PAGE11-第四章機(jī)械能及其守恒定律5.機(jī)械能守恒定律【課標(biāo)定向】1.理解機(jī)械能守恒定律,體會(huì)守恒觀念對(duì)認(rèn)識(shí)物理規(guī)律的重要性。2.能用機(jī)械能守恒定律分析生產(chǎn)生活中的有關(guān)問(wèn)題?！舅仞B(yǎng)導(dǎo)引】1.知道什么是機(jī)械能,理解機(jī)械能守恒定律的內(nèi)容及條件。 (物理觀念)2.會(huì)根據(jù)機(jī)械能守恒的條件判斷機(jī)械能是否守恒,并能運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決有關(guān)問(wèn)題。 (科學(xué)思維)一、動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化1.機(jī)械能的形式:重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能都是機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的能量形式,統(tǒng)稱(chēng)為機(jī)械能。2.表達(dá)式:E=Ek+Ep。3.轉(zhuǎn)化的方式:通過(guò)重力或彈力做功,機(jī)械能可以從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。4.標(biāo)矢性:機(jī)械能是狀態(tài)量,是標(biāo)量(選填“標(biāo)量”或“矢量”)。[思考]跳水運(yùn)動(dòng)員從跳板上彈起的過(guò)程中,跳板的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化成什么能量?提示:動(dòng)能。二、機(jī)械能守恒定律1.內(nèi)容:在只有重力或彈力做功的系統(tǒng)內(nèi),動(dòng)能和勢(shì)能會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化,而總機(jī)械能保持不變。2.表達(dá)式:(1)mgh2+12mv22=mgh1+1(2)Ek2+Ep2=Ek1+Ep1。(3)E2=E1。3.條件:物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功。[思考]如圖所示,運(yùn)動(dòng)員雙手緊握鏈條的一端,另一端拴一重球,繞一豎直軸做圓周運(yùn)動(dòng)。在轉(zhuǎn)速不斷增大的過(guò)程中,某時(shí)刻突然松手后鏈球飛出。不計(jì)空氣阻力,鏈球飛出后,在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,鏈球的機(jī)械能是否守恒?提示:守恒。一支可伸縮的圓珠筆,內(nèi)有一根彈簧,尾部有一個(gè)小帽,壓一下小帽,筆尖就伸出。如圖所示,手握筆桿,使筆尖向上,小帽抵在桌面上,在壓下后突然放手,筆桿將豎直向上跳起一定的高度。判斷以下問(wèn)題:1.圓珠筆彈起過(guò)程中,彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為圓珠筆的動(dòng)能。 (√)2.圓珠筆下落過(guò)程中,其動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。 (×)3.圓珠筆下落過(guò)程中,忽略空氣阻力,其機(jī)械能不守恒。 (×)一、機(jī)械能守恒條件的理解與判斷用細(xì)繩把鐵鎖吊在高處,并把鐵鎖拉到鼻子尖前由靜止釋放,保持頭的位置不動(dòng)。[交流討論]鐵鎖返回時(shí),會(huì)打到鼻子嗎?請(qǐng)解釋原因。提示:不會(huì)打到鼻子。聯(lián)想伽利略的理想斜面實(shí)驗(yàn),若沒(méi)有阻力,鐵鎖剛好能回到初位置,遵循機(jī)械能守恒定律。若存在阻力,機(jī)械能損失,鐵鎖速度為零時(shí)的高度低于開(kāi)始下落時(shí)的高度,鐵鎖一定不能到達(dá)鼻子的位置。1.研究對(duì)象:(1)當(dāng)只有重力做功時(shí),可取一個(gè)物體(其實(shí)是物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng))作為研究對(duì)象。(2)當(dāng)物體之間的彈力做功時(shí),必須將這幾個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象(使這些彈力成為系統(tǒng)內(nèi)力)。2.守恒條件理解:(1)從能量轉(zhuǎn)化分析,系統(tǒng)內(nèi)部只發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化,系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞,機(jī)械能也沒(méi)有轉(zhuǎn)化成其他形式的能,則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(2)從做功條件分析,機(jī)械能守恒的條件是只有重力或彈力做功?？蓮囊韵聨追N情形理解:①只受重力作用:如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運(yùn)動(dòng)(自由落體、豎直上拋、平拋、斜拋等)。②系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈力作用,如圖甲、乙、丙所示。圖甲中,小球在擺動(dòng)過(guò)程中線的拉力不做功,如不計(jì)空氣阻力則只有重力做功,小球的機(jī)械能守恒。圖乙中,各接觸面光滑,A自B上端自由下滑的過(guò)程中,只有重力和A、B間的彈力做功,A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但對(duì)A來(lái)說(shuō),B對(duì)A的彈力做負(fù)功,這個(gè)力對(duì)A來(lái)說(shuō)是外力,A的機(jī)械能不守恒。圖丙中,不計(jì)空氣阻力,球在下落過(guò)程中,只有重力和彈力做功,球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但對(duì)球來(lái)說(shuō),機(jī)械能不守恒,這一點(diǎn)需要特別注意。③受其他力,但其他力不做功,只有重力或彈力做功,例如:物體沿光滑的曲面下滑,受重力、曲面的支持力的作用,但曲面的支持力對(duì)物體不做功。④有系統(tǒng)的內(nèi)力做功,但是做功代數(shù)和為零。如圖所示,拉力對(duì)A、對(duì)B做功不為零,但代數(shù)和為零,A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。【典例1】(多選)下列選項(xiàng)中物體m機(jī)械能守恒的是(均不計(jì)空氣阻力) ()【解析】選C、D。物塊沿固定斜面勻速下滑,在斜面上物塊受力平衡,重力沿斜面向下的分力與摩擦力平衡,摩擦力做負(fù)功,機(jī)械能減少,A錯(cuò)誤;物塊在力F作用下沿固定光滑斜面上滑時(shí),力F做正功,機(jī)械能增加,B錯(cuò)誤;小球沿光滑半圓形固定軌道下滑時(shí),只有重力做功,小球機(jī)械能守恒;用細(xì)線拴住小球繞O點(diǎn)來(lái)回?cái)[動(dòng),只有重力做功,小球機(jī)械能守恒,選項(xiàng)C、D正確。[規(guī)律方法]判斷機(jī)械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于單個(gè)物體)(2)能量分析法(常用于多個(gè)物體組成的系統(tǒng))如圖所示,一輕彈簧固定于O點(diǎn),另一端系一重物,將重物從與懸點(diǎn)O在同一水平面且彈簧保持原長(zhǎng)的A點(diǎn)無(wú)初速度地釋放,讓它自由擺下,不計(jì)空氣阻力。在重物由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是 ()A.重物的機(jī)械能守恒B.重物的機(jī)械能增加C.重物的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和不變D.重物與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒【解析】選D。重物由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過(guò)程中,彈簧被拉長(zhǎng),彈簧的彈力對(duì)重物做了負(fù)功,所以重物的機(jī)械能減少,轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能,故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;此過(guò)程中,由于只有重力和彈簧的彈力做功,所以重物與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,即重物減少的重力勢(shì)能,等于重物獲得的動(dòng)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D正確。【拔高訓(xùn)練】在如圖所示的物理過(guò)程示意圖中,甲圖為一端固定有小球的輕桿,從右偏上30°角的位置釋放后小球繞光滑支點(diǎn)擺動(dòng);乙圖為末端固定有A、B兩小球的輕質(zhì)直角架,釋放后繞通過(guò)直角頂點(diǎn)的固定軸O無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng);丙圖為置于光滑水平面上的A、B兩小車(chē),B靜止,A獲得一向右的初速度后向右運(yùn)動(dòng),某時(shí)刻連接兩車(chē)的細(xì)繩繃緊,然后帶動(dòng)B車(chē)運(yùn)動(dòng);丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車(chē),把用細(xì)繩懸掛的小球從圖示位置釋放,小球開(kāi)始擺動(dòng)。則關(guān)于這幾個(gè)物理過(guò)程(空氣阻力忽略不計(jì)),下列判斷正確的是 ()A.甲圖中小球機(jī)械能守恒B.乙圖中小球A的機(jī)械能守恒C.丙圖中兩車(chē)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D.丁圖中小球的機(jī)械能守恒【解析】選A。甲圖中輕桿對(duì)小球不做功,小球的機(jī)械能守恒;乙圖中A、B兩球通過(guò)桿相互影響(例如開(kāi)始時(shí)A球帶動(dòng)B球轉(zhuǎn)動(dòng)),輕桿對(duì)A的彈力不沿桿的方向,會(huì)對(duì)小球做功,所以每個(gè)小球的機(jī)械能不守恒,但把兩個(gè)小球作為一個(gè)系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有能量傳遞,系統(tǒng)內(nèi)部也沒(méi)有能量損耗,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒;丙圖中細(xì)繩繃緊的過(guò)程雖然只有彈力作為內(nèi)力做功,但彈力突變有內(nèi)能轉(zhuǎn)化,機(jī)械能不守恒;丁圖中細(xì)繩也會(huì)拉動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng),取地面為參考系,小球的運(yùn)動(dòng)軌跡不是圓弧,細(xì)繩會(huì)對(duì)小球做功,小球的機(jī)械能不守恒,把小球和小車(chē)當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng),機(jī)械能才守恒。故選A。二、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用如圖,質(zhì)量為m的小球從光滑曲面上滑下。當(dāng)它到達(dá)高度為h1的位置A時(shí),速度的大小為v1,滑到高度為h2的位置B時(shí),速度的大小為v2。在由高度h1滑到高度h2的過(guò)程中(不計(jì)空氣阻力):[交流討論]小球下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒嗎?若守恒,列出表達(dá)式。提示:機(jī)械能守恒,表達(dá)式為mgh1+12mv12=mgh2+11.機(jī)械能守恒定律的表達(dá)形式理解角度表達(dá)式物理意義從不同狀態(tài)看Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能從轉(zhuǎn)化角度看Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp過(guò)程中動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減少量從轉(zhuǎn)移角度看EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí),A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能2.三種表達(dá)式的比較【典例2】如圖所示,質(zhì)量m=2kg的小球用長(zhǎng)L=1.05m的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在距水平地面高H=6.05m的O點(diǎn)?，F(xiàn)將細(xì)繩拉至水平狀態(tài),自A點(diǎn)無(wú)初速度釋放小球,運(yùn)動(dòng)至懸點(diǎn)O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩恰好斷裂(斷裂瞬間小球無(wú)能量損失),接著小球做平拋運(yùn)動(dòng),落至水平地面上C點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力,重力加速度g取10m/s2。求:(1)細(xì)繩能承受的最大拉力。(2)細(xì)繩斷裂后小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。(3)小球落地前瞬間速度的大小?！窘馕觥?1)根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgL=12mv由牛頓第二定律得:F-mg=mvB故最大拉力F=3mg=60N。(2)細(xì)繩斷裂后,小球做平拋運(yùn)動(dòng),且H-L=12gt2解得t=1s。(3)整個(gè)過(guò)程,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgH=12mv解得vC=11m/s。答案:(1)60N(2)1s(3)11m/s[規(guī)律方法]用機(jī)械能守恒定律解題的基本思路(2022·眉山高一檢測(cè))中國(guó)代表團(tuán)年齡最小選手全紅嬋在東京奧運(yùn)會(huì)女子10米跳臺(tái)奪金。若全紅嬋質(zhì)量為m=40kg,站在h=10m的高臺(tái)上做跳水表演,跳離跳臺(tái)時(shí)的速度v0=5m/s,忽略其身高的影響,不計(jì)空氣阻力,取水面所在平面為零勢(shì)能面,g取10m/s2,求:(1)全紅嬋跳離跳臺(tái)時(shí)機(jī)械能E的大小;(2)全紅嬋落水時(shí)的速度v的大小?！窘馕觥?1)由機(jī)械能的定義式可得E=mgh+12mv解得E=4500J故全紅嬋跳離跳臺(tái)時(shí)機(jī)械能的大小為4500J。(2)對(duì)全紅嬋,從跳離跳臺(tái)到落水過(guò)程中,由機(jī)械能守恒定律得mgh+12mv02=1解得v=15m/s,故全紅嬋落水時(shí)的速度大小為15m/s。答案:(1)4500J(2)15m/s【拔高訓(xùn)練】如圖所示,AB是傾角θ為45°的直軌道,CD是半徑R=0.4m的圓弧軌道,它們通過(guò)一段曲面BC平滑相接,整個(gè)軌道處于豎直平面內(nèi)且處處光滑。一個(gè)質(zhì)量m=1kg的物體(可以看作質(zhì)點(diǎn))從高H的地方由靜止釋放,結(jié)果它從圓弧最高點(diǎn)D點(diǎn)飛出,垂直斜面擊中P點(diǎn)。已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高,g取10m/s2。求:(1)物體擊中P點(diǎn)前瞬間的速度大小;(2)在C點(diǎn)物體對(duì)軌道的壓力大小;(3)物體靜止釋放時(shí)的高度H。【解析】(1)物體從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn),做平拋運(yùn)動(dòng),在豎直方向上滿(mǎn)足vy2=2求得vy=22m/s物體擊中P點(diǎn)的速度v=vycos(2)物體在D點(diǎn)的速度為平拋運(yùn)動(dòng)的水平速度vD=vytanθ=22m/s根據(jù)機(jī)械能守恒定律12mvC2=mg·2R+由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得N-mg=m解得支持力N=70N,所以在C點(diǎn)物體對(duì)軌道的壓力大小為70N。(3)由A點(diǎn)到D點(diǎn),物體的機(jī)械能守恒,故mgH=12mvD2+解得H=1.2m。答案:(1)4m/s(2)70N(3)1.2m【拓展例題】考查內(nèi)容:多物體的機(jī)械能守恒【典例】如圖所示,質(zhì)量均為m的物體A和B,通過(guò)輕繩跨過(guò)定滑輪相連。斜面光滑,傾角為θ,不計(jì)繩子和滑輪之間的摩擦。開(kāi)始時(shí)A物體離地的高度為h,B物體位于斜面的底端,用手托住A物體,使A、B兩物體均靜止。現(xiàn)將手撤去。(1)求A物體將要落地時(shí)的速度為多大?(2)A物體落地后,B物體由于慣性將繼續(xù)沿斜面向上運(yùn)動(dòng),則B物體在斜面上到達(dá)的最高點(diǎn)離地的高度為多大?【解析】(1)撤去手后,A、B兩物體同時(shí)運(yùn)動(dòng),并且速率相等,由于兩物體構(gòu)成的系統(tǒng)只有重力做功,故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)A物體將要落地時(shí)的速度大小為v,由機(jī)械能守恒定律得mgh-mghsinθ=12(m+m)v2,解得v=gh(2)A物體落地后,B物體由于慣性將繼續(xù)沿斜面向上運(yùn)動(dòng),此時(shí)繩子對(duì)其沒(méi)有拉力,對(duì)B物體而言,只有重力做功,故機(jī)械能守恒。設(shè)其到達(dá)的最高點(diǎn)離地高度為H,由機(jī)械能守恒定律得12mv2=mg(H-hsinθ),解得H=h答案:(1)gh(1-(體育情境)20世紀(jì)50年代末60年代初由沖浪運(yùn)動(dòng)演變而成的滑板運(yùn)動(dòng),如今非常流行。探究:如圖所示,abcde為同一豎直平面內(nèi)依次平滑連接的滑行軌道,其中bcd是一段半徑R=2.5m的圓弧軌道,O點(diǎn)為圓心,c點(diǎn)為圓弧的最低點(diǎn)?；暹\(yùn)動(dòng)員腳踩滑板從高H=3m處由靜止出發(fā),沿軌道自由滑下①。運(yùn)動(dòng)員連同滑板可視為質(zhì)點(diǎn),其總質(zhì)量m=60kg。忽略摩擦阻力和空氣阻力,取g=10m/s2,求運(yùn)動(dòng)員滑經(jīng)c點(diǎn)時(shí)②軌道對(duì)滑板的支