PAGE培優(yōu)點05活用抽象函數(shù)模型妙解壓軸題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點解讀 202思維升華 303典型例題 5題型一：一次模型 5題型二：正弦模型 7題型三：余弦模型 9題型四：指數(shù)模型 12題型五：對數(shù)模型 13題型六：二次模型 16題型七：冪模型 18題型八：正切模型 21題型九：其他模型 2204課時精練 26

活用抽象函數(shù)模型解高考壓軸題，是高考數(shù)學中極具挑戰(zhàn)性與區(qū)分度的考查方向。此類題目常位于試卷末尾，定位為高難度綜合題。抽象函數(shù)模型不給出具體解析式，僅通過函數(shù)性質（如單調性、奇偶性、周期性等）或特定運算關系描述，著重考查學生抽象思維、邏輯推理與知識遷移能力?？忌杈珳拾盐蘸瘮?shù)性質，靈活運用賦值法、特殊值法、數(shù)形結合等策略，將抽象問題具象化，突破思維瓶頸，從而在高考中脫穎而出，展現(xiàn)扎實的數(shù)學功底與卓越的解題能力。

抽象函數(shù)主要研究賦值求值、證明函數(shù)的性質、解不等式等,一般通過代入特殊值求值、通過的變換判定單調性、出現(xiàn)及判定抽象函數(shù)的奇偶性、換x為確定周期性.1、判斷抽象函數(shù)單調性的方法①若給出的是“和型”抽象函數(shù)f(x+y)=…,判斷符號時要變形為或；②若給出的是“積型”抽象函數(shù),判斷符號時要變形為或.2、常見的抽象函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型（2）二次函數(shù)模型（3）冪函數(shù)模型或（4）指數(shù)函數(shù)模型或且)（5）對數(shù)函數(shù)模型或或且)（6）正切函數(shù)模型（7）正弦函數(shù)模型（8）余弦函數(shù)模型或（9）雙曲函數(shù)模型或

題型一：一次模型【例1】已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)滿足．且，當時，，則下列結論不正確的是（）A． B． C．為增函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)滿足，令，可得，即有，故A正確；由，可得，，即，可得，故B錯誤；令，則，即，則函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確；令，可得即，當時，，即，設，即，即有，則在上遞增，故C正確．故選：B．【變式1-1】已知函數(shù)的定義域為，對任意的，若對任意的，有，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，有，得令，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由可知，當，，即，所以單調遞減，不等式，所以，解得：.故選：A【變式1-2】（2025·高三·山東濟寧·期中）已知函數(shù)的定義域為，滿足，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【解析】因為，所以令，可得，令，則，所以，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，且，所以是奇函數(shù).故選：C【變式1-3】（2025·甘肅慶陽·一模）已知函數(shù)的定義域為R，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．是奇函數(shù)C． D．的圖象關于點對稱【答案】D【解析】取，則，即，得，故A正確；取，則，得，故是奇函數(shù)，B正確；對任意的都有，可得，因此的圖象關于點對稱，故D錯誤；由于且是奇函數(shù)，得，即，因此，C正確.故選：D【變式1-4】已知函數(shù)的定義域為，，則（

）A． B． C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【解析】對于A，令，則，得，所以或，當時，不恒成立，所以，所以A錯誤，對于B，令，則，得，所以，或，由選項A可知，所以，所以B錯誤，對于CD，令，則，由選項A可知，所以，所以，令，則，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，所以C錯誤，D正確，故選：D題型二：正弦模型【例2】（2025·遼寧·一模）對任意，都有，且不恒為0，函數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】令，可得，所以，令，可得，因為不恒為0，所以，所以是奇函數(shù)，因為，所以.故選：B.【變式2-1】已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．【答案】B【解析】令，則，解得，故A正確；令，則，即，因為不恒為0，所以，且定義域為，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；令，則，因為不恒為0，且，所以只能，從而，周期為4，顯然，故B錯誤D正確.故選：B【變式2-2】已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，，則下列正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是周期函數(shù)C．當時， D．當時，【答案】D【解析】對于A，令，則，得，令，得，由整理可得，由題干可知不恒為0，故，即，故是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，A錯誤；對于B，設，則，則，且，故，則，又，是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，由是增函數(shù)可得不是周期函數(shù)，故B錯誤；對于C，時，，，，，C錯誤；對于D，時，，，，D正確.故選：D.【變式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，且有，令，得，解得；令，得，則，而，即不恒為0，因此，函數(shù)為奇函數(shù)，由為偶函數(shù)，得，則，于是，，8為的一個周期，由，得，即，因此，所以.故選：B題型三：余弦模型【例3】已知函數(shù)滿足：，對任意實數(shù)都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得，即，所以，兩式相加可得，所以，則，可得，所以的周期為6，由，得，令，則，即恒成立，則，由，得，所以，且，由，得，則，從而，∴.故選：B【變式3-1】已知函數(shù)的定義域為R且則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】令得，，又，所以①，①中將替換為，得②，由①+②，得③，③中將替換為，得，③中將替換為，得，所以的周期為6，令，得.由①，易得，同理，所以，.故選：A【變式3-2】若，且，則（

）A．-2 B．-1 C． D．0【答案】A【解析】令，，得，得，令，，又，故，即，故得到周期，令，，即，故是偶函數(shù)，又，，所以得到圖象關于對稱，所以，，，，所以.故選：A【變式3-3】已知函數(shù)的定義域為，，且，則（

）A．1 B． C．2024 D．【答案】B【解析】令，，則，因為，所以，令，則，則，則，所以以6為周期，令，得，所以，則．故選：B．題型四：指數(shù)模型【例4】已知函數(shù)滿足：，，則的值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由,,令,得,所以,令可得所以.故選:C.【變式4-1】如果函數(shù)對任意滿足,且,則A．505 B．1010 C．2020 D．4040【答案】C【解析】函數(shù)對任意，滿足，且，，．故選．【變式4-2】如果函數(shù)對任意，滿足，且，則A．504 B．1009 C．2018 D．4036【答案】C【解析】根據(jù)以及，找到規(guī)律，由此求得所求表達式的值.由于函數(shù)對任意，滿足，且，令，則；令，則，；以此類推，可知，所以.故選：C題型五：對數(shù)模型【例5】已知集合，定義在上的函數(shù)滿足：，，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，得，故，令，得，故，令，得，即，令，則定義域為，且，故為偶函數(shù).，且，則，∵，∴，∵時，，∴，故，∴，即，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由得，，即，∴，解得且，故不等式的解集為.故選：D.【變式5-1】已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，，依次類推可得。故選：C【變式5-2】（多選題）（2025·福建福州·模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足,且當x>1時，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意，，.賦值，得；賦值，得，即，當時，，當時，則，所以，即；所以，A正確，取，則，，顯然不成立，B錯，賦值，得，解得，即；由，，得，其中由，可知，當時，，即；當時，，即；故C錯誤；，得；又，所以，則，故，且不恒為，故D正確.故選：AD.題型六：二次模型【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，則當時，，則，當時，上式也成立，所以，所以.故選：C.【變式6-1】（2025·山東濟南·三模）已知函數(shù)的定義域為R，且，則下列結論一定成立的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．有最小值 D．在上單調遞增【答案】C【解析】由于函數(shù)的定義域為R，且，令，則，得，時，恒成立，無法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數(shù)，B不確定；由于的對稱軸為與的位置關系不確定，故在上不一定單調遞增，D也不確定，由于表示開口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，故選：C【變式6-2】（2025·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．方程有解C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【解析】對于A，因為函數(shù)的定義域為，且滿足，取，得，則，取，得，則，故錯誤；對于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無解，故B錯誤.對于CD，由知，所以是偶函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，錯誤.故選：C.題型七：冪模型【例7】（多選題）已知函數(shù)的定義域為，若，則以下一定成立的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上是增函數(shù)【答案】AC【解析】對于A，令，可得，所以，故A正確；對于B，當時，顯然符合題設條件，此時，不一定有，故B錯誤.對于C，令，，所以，令，時可得，所以為奇函數(shù)，故C正確；對于D，當時，顯然符合題設條件，此時在上不具備單調性，故D錯誤.故選：AC.【變式7-1】（多選題）已知函數(shù)的定義域為，且，則下列選項正確的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABC【解析】對于A選項，令，則，即，A正確；對于B選項，令，則，令，則，則，故.B正確；對于C選項，是奇函數(shù)，C正確；對于D選項，是非奇非偶函數(shù)，D不正確.故選：ABC.【變式7-2】（多選題）已知函數(shù)的定義域為，對任意的實數(shù)，滿足，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C．為上的減函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】AD【解析】依題意，且，令，得，故A選項正確.令，則，即，故B選項錯誤由于，故C選項錯誤.令，得，即，即，所以為奇函數(shù)，故D選項正確.故選：AD【變式7-3】（多選題）已知函數(shù)的定義域是，對任意的實數(shù)、滿足，且，當時，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．函數(shù)為上的增函數(shù) D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A選項，對任意的實數(shù)、滿足，令可得，解得，A對；對于B選項，令，可得，即，解得，再令可得，B錯；對于D選項，令，由可得，即，且，令，則，即，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，D對；對于C選項，由題意可知，當時，，當時，，即時，，故當時，，任取、且，則，即函數(shù)在上為增函數(shù)，C對.故選：ACD.【變式7-4】（多選題）（2025·高三·山西運城·期末）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．函數(shù)是上的增函數(shù) D．【答案】ABD【解析】對于A，令，則，所以，即A正確；對于B，由得，令，則有，令，則有即，所以是奇函數(shù)，即B正確；對于C，根據(jù)選項B可知，令為一次函數(shù)，可得，函數(shù)不一定是R上的增函數(shù)，即C錯誤；對于D，由，令，則有，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，即D正確.故選：ABD題型八：正切模型【例8】定義在的函數(shù)，當時，若，，，則P，Q，R的大小為A． B． C． D．【答案】D【解析】取，則，所以，，令x=0,則-f(y)=f(-y),故函數(shù)在(-1,1)上是奇函數(shù)，當-1<x<0時，f(x)<0,則當0<x<1時，f(x)>0,所以P>R,Q>R,由，得：=所以所以所以．故選D．【變式8-1】已知函數(shù)定義在區(qū)間上，，且當x，時，恒有，又數(shù)列滿足，，設，對于任意的，的最小自然數(shù)m的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】令時，則由已知有，可得再令，，則有，即，是上的奇函數(shù).令，，于是，由已知得，，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.，，，又任意的，，，即，故自然數(shù)m的最小值為5.故選：C.題型九：其他模型【例9】（2025·甘肅·模擬預測）已知偶函數(shù)滿足：，且，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由，用代換，可得，聯(lián)立方程組，可得，即，又由函數(shù)為偶函數(shù)，且，可得與同號，所以，可得函數(shù)是周期為的函數(shù)，因為，與同號，則，令，可得，所以，則.故選：C.【變式9-1】（多選題）（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數(shù)對任意實數(shù)a，b都有，且，則（

）A． B．C． D．若x為正整數(shù)，則【答案】ABD【解析】令，得，因為，所以，故A對；令得，令得，故B對；由得，所以函數(shù)是周期為8的函數(shù)，又，所以，所以，所以，又，函數(shù)是周期為8的函數(shù)，如，則，故C錯；若x為正整數(shù)，則，所以，故D對；故選：ABD【變式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）設為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對任意的整數(shù)x，y均有，則（

）A．0 B．1012 C．2024 D．4048【答案】B【解析】令，則，∴．令，則，又，．令，則，∴函數(shù)的圖象關于直線對稱．令，則，∴∴的圖象關于點對稱．∴，∴是周期的函數(shù)．又，，，，∴當為偶數(shù)時，．當為偶數(shù)時，也為偶數(shù)，此時；當為奇數(shù)時，令，，則．．故選：B．【變式9-3】已知函數(shù)滿足：對，都有，且，則以下選項錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，令，則，令，則，所以，因為，所以，令，則，故A正確；對于B，結合選項A可得，所以或，若，則，所以，此時與矛盾，舍去；若，則，解得，因為，所以，故B錯誤；對于C，令則，因為，，所以，所以為偶函數(shù)，令，則，所以，令，則，即，故C正確；對于D，由為偶函數(shù)，得，則，則，所以，故D正確.故選：B.

1．已知函數(shù)滿足，，，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由題，，，令，可得，則，即，即，所以，函數(shù)是周期為12的周期函數(shù)，則.故選：C.2．（2025·甘肅定西·模擬預測）若定義在上的函數(shù)滿足對任意均有，則稱為“函數(shù)”.已知為“函數(shù)”，且，，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】令，則，所以；令，則，所以的圖象關于直線對稱；令，則，因為不恒成立，所以恒成立，所以為奇函數(shù)，所以，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，令，則，解得，又為奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.3．已知定義域為的函數(shù)滿足：，，且，則（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．，【答案】D【解析】對A，令，則，由，則，即，所以，故A錯誤；對B，令，則，因為，所以，解得，故B錯誤；對于C，令，則，又，所以，則，當時，，不滿足奇函數(shù)的定義，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；對D，由C選項知，，即，所以，，故D正確.故選：D4．已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為增函數(shù)【答案】C【解析】令，則，則，故A錯誤；令，則，則，故B錯誤；令，則，所以為偶函數(shù)，故C正確；由，，可知不是增函數(shù)，D錯誤.故選：C5．已知函數(shù)的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y，都有.若，則（

）A． B．-1 C． D．0【答案】D【解析】對任意實數(shù)x，y，都有，，取，得，即，解得，取，得，即，解得，任意，則，因此，取，得，則，，所以.故選：D6．已知函數(shù)的定義域為，，則（

）A． B．函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則 D．函數(shù)在單調遞減【答案】B【解析】對于A，令，可得，解得，故A錯誤；對于B，令，可得，又，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，得，則是周期函數(shù)，周期為2，所以，故C錯誤；對于D，令，，且，則，即，而時，與2大小不定，故D錯誤.故選：B.7．已知函數(shù)的定義域為，且，若，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是減函數(shù)【答案】C【解析】對于A，令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；對于C，令，則有，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，有，即，則函數(shù)是減函數(shù)，故D正確；對于B，由，令，有，故B正確．故選：C.8．已知函數(shù)的定義域為，若，則下列選項不正確的有（

）A． B．C．函數(shù)是增函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】在中，令，則，因為，所以．令，則，所以，故A對．令，則，則，所以，故B對．是減函數(shù)，故C錯．，所以是奇函數(shù)，故D對．故選：C．9．（2025·山西·一模）已知函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，若，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【解析】令，則，故，A選項錯誤；令，則，故，B選項錯誤；令，則，故為偶函數(shù)，C選項正確；因為為偶函數(shù)，又函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，D選項錯誤.故選：C10．（多選題）（2025·四川成都·三模）已知函數(shù)，對任意，均有，且為的導函數(shù)，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】ABD【解析】令，得，解得，故A正確；令，得，所以，即為奇函數(shù)，故B正確；令，得.因為，所以，所以，所以的周期是4，所以，所以，故C錯誤；對兩邊求導，得，所以的周期為4.對兩邊求導，，所以.對于中關于求導，可得，令，可得，令，可得.又因為，所以，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11．（多選題）若定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù)D．若，則不等式的解集為【答案】AB【解析】對A，令，得，A正確；對B，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，B正確；對C，在R上任取，則，所以,又，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，C錯誤；由，得．由得．因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得或．故原不等式的解集為或，D錯誤．故選:AB．12．（多選題）已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)滿足，且，當時，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．為減函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】AD【解析】對A，令可得，，解得，A正確；對B，令可得，，再令可得，，解得，B錯誤；對C，因為，，所以,C錯誤；對D，令，則，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，D正確；故選:AD.13．（多選題）已知函數(shù)的定義域為，對任意，總有，且當時，，則（

）A．B．C．為奇函數(shù)D．函數(shù)在上單調遞增【答案】ACD【解析】對任意，總有，對于A，令，得，解得，A正確；對于B，令，得，解得，B錯誤；對于C，，，為奇函數(shù)，C正確；對于D，令，則，當時，，對，恒有，即，，則，，，因此函數(shù)在上單調遞增，D正確.故選：ACD14．（多選題）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A．B．C．方程有唯一的實數(shù)解D．函數(shù)有最小值【答案】ABD【解析】令，得.因為，所以，即，A正確.令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因為為增函數(shù)，且，所以，B正確.所以等價于.設，因為，所以在上必有一個零點，又，所以的零點不唯一，從而方程的實數(shù)解不唯一，C錯誤.因為，所以函數(shù)有最小值，D正確.故選：ABD.15．（多選題）已知函數(shù)的定義域為，對任意，均滿足，且，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．8是的一個周期C．的圖象關于點對稱D．【答案】BCD【解析】對于A，令，得，則，令，得，函數(shù)為偶函數(shù)，則，因此函數(shù)為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，令，，于是，函數(shù)周期為4，則8也為函數(shù)的一個周期，B正確；對于C，由選項B知，函數(shù)的圖象關于對稱，又周期為4，，因此的圖象關于點對稱，C正確；對于D，由，得，所以，D正確.故選：BCD.16．（多選題）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A．B．C．方程有唯一的實數(shù)解D．函數(shù)有極大值【答案】AB【解析】對于A，令，得.因為，所以，即，A正確；對于B，令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因為為增函數(shù)，且，所以，故B正確；對于C，由B項可知，等價于.設，因為，所以在上必至少有一個零點，又，所以的零點不唯一，從而方程的實數(shù)解不唯一，故C錯誤；對于D，因，故函數(shù)只有極小值，沒有極大值，故D錯誤.故選：AB.17．（多選題）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且當時，，則（

）A．B．為偶函數(shù)C．D．若，則或【答案】BCD【解析】對選項A，令，則，所以，再令，則，所以，所以選項A錯誤；對選項B，定義在上的函數(shù)，定義域關于原點對稱，令，則，所以，所以，所以是偶函數(shù)，所以選項B正確；對選項C，設，則，因為當時，，所以，由，知，所以，所以，所以在上單調遞增，因為，所以，所以選項C正確；選項D，由選項B分析可知是偶函數(shù)，由選項C知在上單調遞增，所以在上單調遞減，又，若，則，解得且，所以選項D正確．故選：BCD．18．（多選題）（2025·高三·江蘇南京·開學考試）已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】對于A，令，則有，即，令，則有，所以，所以函數(shù)不關于中心對稱，故A錯誤B正確；對于C，令，則有,即，則,，故C正確；對于D，令，則有,即，則，即，又，令,，則有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為1，所以，即，則，故D錯誤．故選：BC．19．（多選題）（2025·山西陽泉·三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A．是奇函數(shù) B．在上單調遞減C．是偶函數(shù) D．在在上單調遞增【答案】AB【解析】定義在上的函數(shù)滿足，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，因為，且定義域關于原點對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由反比例函數(shù)的單調性可得函數(shù)在和上單調遞減.故選：AB.20．（多選題）設函數(shù)的定義域為，且滿足，當時，，則下列說法一定正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．不是奇函數(shù)C．函數(shù)有10個不同的零點D．【答案】AC【解析】，且關于直線對稱；又，且關于中心對稱；，則是周期為8的周期函數(shù)；對于，令，則為偶函數(shù)，正確；對于，令，則為奇函數(shù)，不正確；對于，作出和的圖象如下圖所示，當時，，又，由圖象可知：與共有10個不同的交點，則有10個不同的零點，正確；對于，錯誤.故選：AC21．（多選題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，滿足，且，當時，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為增函數(shù)【答案】ABC【解析】對于選項A，令，得，故選項A正確；對于選項B，令，，得，故選項B正確；對于選項C，令，得，故，所以為奇函數(shù)，故選項C正確；對于選項D，因為，所以不是增函數(shù)，故選項D錯誤；故選：ABC．22．（多選題）（2025·甘肅白銀·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A．B．C．D．函數(shù)的值域為【答案】AC【解析】令，得，解得或.若，令，得，則，此時，而，顯然不恒成立.若，同理得，代入恒等式中驗證有恒成立，故，A正確，B錯誤.易知是偶函數(shù)，且在上單調遞增.因為，且等號不能同時成立，所以，則，則，C正確.，易得的值域為，D錯誤.故選：AC23．（多選題）（2025·海南·三模）已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則下列說法正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C． D．若，則【答案】ABD【解析】對于A，令可得：，所以，正確；對于B，令，可得：，令可得：，即，所以，即是奇函數(shù)，正確；對于C：令，可得，由B可得：，所以，C錯誤；對于D，令，可得：，所以所以，，,累加可得：所以，化簡可得：，當時，代入可得滿足，所以，則，故選：ABD24．（多選題）（2025·高三·江蘇南通·期末）若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導函數(shù)，對任意的，均滿足：，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】令，得，即，故A正確；因為，則，又因為，是定義在上不恒為零的可導函數(shù)，所以可設，因為，所以，即，則，所以，則，故B錯誤；令，所以，所以，所以，所以，則，所以，，，，累加得：，所以選項C正確；因為，所以，，，，累加得：，即，設，則，所以，即，所以，，，，累加得，所以，即所以，故D正確.故選：ACD.25．（多選題）（2025·江西鷹潭·二模）若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導函數(shù)，對任意的均滿足：，，記，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．【答案】ACD【解析】令，得，即，故A正確；對于選項B：令，可得，解得，令，，可得，所以的圖象不是偶函數(shù)，故B錯誤；令，所以，所以，所以，所以，則，所以，，，累加得：，所以選項C正確；對于選項D，，又，所以，設，則，所以，所以即，故D正確．故選：ACD．26．（多選題）（2025·重慶·三模）函數(shù)是定義在上不恒為零的可導函數(shù)，對任意的x，均滿足：，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，得，代入，得，當為正整數(shù)時，，所以，所以，代入，得，所以，又當時，也符合題意，所以.當不為正整數(shù)時，經驗證也滿足，故為任意實數(shù)時，都有.所以，故A正確；，故B正確；所以，，故C不正確；所以，令，則，所以，所以，所以，故D正確.故選：ABD27．（多選題）（2025·高三·江蘇蘇州·開學考試）已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．若，則【答案】ACD【解析】因為，所以令，得，故A正確；令，得，所以，令，得，所以，故B錯誤；令，得，又，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；令，得，又，，所以，故D正確；故選：ACD.28．（多選題）已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．是偶函數(shù)C．若，則D．若當時，，則在單調遞減【答案】ACD【解析】A：令，可得，對；B：令，則，由在上的不恒為零，故不恒成立，錯；C：令，則，則，令，則，對；D：若，則，即，取，則，顯然，即，所以，即，故在單調遞減，對.故選：ACD29．（多選題）（2025·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，且，，，則下列說法中正確的是（）A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，因為的定義域為，且，令，則，故，則，令，則，又令,結合得，所以不是偶函數(shù)，故A錯誤．對于B，令，則．而，，所以，故B正確．對于C，由選項B可知，，令，則，所以．又因為為奇函數(shù)，所以，所以，故C正確．對于D，由選項B以及，可得，所以，，令得,結合遞推可得，．因為，故，故D錯誤．故選：BC30．（多選題）（2025·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為R，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【答案】BD【解析】令，則.另令，則，由，所以不成立，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；令，，則，故B正確；令，，則，又，所以，故C錯；令得.且，，.所以；；所以，又，，所以；所以；所以所以，故D正確.故選：BD31．（多選題）定義在上的函數(shù)滿足，且當時，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上單調遞增 D．【答案】ABC【解析】對于A，令，可得，即，故A正確；對于B，令，可得，且定義域為，故B正確；對于C，令，則，，所以，所以，且當時，所