)是向量eq o(AB,sup6()方向上的單位向量，設(shè)eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()方向上的單位向量分別為e1和e2，又eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq

7、 o(AP,sup6()，則原式可化為eq o(AP,sup6()(e1e2)，由菱形的基本性質(zhì)可知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，故選B.答案：B專題四將平面向量與三角形重心結(jié)合考查例4點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)G是ABC的重心eq o(PG,sup6()eq f(1,3)(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()解析：eq o(PG,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(AG,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(BG,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(CG,sup6()，3eq o(PG

8、,sup6()(eq o(AG,sup6()eq o(BG,sup6()eq o(CG,sup6()(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()點(diǎn)G是ABC的重心，eq o(GA,sup6()eq o(GB,sup6()eq o(GC,sup6()0.eq o(AG,sup6()eq o(BG,sup6()eq o(CG,sup6()0，即3eq o(PG,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6().由此得eq o(PG,sup6()eq f(1,3)(eq o(PA,sup6()eq o(PB,s

9、up6()eq o(PC,sup6()反之亦然(證略)專題五將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例5已知向量eq o(OP1,sup6()，eq o(OP2,sup6()，eq o(OP3,sup6()滿足條件eq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()eq o(OP3,sup6()0，|eq o(OP1,sup6()|eq o(OP2,sup6()|eq o(OP3,sup6()|1，求證：P1P2P3是正三角形證明：由已知條件可得eq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()eq o(OP3,sup6()，兩邊平方，得eq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()eq f(1,2).同理