變出精彩激活思維一一三角形角平分線性質與判定例習題教學案例湖北省襄陽市襄城區(qū)第二十五中學陳玲在減負背景下，講究課堂教學的優(yōu)質高效性是師生共同的追求目標?在減負教育新政的課改形勢下，提高課堂教學質量的主陣地勢必落到課堂上來，課堂要高效，教師就要認真?zhèn)湔n，根據(jù)教學內容、學生情況，設計出能最大限度地激發(fā)學生學習興趣、調動學生學習積極性的例習題。例習題教學是數(shù)學教學的重要組成部分，提高例題教學的有效性是提高教學質量的關鍵?通過例題教學，幫助學生理解知識，突出重點，突破難點，形成技能，提煉思想,培養(yǎng)能力，努力促進學生在知識與技能、數(shù)學思維、情感與態(tài)度等方面充分發(fā)展以下筆者將學生在學完三角形角平分線性質與判定后所講的一節(jié)習題課案例呈現(xiàn)如下:一、教學目標（一）知識與技能熟練掌握角的平分線的性質與判定定理；會利用角的平分線的性質與判定進行證明與計算（二）過程與方法在應用角的平分線的性質與判定定理的過程中，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.（三）情感、態(tài)度與價值觀在應用角的平分線的性質與角的平分線的判定定理的過程中，培養(yǎng)學生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗.二、教學重點、難點歸納s比較歸納s比較角的平分線的性匿角的平分踐的到定三、教法學法自主探索，合作交流的學習方式.四、教學過程（一）復習、回顧1角平分線的性質定理：角平分線ODAQ/JA己卻OP半分PD_LOAfDPE-LOB^rePD=PEP-D_LOA-TDPE-LOB^ft尸D■尸EOP半分NAOB上的點到角兩邊的距離相等角平分線的性質定理幾何語言：???OC平分ZBOA,PD丄0A，PE丄0B???PB=PD2角平分線的判定定理：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上角平分線的判定定理幾何語言：VPD丄0A，PE丄0B且PB=PD.??0C平分ZBOA

￡母題：新人教版八上教材P的例題￡如圖，△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PD丄AB于D,PE丄BC于E,PF丄AC于F???BM是AABC的角平分線，點P在BM上,???PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）同理,PE=PF.???PD=PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等變式1如圖所示，已知AABC的角平分線BM,CN相交于點P,那么AP能否平分ZBAC?請說明理由.由此題你能得到一個什么結論？分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質及判定來解答，因此要作出點P到三邊的垂線段.解：AP平分/BAC.結論：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.理由：過點P分別作BC,AC,AB的垂線，垂足分別是E、F、D.?BM是ZABC的角平分線且點P在BM上，???PD=PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）.同理PF=PE，?PD=PF.:.AP平分ZBAC（到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）.E變式2將變式1中的兩內角平分線變成兩外角平分線E如圖，已知△ABC的外角ZCBD和ZBCE的平分線相交于點F,求證：點F在ZDAE的平分線上.證明：過點F作FG丄AE于G,FH丄AD于H,FM丄BC于MFG丄AE，F(xiàn)M丄EC???點FG丄AE，F(xiàn)M丄EC.??FG=FMFH丄AD，F(xiàn)M丄EC又??點FH丄AD，F(xiàn)M丄EC.??FM=FH.\FG=FHA點F在ZDAE的平分線上在學生由相應的思想方法即“作垂線、證相等”的通法解決以上題目后，緊接著出示有關角平分線的夾角問題：1命題如圖1,點D是厶ABC兩個內角平分線的交點，則ZBDC=90°+ZA.證明：如圖1：?2Z1=ZABC,2Z2=ZACB,.??2Z1+2Z2+ZA=18O°①Z1+Z2+ZBDC=180。②①—②得：Z1+Z2+ZA=ZBDC③由②得：Z1+Z2=180°—ZBDC④把③代入④得：.??180°—ZBDC+ZA=ZBDC11ZBDC=90°+戈ZA.點評利用角平分線的定義和三角形的內角和等于180°，不難證明.以下變式在學生獨立思考的基礎上以小組合作互學的方式達成學習目標。然后用多媒體進行展示：[變式1:如圖2,點D是厶ABC兩個外角平分線的交點，則ZD=90°—ZA.證明：如圖2：曲.??ZD=180°—Z1—Z2]=180曲.??ZD=180°—Z1—Z2]=180°—龍(ZDBE+ZDCF)]=180°—2(ZA+Z4+ZA+Z3)]=180°—2(ZA+180°)]=180°—2ZA—90°=90°—2ZA；點評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內角和等于180°，可以證明.變式2:如圖3,點E是厶ABC一個內角平分線與一個外角平分線的交點,則ZE=2ZA.證明：如圖3：?.?Z1=Z2,Z3=Z4,ZA+2Z1=2Z4①Z1+ZE=Z4②①X2代入②得：ZE=^ZA.若若ZBPC=40°，則ZCAP=點評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明變式3如圖4,點E是厶ABC一個內角平分線BE與一個外角平分線CE的交點，證明:AE是厶ABC的外角平分線.證明：如圖3：TBE是ZABC的平分線,可得：EH=EFCE是ZACD的平分線，可得：EG=EF???過點E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.即EF=EG=EH???EG=EH???AE是厶ABC的外角平分線.點評利用角平分線的性質和判定能夠證明.熟悉和掌握以上題目的結論能輕松地解答一些相關的比較復雜的問題，下面來試試看.練習1如圖5，PB和PC是厶ABC的兩條外角平分線.已知ZA=60。，請直接寫出ZP的度數(shù)是.S5X三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于三角形？S5X解析：①由命題1的變式1的結論直接得：ZP=90°—二ZA=90°60°=60°②根據(jù)命題命題1的變式1的結論ZP=90°—空ZA,知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角D形是銳角三角形.點評此題直接運用命題2的結論很簡單.同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.練習2如圖6,在厶ABC中,延長BC到D,ZABC與ZACD的角平分線相較于△點,解析：由命題1的變式2的結論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律Z肚1可以直接得：=32x96°=3°.BC解析：由命題1的變式2的結論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律Z肚1可以直接得：=32x96°=3°.點評此題是要找出規(guī)律的但對要有命題命題1的變式2的結論作為基礎知識.練習3如圖7,4ABC的外角ZACD的平分線CP的內角ZABC平分線BP交于點P，解析:此題直接運用命題1的變式3的結論可以知道人卩是厶ABC的一個外角平分線，結合命題1的變式21的結論知道ZBAC=2ZBPC,CAP=^(180°—ZBAC)=12(180°—2ZBPC)=50°.點評若熟悉命題1的變式1和2的結論解決此題易如反掌，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目.練習4如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,ZACB的平分線與ZABC的外角平分線交與E點，連接AE,則ZAEB=度.解析：由題目和命題1的變式3的結論可以知道AE是厶ABC的1一個外角平分線，結合命題1的變式1的結論知道ZAEB=ZACB—ZACB=90°—2x90°=45°點評從上面的做題過程來看題目中給出的“厶=30?！边@個條件是可以圖不用的.（以上四個練習課堂上未解決完的留作作業(yè)繼續(xù)探究）小結：數(shù)學學習離不開解題，但不能陷入題海，不能讓學生成為解題的機器?對做過的題目要進行反思總結，并站在一定的高度加以審視，從中發(fā)掘題目的精髓，看清問題的本質，對數(shù)學有思有悟，這樣，學生才能從更高的觀點，用更寬的視野，更理性的眼光，去思考解決數(shù)學問題，讓數(shù)學課堂不斷出新出奇出彩，充分挖掘教材的例習題之間的內在聯(lián)系，使之形成習題串，由此及彼，舉一反三，不僅激發(fā)學生探究的激情，也培養(yǎng)了學生的思維能力，真正實現(xiàn)了讓數(shù)學課堂例習題教學真實高效.不足之處的反思教學過程應注重師生互動，學會從學生的角度思考問題，與學生共同交流解題思路，及時發(fā)現(xiàn)學生中的典型錯誤，教師也應在課堂上適時地進行“誘錯”、“示錯”，然后引導學生進行“辨錯”、“識錯”、“明錯”、“改錯”，讓學生從“錯誤”走向“正確”?教師應深深地意識到，“錯誤”與“正確”都是教學上的重要資源.不應對學生產(chǎn)生的錯誤思路進行簡單的否決，而應該將錯就錯，錯中求正，敗中求勝，有效防止類似錯誤的再次發(fā)生，提高