1、PAGE12空間向量處理距離問題1求點點距離設(shè)，則，即，其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式例1：已知正方體，、分別為和中點且是和的公垂線段求直線與間的距離AADBBDAADBBDCCyMN，直線與間的距離是例2：已知平行六面體，求體對角線長BCABBCABDCAD體對角線長為例3：已知正方形的邊長是，平面外的一點到正方形各頂點的距離都為，、分別是、上的點，且求線段的長ADBCNPOyADBCNPOyM，即，線段的長為異面直線上兩點距離公式其中，是異面直線和的距離，為和所成的角，、分別是異面直線、上的點、到公垂線與、的交點、的距離。如果點或在點或的另一側(cè)時，則公式中取“”號BlA

2、DC例4：如圖，在直二面角，點、，且，且，若，求線段的長BlADC解：2求點線距離已知一條直線上兩點，直線外一點為，則有點與直線的距離，其中向量積有公式此公式亦可記為例5：過的直角頂點作線段垂直于這個三角形所在平面，已知，求點到的距離ACBDACBDy，BDCAPy點BDCAPy例6：如圖，垂直矩形所在平面，且，求點到的距離及的面積解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點坐標(biāo)為，點到的距離為平方單位，的面積為平方單位3求點面距離如圖，為平面任一點，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得nOPAnOPA即點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的

3、向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值例7：已知正方體求點到平面的距離解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點坐標(biāo)為，AADBBDAADBBDCCy，令取平面的一個法向量為，點到平面的距離為例8：如圖，已知正方形的邊長為，、分別是、的中點，平面，且，求點到平面的距離ABGEABGEFDCy，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，點到平面的距離為4求線線距離和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線公垂線和兩條異面直線都相交，公垂線上兩個交點間的部分叫做異面直線的公垂線段例9：已知正方體，棱長為求直線與的距離解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)

4、各點坐標(biāo)為AADBBDCCAADBBDCCy設(shè)點，點，且有，則，此時就是與公垂線段，直線與的距離為求異面直線間的距離也可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計算abnBA如圖，設(shè)兩條異面直線、的公垂線的方向向量為,這時分別在、上任取、兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線、的距離abnBA即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值直線、的距離解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點坐標(biāo)為，設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，取則異面直線與的公垂線的方向向量，直線與的距離為兩條異面直線間的距離公式實質(zhì)與解法二相同：已知兩條異面直

5、線，其中一條上有兩點、，另外一條直線上有另外兩點、則有解法三：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點坐標(biāo)為，直線與的距離為極值法求異面直線間的距離已知、為異面直線，那么在上取一點，作垂直相交于點，設(shè)一變量，把表示為關(guān)于的函數(shù)，的最小值即為異面直線間的距離解法四：AADBBDCCyPFQ取任一點作垂直相交于點，作垂直相交于點，連結(jié)，所以設(shè)，則AADBBDCCyPFQ當(dāng)時，有最小值為，所以直線與的距離為例10：正四面體邊長均為求異面直線與的距離BCADOy解：以在BCADOy，設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，取則異面直線與的公垂線的方向向量，異面直線與的距離為5求線面距離一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫做這條直線到這個平面的距離直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離例11：如圖，四棱錐的底面是菱形，平面，且，是的中點求與平面間的距離解：以為原點，為軸，中邊上高為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則為中點，則相關(guān)各點坐標(biāo)為CADPBEFy，CADPBEFy設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為且，平面，到平面的距離就是到平面的距離，與平面間的距離為6求面面距離和兩個平行平面同時垂直的直線叫做兩個平行平面的公垂線公