你哈專題14數(shù)列的綜合應(yīng)用1、【2018年高考江蘇卷】已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的n的最小值為_(kāi)__________．2、【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足求.3、【2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．4、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每個(gè)成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記證明：5、【2018年高考江蘇卷】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．（1）設(shè)，若對(duì)均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對(duì)均成立，并求的取值范圍（用表示）．一、求通項(xiàng)公式的方法1、累加（累乘法）（1）累加法：如果遞推公式形式為：，則可利用累加法求通項(xiàng)公式①等號(hào)右邊為關(guān)于的表達(dá)式，且能夠進(jìn)行求和②的系數(shù)相同，且為作差的形式二、數(shù)列的求和的方法（1）等差數(shù)列求和公式：（2）等比數(shù)列求和公式：（3）錯(cuò)位相減法：通項(xiàng)公式的特點(diǎn)在錯(cuò)位相減法的過(guò)程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過(guò)解題過(guò)程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項(xiàng)的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時(shí)實(shí)現(xiàn)了“錯(cuò)位”的效果。而等差的部分錯(cuò)位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會(huì)到“錯(cuò)位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和（4）裂項(xiàng)相消：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多（5）分組求和如果數(shù)列無(wú)法求出通項(xiàng)公式，或者無(wú)法從通項(xiàng)公式特點(diǎn)入手求和，那么可以考慮觀察數(shù)列中的項(xiàng)，通過(guò)合理的分組進(jìn)行求和（1）利用周期性求和：如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按某個(gè)周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時(shí)可將一個(gè)周期內(nèi)的項(xiàng)歸為一組求和，再統(tǒng)計(jì)前項(xiàng)和中含多少個(gè)周期即可（2）通項(xiàng)公式為分段函數(shù)（或含有，多為奇偶分段。若每段的通項(xiàng)公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項(xiàng)一組，偶數(shù)項(xiàng)一組分別求和，但要注意兩點(diǎn)：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時(shí)會(huì)影響公差公比），二是要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見(jiàn)典型例題）；若每段的通項(xiàng)公式無(wú)法直接求和，則可以考慮相鄰項(xiàng)相加看是否存在規(guī)律，便于求和（3）倒序相加：若數(shù)列中的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和具備規(guī)律，在求和時(shí)可以考慮兩項(xiàng)為一組求和，如果想避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點(diǎn)，三、數(shù)列中的單調(diào)性1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問(wèn)題的入手點(diǎn)2、如何判斷數(shù)列的單調(diào)性：（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個(gè)與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號(hào)問(wèn)題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）3、用數(shù)列的眼光去看待有特征的一列數(shù)：在解數(shù)列題目時(shí)，不要狹隘的認(rèn)為只有題目中的是數(shù)列，實(shí)質(zhì)上只要是有規(guī)律的一排數(shù)，都可以視為數(shù)列，都可以運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)來(lái)進(jìn)行處理。比如：含的表達(dá)式就可以看作是一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；某數(shù)列的前項(xiàng)和也可看做數(shù)列等等。4、對(duì)于某數(shù)列的前項(xiàng)和，在判斷其單調(diào)性時(shí)可以考慮從解析式出發(fā)，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決。也可以考慮相鄰項(xiàng)比較。在相鄰項(xiàng)比較的過(guò)程中可發(fā)現(xiàn)：，所以的增減由所加項(xiàng)的符號(hào)確定。進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為判斷的符號(hào)問(wèn)題四、放縮法證明不等式的技巧1、放縮法證明數(shù)列不等式的理論依據(jù)——不等式的性質(zhì)：（1）傳遞性：若，則（此性質(zhì)為放縮法的基礎(chǔ)，即若要證明，但無(wú)法直接證明，則可尋找一個(gè)中間量，使得，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明即可）（2）若，則，此性質(zhì)可推廣到多項(xiàng)求和：若，則:（3）若需要用到乘法，則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為：若，則，此性質(zhì)也可推廣到多項(xiàng)連乘，但要求涉及的不等式兩側(cè)均為正數(shù)注：這兩條性質(zhì)均要注意條件與結(jié)論的不等號(hào)方向均相同2、放縮的技巧與方法：（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等差數(shù)列求和公式：，（關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）②等比數(shù)列求和公式：，（關(guān)于的指數(shù)類函數(shù)）③錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差等比”的形式④裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：①在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。題型一、數(shù)列中的通項(xiàng)與求和數(shù)列中求通項(xiàng)、求和是最基本，也是最重要的問(wèn)題，在試題的條件中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)含有和Sn與項(xiàng)an的等式，這往往是問(wèn)題的突破口，經(jīng)常會(huì)使用退位(或進(jìn)位)相減的方式，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，如果滿足等差(或等比)數(shù)列的定義那就更好，否則就是常規(guī)遞推關(guān)系問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列解決問(wèn)題的；而數(shù)列求和，則應(yīng)根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇對(duì)應(yīng)的求和方法，其中錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法經(jīng)常考到。例1、(2018揚(yáng)州期末）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，數(shù)列{bn}滿足b1＝eq\f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝eq\f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；(3)是否存在正整數(shù)p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的p，q，r；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型二、數(shù)列中的最值問(wèn)題研究“和式”不等式恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題的基本方法有兩類：第一類是先求和，再研究不等式，此種方法要求“和”要能求；第二類處理方法是直接研究單調(diào)性來(lái)確定最值．例2、(2018無(wú)錫期末）已知等比數(shù)列{an}滿足a2a5＝2a3，且a4，eq\f(5,4)，2a7成等差數(shù)列，則a1·a2·…·an的最大值為_(kāi)_______．例3、(2018蘇州期末）(1)若Sn＋Sn－1＝eq\f(aeq\o\al(2,n)＋2,3)(n∈N*，n≥2)，且a1＝2.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②若Sn≤λ·2n＋1對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．(2)已知數(shù)列{an}是公比為q(q>0，q≠1)的等比數(shù)列，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為10Tn.若存在正整數(shù)k，對(duì)任意n∈N*，使得eq\f(T（k＋1）n,Tkn)為定值，求首項(xiàng)a1的值．題型三、數(shù)列中的不等關(guān)系1、與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：①有些問(wèn)題往往與基本不等式結(jié)合。②在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，2、常見(jiàn)的放縮變形：（1），其中：可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例如：，例4、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則的最大值為．例5、(2019鎮(zhèn)江期末）設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a2a4＝64.數(shù)列{bn}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)分別求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．(2)若不等式λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2b1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2b2)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2bn)))<eq\f(1,\r(2bn＋1))對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．(3)已知k∈N*，對(duì)于數(shù)列{bn}，若在bk與bk＋1之間插入ak個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}．設(shè)數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和為Tm，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例6、(2019宿遷期末）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，對(duì)任意的n∈N*，都有2Sn＝3aeq\o\al(2,n)＋an－2.數(shù)列{bn}各項(xiàng)都是正整數(shù)，b1＝1，b2＝4，且數(shù)列ab1，ab2，ab3，…，abn是等比數(shù)列．(1)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；(3)求滿足eq\f(Sn,bn＋2)<eq\f(1,4)的最小正整數(shù)n.題型四、數(shù)列中的“定義型”問(wèn)題數(shù)列中的新定義數(shù)列問(wèn)題，考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、性質(zhì)的應(yīng)用，解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解新定義數(shù)列的性質(zhì)，其次借助所學(xué)的數(shù)列的研究方法、變形手段以及數(shù)據(jù)的性質(zhì)分析等解決相關(guān)問(wèn)題．考查學(xué)生利用數(shù)列知識(shí)解決數(shù)列綜合問(wèn)題的能力，對(duì)代數(shù)變形與推理論證能力要求較高．例7、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）定義：若有窮數(shù)列a1，a2，…，an同時(shí)滿足下列三個(gè)條件，則稱該數(shù)列為P數(shù)列．①首項(xiàng)a1＝1；②a1<a2<…<an；③對(duì)于該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)ai和aj(1≤i≤j≤n)，其積aiaj或商eq\f(aj,ai)仍是該數(shù)列中的項(xiàng)．(1)問(wèn)等差數(shù)列1，3，5是否為P數(shù)列？(2)若數(shù)列a，b，c，6是P數(shù)列，求b的取值范圍；(3)若n>4，且數(shù)列b1，b2，…，bn是P數(shù)列，求證：數(shù)列b1，b2，…，bn是等比數(shù)列．1、(2018鹽城三模）．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．2、(2018南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a8＝3，則a5的值為_(kāi)_______．3、(2017鎮(zhèn)江期末）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差數(shù)列，則公差d＝________.4、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4，則a8的值為_(kāi)_______．5、(2019無(wú)錫期末）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比數(shù)列，則a10等于________．6、(2017揚(yáng)州期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，則a5＋a6的最小值為_(kāi)_______．7、(2017蘇北四市一模）在數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，an＋1＝eq\f(1,3)an－eq\f(2,3n＋1)，n∈N*，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和．(1)求證：數(shù)列{3nan}是等差數(shù)列；(2)求Sn；(3)是否存在正整數(shù)p，q，r(p＜q＜r)，使Sp，Sq，Sr成等差數(shù)列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，說(shuō)明理由．8、(2019蘇州期初調(diào)查）已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S3＝a4，a5＝a2＋a3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若amam＋1＝am＋2，求正整數(shù)m的值；(3)是否存在正整數(shù)m，使得eq\f(S2m,S2m－1)恰好為數(shù)列{an}中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說(shuō)明理由．9、(2019常州期末）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.(1)求證：{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)按照一定順序重新排列后，構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求滿足條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．10、(2018鎮(zhèn)江期末）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)p，q，r，使得an＝pn－1，Sn＝qn－r恒成立；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且對(duì)任意正整數(shù)n，2Tn＝nbn恒成立．(1)求常數(shù)p，q，r的值；(2)證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(3)若b2＝2，記Pn＝eq\f(2n＋b1,an)＋eq\f(2n＋b2,2an)＋eq\f(2n＋b3,4an)＋…＋eq\f(2n＋bn－1,2n－2an)＋eq\f(2n＋bn,2