1、1212三次函數(shù)的單調(diào)性與極值問題四川省內(nèi)江市第十二中學(xué)雷華(郵編：641106)電話函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及應(yīng)用是近年高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的特點(diǎn)和趨向。其中三次函數(shù)問題在高考試卷(特別是文科)里經(jīng)常出現(xiàn)，其原因是三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)是高中的重要內(nèi)容，并且可綜合考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)。下面就對(duì)三次函數(shù)的單調(diào)性、極值問題進(jìn)行分析，希望對(duì)同學(xué)們提升解題能力有所幫助和啟示。一、三次函數(shù)的單調(diào)性問題1、設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f(x)=3ax2+2bx+c是二次

2、函數(shù)，原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān)，易知導(dǎo)函數(shù)中的判別式A=4b2-12ac二4(b2-3ac)的符號(hào)起決定性作用。(1)若A0,即b2一3ac0時(shí)，方程f(x)=0有兩根，設(shè)為x,x(其中12bVb23acx=13abVb23acx=13ax2=3a)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得:當(dāng)Xx時(shí)，f(x)0，因此f(x)在(-8,x)和(x，+8)上為增函數(shù)；1212當(dāng)xVxVx時(shí)，f(x)0，因此f(x)在(x，x)上為減函數(shù)。1212(2)若AW0時(shí)，即b2-3acWO,則f(x)三0在R上恒成立，因此f(x)在R上為增函數(shù)。2、由上述推導(dǎo)，較易得到：當(dāng)a0時(shí)，三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c

3、x+d(a0，則f(x)在(一8,x)和(x，+8)上為減函數(shù)，在(x，x)上1212為增函數(shù)。若b2一3acW0時(shí)，則f(x)在(-8,+8)上為減函數(shù)3、由三次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)a和A的不同情況三次函數(shù)圖象分別為：(|二、三次函數(shù)的極值問題結(jié)合三次函數(shù)的圖象和單調(diào)性可得:當(dāng)A0時(shí)，二次方程f(x)=0有兩相異實(shí)根x,x,12且在x,x的兩邊f(xié)(x)的符號(hào)相反，故函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，圖象為上圖中的(2)、(4)12兩種；當(dāng)A二0時(shí)，二次方程f(x)=0有兩相等實(shí)根，且在根的兩邊f(xié)(x)的符號(hào)相同，這時(shí)函數(shù)f(x)只存在駐點(diǎn)(但不是極值點(diǎn))；當(dāng)A0,則f(x)在R上有兩個(gè)極值。當(dāng)a0時(shí)

4、，f(x)在x=x處取得極大值，在x=x處取得極小值12當(dāng)aVO時(shí)，f(x)在x=x處取得極小值，在x=x處取得極大值12注意：三次函數(shù)f(x)有極值等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f(x)的判別式A0根據(jù)以上性質(zhì)可靈活解決三次函數(shù)問題。如：【例1】(06全國(guó)卷I)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(一8,0)和(1,+a)都是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：f(x)=3x22ax+(a21),其判別式厶=4a212a2+12=128a2.(i)若厶=128a2=0,即a=，當(dāng)x(,|)，或x(|,+)時(shí),f(x)0,f(x)在(傘+呵為增函數(shù)所以a=(ii)若厶=128a2v0,恒有f(x)0

5、,f(x)在R上為增函數(shù)，故a2|,即aG(,甲川嚴(yán)+)66a32na+32n(ill)右厶128n0,即一2a0,f(x)為增函數(shù);當(dāng)x(x1,x2)時(shí),f(x)v0,f(x)為減函數(shù).依題意X20且x2W1.由X20得a三勺32a2懈得1Wa由x2W1得32a2W3a,解得a1.(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)討論f(x)的極值.解：由已知得f(x)=6xx-(a-1)，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=6x2,f(x)在(_+w)上單調(diào)遞增當(dāng)a1時(shí)，f(x)=6xx(a1),f(x),f(x)隨x的變化情況如下：當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)0VxVa-1時(shí)；f(x)VO；當(dāng)xa-1時(shí)，f(x)0。從上可知，函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增；在(0,a1)上單調(diào)遞減；在(a1,+8)上單調(diào)遞增.由(I)知：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值.當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值，在x=a