1、 組合與組合數(shù)（1）高二年級(jí) 數(shù)學(xué)主講人 李林翰北京市第一六一中學(xué)北京市中小學(xué)空中課堂【情境與問(wèn)題】（1）小張要在3所大學(xué)中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第 二志愿，小張共有多少種不同的選擇方式？（2）小張要在3所大學(xué)中選擇2所，作為自己努力的目標(biāo)，小張共 有多少種不同的選擇方式？問(wèn)題1：你能否用適當(dāng)?shù)姆?hào)列舉兩問(wèn)的選擇方式？設(shè)3所學(xué)校分別為A,B,C.問(wèn)題1的所有情況： 問(wèn)題2的所有情況：（A,B），（B,A）， （A,B），（A,C），（C,A）， （A,C），（B,C），（C,B）. （B,C）.問(wèn)題2：兩問(wèn)的結(jié)果是否一樣？你能否從“列舉”的結(jié)果或 運(yùn)用“排列”的知識(shí)，說(shuō)明理由.列舉

2、結(jié)果問(wèn)題3：你能否找到兩個(gè)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)式表示？相對(duì)于問(wèn)題（2），問(wèn)題（1）也可以看作分成兩步完成：第一步，從3所學(xué)校中任取2所學(xué)校，即完成問(wèn)題（2）， 設(shè)有 種方法；第二步，將選出的2所學(xué)校全排列，排列數(shù)為 .根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理：方法數(shù)為 .所以 ，即：?jiǎn)栴}（2）的方法數(shù) . 事實(shí)上，問(wèn)題（2）也是計(jì)數(shù)問(wèn)題中的一種重要模型.問(wèn)題4：你能否類比排列的知識(shí)，從問(wèn)題（2）中提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)嗎？ 從3所大學(xué)中選擇2所，有多少種不同的選擇方式？ 這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)是：從3個(gè)不同對(duì)象中任取出2個(gè)對(duì)象，不考慮順序并成一組，有多少種不同的組法？ 像這樣的計(jì)數(shù)問(wèn)題：組合問(wèn)題（一般化，概括定義）【抽象概括，

3、形成概念】1.組合 一般地，從 個(gè)不同對(duì)象中取出 （mn）個(gè)對(duì)象并成一組，稱為從 個(gè)不同對(duì)象中取出 個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合.組合定義的特征：（1）取出的對(duì)象互不相同的；（互異性）（2）取出后“并成一組”，即與對(duì)象的順序無(wú)關(guān).（無(wú)序性） 可以把每一個(gè)組合都看成是一個(gè)集合.排列組合定義一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m（mn）個(gè)對(duì)象，按照一定順序排成一列.一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，取出m（mn）個(gè)對(duì)象，并成一組.相同點(diǎn)從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m（mn）個(gè)對(duì)象不同點(diǎn)與對(duì)象的順序有關(guān)（先選后排）與對(duì)象的順序無(wú)關(guān)（只選不排）2.組合數(shù) 從 個(gè)不同對(duì)象中取出 （mn）個(gè)對(duì)象的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從 個(gè)不同對(duì)象中取出

4、 個(gè)對(duì)象的組合數(shù).用符號(hào) 表示.組合數(shù)的計(jì)算：（排列 組合）排列問(wèn)題也可以按 “先選后排”分兩步完成：第一步，先從n個(gè)不同對(duì)象取出m個(gè)，是組合問(wèn)題，方法有 種；第二步，將選出的m個(gè)對(duì)象做全排列，有 種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，則 ，所以組合數(shù) 從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)做排列，方法數(shù)為 . 組合數(shù)公式：（1） （連乘形式）（2） （階乘形式）特殊組合數(shù)：（1）當(dāng) 時(shí)， （注意 ）；（2）當(dāng) 時(shí)， ；（3）當(dāng) 時(shí)， .結(jié)合具體問(wèn)題來(lái)直觀解釋這3個(gè)組合數(shù)的含義.對(duì)于組合數(shù)的概念以及在應(yīng)用時(shí)，需注意：（1）組合數(shù) 既表示一個(gè)結(jié)果，又表示一種運(yùn)算.（2） （連乘） （階乘） 通常進(jìn)行具體計(jì)算，或組合數(shù)

5、中m較小時(shí)， 使用連乘形式比較方便，如： . 當(dāng)組合數(shù)中含有未知量，或需要將組合數(shù)進(jìn)行“恒等變換” 時(shí)，通常用階乘的形式，可起到簡(jiǎn)化列式的效果.也可以利用信息技術(shù)軟件來(lái)計(jì)算組合數(shù).B版教材選擇性必修第二冊(cè)P21，了解相關(guān)方法.例1. 平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，且任意兩點(diǎn)所連成的線段中，任意兩條線段的長(zhǎng)度不相等.（1）這些點(diǎn)共可以連成多少條不同的線段？由題意，任意三點(diǎn)不共線，由兩點(diǎn)可確定一條線段，并且是否為相同線段，與兩個(gè)端點(diǎn)順序無(wú)關(guān).共有 條線段.“組合”問(wèn)題： (具體計(jì)算,應(yīng)用連乘公式)例1. 平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，且任意兩點(diǎn)所連成的線段中，任意兩條線段的長(zhǎng)度不相等.

6、（2）以這些點(diǎn)為端點(diǎn)，共可以作出多少個(gè)不同的非零向量？任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)，均可作出一個(gè)非零向量；對(duì)調(diào)起點(diǎn)和終點(diǎn)的順序，對(duì)應(yīng)的向量不同，因此要考慮順序；連成的所有線段中，任意兩條線段長(zhǎng)度不相等，向量互不相同.“排列” 問(wèn)題： 個(gè)非零向量.例1. 平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，且任意兩點(diǎn)所連成的線段中，任意兩條線段的長(zhǎng)度不相等.（3）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可以組成多少個(gè)不同的三角形？以任意三個(gè)不共線的點(diǎn)作為頂點(diǎn)，都可以構(gòu)成一個(gè)三角形，且是否為同一個(gè)三角形，與三個(gè)頂點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).“組合”問(wèn)題： 個(gè)三角形.研究具體計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)：（1）先將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.（2）注意辨析是“排列”

7、問(wèn)題，還是“組合”問(wèn)題？ 即判斷：取出對(duì)象后，是否需要考慮順序.（重要區(qū)分標(biāo)志） 在之前的結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)一組相等的組合數(shù)： .這里是否具有一定規(guī)律？在后面練習(xí)中繼續(xù)觀察例2. 計(jì)算：（1） ；（2） .（2）（1） ；在具體計(jì)算時(shí)，應(yīng)用組合數(shù)的連乘公式計(jì)算.通過(guò)例1和例2，我們發(fā)現(xiàn)了三組相等的組合數(shù)： ， ， .共同特征：（1）兩個(gè)組合數(shù)的下標(biāo)相同； （2）兩個(gè)上標(biāo)的和等于下標(biāo). 將滿足這樣2個(gè)特征的組合數(shù)一般化 歸納： .證明： .也可以從組合數(shù)的含義來(lái)解釋這個(gè)等量關(guān)系組合數(shù)中含有“未知量”，應(yīng)用階乘公式展開(kāi) ，所以等式成立 表示為：從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有組合的個(gè)數(shù). 當(dāng)確定了取出

8、哪m個(gè)對(duì)象時(shí)，那么剩余的（ nm ）個(gè)對(duì)象也就確定下來(lái)了.所以取出m個(gè)對(duì)象的每一個(gè)組合，與選出剩余（ nm ）個(gè)對(duì)象的每一個(gè)組合是一一對(duì)應(yīng)的.那么，從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的組合數(shù) ，與從n個(gè)不同對(duì)象中取出（ nm ）個(gè)對(duì)象的組合數(shù) 是相等的.組合數(shù)性質(zhì)1： .(1)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性；(2)在計(jì)算組合數(shù)時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 可以將計(jì)算 轉(zhuǎn)化為計(jì)算 ，會(huì)更加簡(jiǎn)便. (后續(xù)練習(xí)中慢慢體會(huì))例3. 一個(gè)口袋里有7個(gè)不同的白球和1個(gè)紅球，從中取出5個(gè)球：（1）共有多少種不同的取法？只是取出球，所以不用考慮取出球的先后順序，因此等同于“從8個(gè)不同對(duì)象中任取5個(gè)并成一組”，是組合問(wèn)題.方法數(shù)為適當(dāng)運(yùn)用組合

9、數(shù)的性質(zhì)，可起到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果（2）如果必須取紅球，共有多少種不同的取法？因?yàn)榧t球只有1個(gè)，所以取出的紅球已經(jīng)確定下來(lái)，只需再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)白球中取出4個(gè)即可，組合問(wèn)題，方法數(shù)為：（3）如果不取紅球，共有多少種不同的取法？ （可以從兩個(gè)角度研究這個(gè)問(wèn)題）法1. “不取紅球”，也就是 “取出的5個(gè)球均為白球”， 問(wèn)題等同于“從7個(gè)不同白球中取出5個(gè)白球”， 仍是組合問(wèn)題. 所以不同的取法有： 種.（3）如果不取紅球，共有多少種不同的取法？從“任意取出5個(gè)球”中，去掉“必須取紅球”即可.利用前2問(wèn)的結(jié)論可以得到： 種.法2：出現(xiàn)類似“不”的否定詞語(yǔ)-排除法（3）如果不取紅球，共有多少種不同的取法？

10、直接法： 排除法：下標(biāo)相同的兩個(gè)組合數(shù)的和，也是一個(gè)組合數(shù)那么這樣的等量關(guān)系是偶然的還是必然的？在同一問(wèn)題中，從兩個(gè)角度分別計(jì)算整理得到的，猜測(cè)應(yīng)具備普遍性嘗試問(wèn)題一般化，試試能否提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)，歸納結(jié)論？原問(wèn)題：一個(gè)口袋里有7個(gè)不同白球和1個(gè)紅球，從中取出5個(gè)球，有多少種不同的取法？假設(shè)有n+1個(gè)不同對(duì)象，甲是其中一個(gè)，從這n+1個(gè)對(duì)象中取出m+1個(gè)，這樣的組合共有多少個(gè)？（類比之前的計(jì)數(shù)過(guò)程，也從兩個(gè)角度研究這個(gè)問(wèn)題）問(wèn)題可一般化為：法1. 從 個(gè)對(duì)象中取出 個(gè)的組合數(shù)為 .法2. 分成兩類情況：第一類，如果取出的對(duì)象中含甲，等價(jià)于“從剩余n個(gè)不同對(duì)象再取出m個(gè)的組合”，有 種方法.第二類，

11、如果取出的對(duì)象中不含甲，等價(jià)于“從剩余n個(gè)不同對(duì)象取出m+1個(gè)的組合”，有 種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 種方法.可得： .（利用公式推導(dǎo)證明選做）組合數(shù)性質(zhì)2： .在關(guān)于一些組合數(shù)的計(jì)算或化簡(jiǎn)變換中，會(huì)經(jīng)常用到.如，計(jì)算：法1： .法2： .下標(biāo)相同，上標(biāo)相差1合二為一，化簡(jiǎn)運(yùn)算【課堂小結(jié)】1.組合與組合數(shù)的概念 本節(jié)課我們從具體問(wèn)題中抽象出組合的概念，通過(guò)類比排列，概括出問(wèn)題的本質(zhì)特征，得到組合的定義.并利用排列數(shù)公式推導(dǎo)出組合數(shù)的公式. 【課堂小結(jié)】2.注意組合的特征： （1）“取出的對(duì)象互不相同”，即互異性； （2）“取出的對(duì)象并成一組”，即無(wú)序性. （區(qū)分排列與組合的重要標(biāo)志）

12、 3.組合數(shù)的公式和性質(zhì)公式：性質(zhì)1： ；性質(zhì)2： .主要用于化簡(jiǎn)變換，簡(jiǎn)化計(jì)算.【課堂小結(jié)】4.體會(huì)組合數(shù)性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程. 在兩個(gè)性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程中，我們經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納、證明”的學(xué)習(xí)過(guò)程，探究出組合數(shù)的性質(zhì)，感受到了從特殊到一般的探究過(guò)程，體會(huì)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，提升了抽象概括能力,【課堂小結(jié)】【作業(yè)】B版教材 第22頁(yè) A組：1，3； B組：3（選做）.A組 1.北京隊(duì)、上海隊(duì)、天津隊(duì)、廣東隊(duì)四個(gè)足球隊(duì)舉行友誼 比賽，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)要比賽一場(chǎng) （1）求一共有多少場(chǎng)比賽？并列出所有可能的情況； （2）最終產(chǎn)生冠、亞軍各一個(gè)隊(duì)，一共有多少種情況？并列 出所有可能的冠亞軍情況. A組 3.計(jì)算： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；B組 3.選做： 利用組合數(shù)公式證明： .謝謝If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander.如果今天我不是拿破侖的話，我想成為亞歷山大。Never underestimate your power to change yourself!永遠(yuǎn)不要低估你改變自我的能力！Living without an