一、旋轉真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.（1）求證：EG=CG-⑵將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45。,如圖②所示，取DF中點G,連接EG,CG.問⑴中的結論是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；⑶將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度,如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）.圖①圖②圖⑤【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中結論沒有發(fā)生變化，即EG=CG.證明：連接AG,過G點作MN丄AD于與EF的延長線交于N點在厶DAG與厶DCG中，???AD=CD,ZADG=ZCDG,DG二DG,???△DAG竺△DCG????AG=CG?在厶DMG與厶FNG中，???ZDGM=ZFGN,FG二DG,ZMDG=ZNFG,???△DMG^△FNG????MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAAMG與RtAENG中，???AM二EN,MG二NG,???△AMG雯△ENG????AG=EG???EG=CG.（3）（1）中的結論仍然成立.囹3【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.（2）結論仍然成立，連接AG,過G點作MN丄AD于M,與EF的延長線交于N點；再證明ZkDAG雯△DCG,得出AG=CG：再證岀△DMG雯△FNG,得到MG=NG；再證明△AMG雯“ENG,得出AG=EG；最后證出CG=EG.（3）結論依然成立.還知道EG丄CG;試題解析：解：（1）證明：在RtAFCD中，???G為DF的中點，/.CG=-FD,2同理，在RtADEF中，EG=?FD,2???CG=EG；（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG：連接AG,過G點作MN丄AD于M,與EF的延長線交于N點，如圖所示：在厶DAG與厶DCG中，TAD二CD,ZADG=ZCDG,DUDC,???△DAG雯△DCG,AG二CG,在厶DMG與厶FNG中，???ZDGM=ZFGN,DG=FG,ZMDG=ZNFG,???△DMG雯△FNG,???MG二NG,在矩形AENM中,AM=EN.,

在RtAAMG與RtAENG中，?/AM=EN,MG二NG,???△AMG妥aENG,???AG二EG,???EG=CG,(3)(1)中的結論仍然成立，即EG=CG且EG丄CG°過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖所示：由于G為FD中點，易證△CDG竺△MFG,得到CD=FM,又因為BE=EF,易證ZEFM=ZEBC,則厶EFM仝△EBC,ZFEM=ZBEC,EM=EC???ZFEC+ZBEC=90°,???ZFEC+ZFEM=90°,即ZMEC=90°,???△MEC是等腰直角三角形，???G為CM中點，/.EG=CG,EG丄CG。【點睛】本題解題關鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質、全等三角形的判定和性質，難度較大。2.如圖I,在AABC中，ZACB=90°,點P為AABC內一點.⑴連接PB,PC,將ABCP沿射線CA方向平移，得到ADAE,點B,C,P的對應點分別為點D、A、E,連接CE.①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果BP丄CE,BP=3,AB=6,求CE的長⑵如圖3,以點A為旋轉中心，將AABP順時針旋轉60。得到AAMN,連接PA、PB、PC,當AC=3,AB=6時,根據此圖求PA+PB+PC的最小值.AAAMlIH3AAAMlIH3【答案】⑴①補圖見解析：②"3；(2)2【解析】①連接PB、PC,將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B、C、P的對應點分別為點D、A、E,連接CE,據此畫圖即可；②連接BD、CD,構造矩形ACBD和RtACDE,根據矩形的對角線相等以及勾股定理進行計算，即可求得CE的長；以點A為旋轉中心，將AABP順時針旋轉60。得到AAMN,連接BN,根據△PAM、△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PUCP+PM+MN,最后根據當C、P、M、N四點共射線，PA+PB+PC的值最小，此時△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題.解：(1)①補全圖形如圖所示；???△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE,???BCIIAD且BC=AD,???ZACB=90\四邊形BCAD是矩形，???CD=AB=6,???BP=3,???DE=BP=3,???BP丄CE,BPIIDE,???DE±CE,/.在RtADCE中，CE=V'CD2-DEZ=腫_9=0=3\/3：(2)證明：如圖所示,A

當C、P、171、N四點共線時，PA+PB+PC最小由旋轉可得,△AMN巽△APB,???PB=MN易得AAPM、△ABN都是等邊三角形，???PA=PM???PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,.??BN=AB=6,ZBNA=60\ZPAM=60°???ZCAN=ZCAB+ZBAN=60°+60°=120\???ZCBN=90°在RtAABC中，易得BC='Jab，-A（?二Q"-3?=3屮:.在RtABCN中，CN=Jb（?+=V27+36=W=3V7"點睛"本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉和平移的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形和全等三角形，依據圖形的性質進行計算求解.3?兩塊等腰直角三角板AABC和△DEC如圖擺放,其中ZACB=ZDCE=90°,F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點.（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數(shù)量關系為和位置關系為:（2）如圖2,若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；（3）如圖3,將圖1中的ADEC繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖3,（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結論，不用證明.【答案】（1）相等，垂直.（2）成立，證明見解析；（3）成立，結論是FH=FG,FH丄FG?【解析】試題分析：（1）證AD=BE,根據三角形的中位線推出FH二;AD,FHIIAD,FG二;BE,22FGIIBE,即可推出答案；（2）證ZkACD旻△BCE,推出AD二BE,根據三角形的中位線定理即町推出答案;（3）連接BE、AD,根據全等推出AD二BE,根據三角形的中位線定理即可推出答案.試題解析：

解:?/CE=CD,AC=BC,ZECA=ZDCB=90\???BE二AD,???F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，11FH=-AD,FHIIAD,FG二一BE,FGIIBE,22???FH=FG,???AD丄BE,???FH丄FG,故答案為相等，垂直.答：成立，證明：TCE二CD,ZECD=ZACD=90%AC=BC,???△ACD雲△BCE???AD二BE,,z11由(1)知：FH=-AD,FHIIAD,FG=-BE,FGIIBE,22/.FH=FG,FH丄FG,???(1)中的猜想還成立.(3)答：成立，結論是FH二FG,FH丄FG.連接AD,BE,兩線交于乙AD交BC于X,同(1〉可證11FH=-AD,FHIIAD,FG二一BE,FGIIBE,22???三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，???CE二CD,AC=BC,ZECD二ZACB二90。，???ZACD=ZBCE,在厶ACD和厶BCE中AC=BC<ZACD=ZBCE,CE=CD???△ACD雲△BCE,AAD=BE,ZEBC=ZDAC,???ZDAC+ZCXA=90\ZCXA=ZDXB,...ZDXB+ZEBC=90°,ZEZA=180°-90°=90°,即AD丄BE,???FHIIAD,FGIIBE,FH丄FG,即FH=FG,FH丄FG,結論是FH=FG,FH丄FG.【點睛】運用了等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質和判定、三角形的中位線定理，旋轉的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.4.如圖1,在RtAADE中，ZDAE=90°,C是邊AE上任意一點(點C與點A、E不重合)，以AC為一直角邊在RtAADE的外部作RtAABC,ZBAC=90%連接BE、CD.在圖1中，若AC=AB.AE=AD,現(xiàn)將圖1中的RtAADE繞著點A順時針旋轉銳角a,得到圖2,那么線段BE.CD之間有怎樣的關系，寫出結論，并說明理由；在圖1中,若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,將圖1中的RtAADE繞著點A順時針旋轉銳角a,得到圖3,連接BD、CE.求證：△ABE-△ACD；計算：BD2+CE2的值.【答案】(1)BE=CD,BE丄CD,理由見角；(2)①證明見解析；②BD2+CE2=170.【解析】【分析】結論：BE=CD,BE丄CD；只要證明△弘型△CAD,即可解決問題；①根據兩邊成比例夾角相等即可證明"BE-△ACD.②由①得到ZAEB=ACDA.再根據等量代換得到ZDGQ90。，即DG丄BE,根據勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2,即可根據勾股定理計算.【詳解】(1)結論：BE=CD,BE丄CD.理由：設BE與AC的交點為點F,BE與CD的交點為點G,如圖2.

AB=AC在△60和厶BAE中，???<ZBAE=ACAD，二△CAD^△BAE,???CD二BE,AE=AD???ZCAD二乙BAE.ZACD二乙ABE.???ZBFA二ZCFG,ZBFA+ZABF=90°9/.ZCFG+ZACD=90\:.ZCGF=90°,/.BE丄CD.（2）①設AE與CD于點F,3E與DC的延長線交于點G,如圖3????ZCABB=ZEAD=90°9ZCAD=ZBAE.AEAD???C4=3,AB=5.AD=6.AE=109/.——=——=2,.??△ABE?△ACD；ABAC②???△ABE-△ACD.???ZAEB=ZCDA????ZAFD二乙EFG.ZAFD^-ACDA=90°9:.ZEFG+ZAEB=90\:.ZDGE=90°,/.DG丄BE,???ZAGD=ABGD=90°9???C￡2=CG2+EG2,BD2=BG2WG\:.BD2+CE2=CG2^EG2-^BG2WG2????CG2+BG2=CB2,EG2+DG2二ED2,???.【點睛】本題是幾何綜合變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉變換、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的綜合運用，運用類比，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關鍵.5.如圖，已RtAABC中，ZACB=90Q,AC=BC,D是線段AB上的一點（不與A、B重合）.過點B作BE丄CD,垂足為E.將線段CE繞點C順時針旋轉90。，得到線段CF,連結EF.設Z8CE度數(shù)為（1）①補全圖形；②試用含G的代數(shù)式表示ZCDA.（2）若竺_=匣，求&的大小.AB2（3）直接寫出線段AB、BE、CF之間的數(shù)量關系.【答案】（1）①答案見解析：②45°+a；（2）a=30。；（3）AB2=2C嚴+2BE2.【解析】試題分析：（1）①按要求作圖即可；②由ZACB=90°,AC=BC,得ZABC=45°,故可得出結論：（2）易證\FCE-MCB,得工連結FA,得ZkAFC是直角三角形，求出AC2ZACF=30\從而得出結論；⑶AB2=2CF2+2BE2.試題解析：（1）①補全圖形.②???ZACB=90°,AC=BC,.??zABC=45°???ZBCE=azCDA=45°+a(2)在MCE和AACB中，Z.CFE=ZCAB=45°,ZFCE=ZACB=90。???AFCE-AACB

CFEF■~AC~~AB..EF'AB~2.CF羽■■AC2連結FA????ZFCA=90°-ZACE,AECB=90°-ZACE???ZFCA=ZECB=O!在RtACM在RtACM中，ZCFA=90°,cosZFCA=???ZFCA=30°即a=30。.（3）AB'=2CF'+2BE‘6.如圖，點p是正方形&BCD內一點，點P到點A,B和D的距離分別為1,2忑,VTo.AADP沿點A旋轉至△ABP\連接PP',并延長AP與BC相交于點Q.（1）求證："PP1是等腰直角三角形；⑵求ZBPQ的大小.【答案】（1）證明見解析：（2）ZBPQ=45°.【解析】【分析】（1）根據旋轉的性質可知,AAPD^APfB,所以AP=AP\ZPAD=ZP'AB,因為ZPAD+ZPAB=90°,所以ZP'AB+ZPAB=90°,即ZPAP=90°,故厶APP'是等腰直角三角形；（2）根據勾股定理逆定理可判斷APAB是直角三角形，再根據平角定義求出結果.【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD為正方形，

AB=AD,ZBAD=90°,???△ADP沿點A旋轉至△ABPf,/.AP=AP\ZPAP=ZDAB=90°,???△APP'是等腰直角三角形；（2）???△APP'是等腰直角三角形，.?-PP=V2PA=72?ZAPP'=45°,???△ADP沿點A旋轉至△ABPf,???PD=P，B=価，在△PP'B中，PP'=J7，PB=2jJ,PfB=710????（>/2）2+（2^2）2=（>/l0）2,PP'2+PB2=PzB2,...△PP'B為直角三角形，ZP'PB=90。，...ZBPQ=180o-ZAPP'-ZP,PB=180o-45°-90°=45°.【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理及逆定理的綜合運用,有一定難度，關鍵是明確旋轉的不變性.7.如圖，正方形ABCD，點M是線段延長線一點，連結AM，AB=a,AM=b?4D（1）將線段AM沿著射線AD運動，使得點A與點D重合，用代數(shù)式表示線段AM打過的平面部分的面積.（2）將三角形繞著點4旋轉，使得與AD重合，點M落在點N,用代數(shù)式表示線段冊掃過的平面部分的面積.（3）將三角形順時針旋轉，使旋轉后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除外），請在如圖中畫出符合條件的3種情況，并寫出相應的旋轉中心和旋轉角13【答案】（1）?。海?）或匚兀b‘；（3）見解析44【解析】【分析】（1）根據平移的性質和平行四邊形的面積計算即可；（2）根據扇形的面積計算即可；（3）根據旋轉的性質畫出圖形得出旋轉中心和角度即可.

【詳解】解：⑴AD^DC=a2答：線段AMti過的平面部分的面積為亍(2)三角形ABM繞著點A旋轉,使得與重合，則三角形旋轉的角度是90?；?70°s扇形皿=藝護或九形皿=s扇形皿=藝護或九形皿=270°x於~~36?-TOC\o"1-5"\h\zI3=一於或一於44I3答：扇形購N的面積為玄於或才於如圖2,旋轉中心：點B,順時針旋轉90如圖2,旋轉中心：點B,順時針旋轉90D如圖3,旋轉中心：正方形對角線交點O,順時針旋轉90【點睛】本題考查了旋轉的性質，關鍵是根據旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角解答.

&己知ZAOB=90。，在ZAOB的平分線0M上有一點C,將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,0B（或它們的反向延長