1、關(guān)于大一高數(shù)下基本概念第1頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 第八章 第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 第2頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三一、 區(qū)域1. 鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn) P0 的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫(xiě)成點(diǎn) P0 的去心鄰域記為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椤Ｒ驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰

2、域可以互相包含.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 第5頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5

3、月20日，19點(diǎn)52分，星期三(2) 聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 ,點(diǎn)P 的去心機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )第6頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三D(3) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開(kāi)集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;機(jī)

4、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;第7頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三3. n 維空間n 元有序數(shù)組的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo) .記作即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一個(gè)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為 中的零元,記作 O .第8頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三的距離記作中點(diǎn) a 的 鄰域?yàn)闄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 規(guī)定為 與零元 O 的距離為第9頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三二、多元函數(shù)的概

5、念 引例: 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例如, 二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

6、頁(yè) 返回 結(jié)束 的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) 定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第12頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三三、多元函數(shù)的極限定義2. 設(shè) n 元函數(shù)點(diǎn) ,則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作都有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切第13頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例1. 設(shè)求證：證:故總有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 要證 第14頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例2.

7、 設(shè)求證：證：故總有要證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于不存在 .例3. 討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例4. 求解: 因而此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸則故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)，共32頁(yè)，2

8、022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在. 二重極限不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三四、 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 . 設(shè) n 元函數(shù)定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 連續(xù).連續(xù), 第19頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例如, 函數(shù)在

9、點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如, 函數(shù)上間斷. 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第20頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 * (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 第21頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52

10、分，星期三解: 原式例5.求例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 : 區(qū)域連通的開(kāi)集 2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三有3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫(huà)圖 ) ; 8P

11、72 題 3; 4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)第24頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三解答提示:P11 題 2. 稱為二次齊次函數(shù) .P11 題 4.P11 題 5(3).定義域P11 題 5(5).定義域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三P12 題 8.間斷點(diǎn)集P72 題 3.定義域P72 題 4.令 y= k x ，若令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 則 可見(jiàn)極限不存在第26頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 作業(yè)P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第27頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三備用題1. 設(shè)求解法1 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第28頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三1 .設(shè)求解法2 令即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第29頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三2.是否存在？解：所以極限不存