第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題；二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念，掌握方差的性質(zhì).2.教學(xué)難點(diǎn)利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問題.三、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入思考：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？通過計(jì)算可得，.因?yàn)閮蓚€(gè)均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.那么如何評(píng)價(jià)呢？評(píng)價(jià)射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.那么如何比較兩名同學(xué)射擊成績(jī)的穩(wěn)定性呢？（二）探索新知樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實(shí)現(xiàn)的.隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢？設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表所示.……考慮所有可能取值與的偏差的平方，，…，.因?yàn)槿∶總€(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度.我們稱為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為，并稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.現(xiàn)在，可以用兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫他們射擊成績(jī)的穩(wěn)定性，由方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為；.因?yàn)椋ǖ葍r(jià)地，），所以隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定.在方差的計(jì)算中，利用下面的結(jié)論經(jīng)?？梢允褂?jì)算簡(jiǎn)化..離散型隨機(jī)變量加上一個(gè)常數(shù)，僅僅使的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變與其均值的離散程度，方差保持不變，即.而離散型隨機(jī)變量乘以一個(gè)常數(shù)，其方差變?yōu)樵讲畹谋?，?一般地，可以證明下面的結(jié)論成立：.例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.解：隨機(jī)變量的分布列為，.因?yàn)?，，所?例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示.表1股票A收益的分布列收益X/元02概率0.10.30.6表2股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為，.因?yàn)?，所以投資股票A的期望收益較大.（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為，.因?yàn)楹拖嗖畈淮?，且，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高.（三）課堂練習(xí)1.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的標(biāo)準(zhǔn)差為()X135P0.40.1xA.3.56 B. C.3.2 D.答案：D解析：易知，解得，

，

，

的標(biāo)準(zhǔn)差為.故選D.2.已知隨機(jī)變量Y，X之間的關(guān)系為，且，則()A.7 B.17 C.28 D.63答案：C解析：，

.故選C.3.有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)趨⒓油恢橇Ω?jìng)賽時(shí)，各自的成績(jī)?yōu)?0分、90分、100分的概率如下表所示：甲分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.20.60.2乙分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.40.20.4則下列說法正確的是()A.甲、乙兩名學(xué)生的成績(jī)不相當(dāng)，且甲的較穩(wěn)定B.甲、乙兩名學(xué)生的成績(jī)不相當(dāng)，且乙的較穩(wěn)定C.甲、乙兩名學(xué)生的成績(jī)相當(dāng)，但甲的較穩(wěn)定D.甲、乙兩名學(xué)生的成績(jī)相當(dāng)，但乙的較穩(wěn)定答案：C解析：，，，，，，甲與乙成績(jī)的均值一樣，甲成績(jī)的方差較小，因此甲、乙兩名學(xué)生的成績(jī)相當(dāng)，但甲的較穩(wěn)定.故選C.4.隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，，則________.答案：1解析：設(shè)，其中，

則，

，

，

解得（舍去），

因此，.5.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPp.

（1）求；（2）若，求.答案：（1）由題意可得，解得.

又，

，

.（2），

.（四）小結(jié)作業(yè)小結(jié)：1.離散型隨機(jī)變量方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念和性質(zhì)；2.利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一