1、2.1 同余及其基本性質(zhì)人教B版數(shù)學(xué)選修4-6初等數(shù)論初步2.1 同余及其基本性質(zhì)人教B版數(shù)學(xué)選修4-6初等數(shù)論初同余是數(shù)論中一個基本概念, 它的基本概念與記號都是偉大的數(shù)學(xué)家高斯引進的.它的引人簡化了數(shù)論中的許多問題. 本章著重討論同余的概念及其基本性質(zhì)，完全剩余系和簡化剩余系，兩個重要定理（歐拉定理和費馬小定理）及其應(yīng)用同余是數(shù)論中一個基本概念, 它的基本概念與記號都是偉大的數(shù)學(xué)定義1 給定一正整數(shù)m（模）, 若用m去除兩個整數(shù)a和b所得余數(shù)相同, 則稱a 與b對模m同余, 記作ab(mod m); 若余數(shù)不同, 則稱 a 與b對模m不同余, 記作ab(mod m). 定義2若m|(a-b

2、), 則稱a與b對模m同余. 定義3若a= mq+b, 則稱a與b對模m同余. 顯然，a0(mod m) 等價于 m| a.定義1 給定一正整數(shù)m（模）, 若用m去除兩個整數(shù)a和b所得由同余的定義, 可得下列性質(zhì): （1）自反性: aa (mod m). （2）對稱性: 若ab(mod m), 則 ba(mod m). （3）傳遞性: 若ab(mod m), bc(mod m), 則ac(mod m). 由同余的定義, 可得下列性質(zhì):同余的性質(zhì) 若a1b1(mod m), a2b2(mod m), 則:（4） a1 + a2 b1+ b2(mod m). 推論：若a +bc(mod m), 則

3、a c- b(mod m)（5） a1 a2 b1b2(mod m). 推論() 若ab(mod m)，則akbk(mod m)， 其中k為整數(shù). 推論( )若ab(mod m)，則 an bn(mod m), 其中 n為自然數(shù).同余的性質(zhì)（7）若 ac bc(mod m), (m,c)=d, 則 ab(mod m/d). 特別地，當(dāng)(m,c)=1時，有ab(mod m).（8）若ab(mod m)，則akbk(mod mk)， 其中k為大于零的整數(shù)； 若ab(mod m)，d為a,b及 m的任一正公約數(shù), 則 a /d b /d(mod(m/d) . （9） ab(mod mi), (1in

4、), 則ab (mod m1,m2,mn). （10） 若ab(mod m), 且d|m, 則 ab(modd ).（7）若 ac bc(mod m), (m,c)=d,思考題：1、整數(shù)a是偶數(shù)的同余式為( ). 2、整數(shù)a是偶數(shù)但不能被4整除，則其同余式為 ( ) .3、已知a 5(mod6 ) ，則a被3除余( ).4、已知a 3(mod4 ) ，那么2a+1被4除余( ).思考題：例題例1 有一個大于1的整數(shù)，它除300，262，205所得的余數(shù)相同，求這個數(shù)。例2 有兵200余不足300，若1至3報數(shù)，最后一人報數(shù)為2，若1至5報數(shù)，最后一人報數(shù)為2，若1至7報數(shù)，最后一人報數(shù)也為2。

5、問這一隊士兵有多少人？例3 某天是星期一，從這天后第22012天是星期幾？例題例4 分別求3406的個位數(shù)字和72012的末兩位數(shù)字.例5 證明：641 | 225+1 （歐拉證明了費馬數(shù)F5不是素數(shù)）例6 （1）求使2n-1能被7整除的一切正整數(shù)n； （2）證明：沒有正整數(shù)n使2n+1能被7整除.例4 分別求3406的個位數(shù)字和72012的末兩位數(shù)字.自主學(xué)習(xí)特殊數(shù)的整除特征定理 正整數(shù)a能被9整除的特征是 a的數(shù)字和能被 9整除.指出：同理可得到被2（或5）、4（或25）、8（或125）、3（或9）、11等數(shù)整除的特征.試證：（1）正整數(shù)a能被11整除特征是a的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的

6、差能被11整除.（2）正整數(shù)a能被11整除特征是a 的末三位數(shù)與末三位數(shù)之前的數(shù)之差能被11整除.（同理可證7與13也有類似特征）自主學(xué)習(xí)特殊數(shù)的整除特征自主學(xué)習(xí)定理 (棄九法) 若ab=c, 其中a0, b0, 并且, 則: .可見, 若 , 則可判斷乘積ab=c是錯誤的, 這即是棄九法之原則：“棄九余不等，計算有問題”.自主學(xué)習(xí)定理 (棄九法) 若ab=c, 其中a0, b自主學(xué)習(xí)例8 求證 199757113828.證明 由于199719978 (mod 9) 57 57 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9)但是, 83=24, 而245(mod 9), 得證.注意：使用棄九法時，若 也未必肯定原計算是無誤的. 例如,：199757=113829, 但有人計算結(jié)果是113838，由棄九法可得 24 6(mod 9), 顯然, 錯誤未驗證出來.自主學(xué)習(xí)例8 求證 199757113828.費馬數(shù) 當(dāng) 時， 總是素數(shù)嗎？ 這個問題是費馬在1640年給梅森的信中宣布的一個猜想。很容易能證明，前5個費馬數(shù)都是素數(shù)。到了1732年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)下一個費馬數(shù)不是素數(shù)，從而否定了費馬的猜想。費馬數(shù) 當(dāng) 判斷題：1、若ab(mod m), k為自然數(shù)