圓板切割問題

背景內(nèi)容

你正受聘向一家制造企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)理提供合理方案。生產(chǎn)工序一部分是從1米×1米鋼板上切割圓板。用圓板沖床從每塊鋼板上壓切16塊直徑為0.25米小圓板，問你是否能重新安排切割方案以降低損耗呢？從相同鋼板上切割出直徑為0.1米圓板時，降低浪費最正確方案又是什么呢？能否組成一個數(shù)學公式用于計算從給定尺寸鋼板上切半徑為r圓板最大數(shù)量呢？1第1頁

提出問題已知圓板、鋼板尺寸，求最有效切割方案和一塊鋼板能切出圓板最大數(shù)量。

建立模型

列出相關(guān)原因如表6.1。

對象類型符號單位鋼板長度輸入?yún)?shù)L米鋼板寬度輸入?yún)?shù)b米圓板半徑輸入?yún)?shù)r米圓板數(shù)量輸出變量N整數(shù)損耗輸出變量W%2第2頁假設(shè):1．假設(shè)沖床能高精度地光滑切割，可讓圓與圓彼此相切。

2．每個圓之間接觸形式（除掉鄰近鋼板邊緣圓）為：

（1）與四個圓相切（“四點相切”或“方形排列”）；

（2）與六個圓相切（“六點相切”或“三角形排列”）。

3第3頁求數(shù)學解最簡單形式如圖6.1所表示展現(xiàn)四點接觸方形排列，如前所述，有

和N=16；

損耗為

4第4頁對于這種切割方式，考慮參數(shù)值改變。

5第5頁所以圓盤總數(shù)為

損耗

現(xiàn)對L，b和r普通取值，討論可能出現(xiàn)六點相切情形。

6第6頁

按橫行形式考慮由圖6.3易見，

當b是r奇數(shù)倍（即），那么直到b增加到足以再容納一個圓盤前，每行包含個圓板。

當b增大時，各行交替為和個，直到增大到使每行都包含個圓盤為止。

7第7頁看圖6.3所表示垂直邊可見，

在每行有n個圓板情況下，8第8頁所以在各行交替有n+1個n和個圓板情況下，

當x為偶數(shù)時，長行（每行有n+1個圓板）個數(shù)是

當x為奇數(shù)時是

于是

x為偶數(shù)，總數(shù)為x為奇數(shù)，則

9第9頁結(jié)論總結(jié)以下：各種情況下，10第10頁模型說明不能說哪種方法更佳，對參數(shù)值改變，兩種方法都可能更有效。應(yīng)注意對參數(shù)兩個整數(shù)值，N值可能不變但損耗會改變。

對，r=0.05情況，引用上面六點相切式方法得所以用各行所含圓盤數(shù)不等情況（）下公式得

四點相切式顯然為100個，所以要次一些。

11第11頁

思索：

1．數(shù)量105還能增加嗎？若用相等行和不等行混合方案，可求出各行圓板個數(shù)為10，9，10，9，10，9，10，9，10，10，10，總數(shù)為106個呢！這種混合策略值得考慮。

2．四點相切式無須為方形排列，采取一個錯開形式如圖6.4所表示，研究一下這種形式效率。

3．把模型擴展為在同一塊鋼板上切兩種不一樣尺寸圓板情況，在什么條件下小圓板能嵌在大圓板縫隙之間呢？12第12頁銷售新種子1問題‘開拓’種子股份有限企業(yè)已經(jīng)培育出一個新品種作物，而且計劃于1985年首次出售其種子。即使在早期種子量不足，但企業(yè)希望最終成為貨源充分大銷售商。于是，企業(yè)每年生產(chǎn)出種子中有一部分要留作再生產(chǎn)用。在企業(yè)發(fā)展最初階段必須考慮：保留較大份額種子用作再生產(chǎn)，僅出售小部分還是只保留小部分而影響下一步再生產(chǎn)。要研究問題是：以取得最大利潤為目標，建立種子保留量與出售量之間不一樣分配百分比經(jīng)濟關(guān)系。

13第13頁2教學注解

在問題中提出對銷售來說要以最大利潤為目標，也能夠有其它提法。比如，企業(yè)可設(shè)定關(guān)于種子需求目標，要求在盡可能短時間內(nèi)到達這一目標。

此問題要求學生具備相當于大學入學資格高水準數(shù)學知識，并不需要生物學或經(jīng)濟學方面專門知識。

3用公式來表示這一模型處理這類問題一個有效技巧是首先列出與建立公式相關(guān)一些特征。下面列出13項是可能提出眾多特征中一部分，但對于處理所提問題差不多已夠了。

14第14頁

1．特征表（a）從播種到作物結(jié)籽，生產(chǎn)出種子時間;

(b)每株作物種子產(chǎn)量;（c）作物是否是雜交品種;

（d）在不好生長季節(jié)，有效產(chǎn)量是多少;（e）種子成本;

（f）土地價格，比如稅與租金;

（g）市場對種子需求;

（h）種子出售部分與留作播種部分之比;（i）土地使用量;（j）管理費用，比如肥料、暖氣等;

15第15頁（k）銷售價格;（l）物價上漲原因;（m）這類作物在市場上能暢銷多久？.為降低建立模型復(fù)雜性，我們要對上述這些特征作一些假定。

2．假定下面每條假定后面括號內(nèi)英文字母表示這條假定是對這些字母表示特征而言。

（1）作物是一年生植物，春天播種，秋天收割，不是雜交品種，每株作物（從一粒種子得到）可生產(chǎn)出r粒種子。（）；

（2）生長季節(jié)連續(xù)多年都不壞，因而r可看作常量（）；

16第16頁（3）為進行生產(chǎn)僅培育和試驗了少許種子，因而培育成本（即種子最初成本）能夠忽略不計（）；

（4）土地使用量不受限制，單位重量種子生產(chǎn)成本與售價都是常數(shù)（這一假定似乎與物價漲落事實有矛盾，但我們假定在我們考查期間內(nèi)利潤是常量，因而成本提升能夠用提升售價來抵消）；每單位重量種子生產(chǎn)成本及售價分別為￡c、s()；

（5）在m年內(nèi)對種子有一個恒定需求量，它大于種子生產(chǎn)量，m年后，因為改良種子出現(xiàn)，需求量將降低（）；（6）在一個生長季節(jié)內(nèi)生產(chǎn)出來種子全部用光（用于出售及下一年再生產(chǎn)），種子在第n+1年播種量是第n年收獲量a倍(h)。

17第17頁對上面假定我們不作解釋。把這些假設(shè)用于結(jié)構(gòu)模型，那末它們必影響由該模型得出解。

3．一個簡單模型目標是研究不一樣銷售策略（即分配百分比），以獲取最大利潤。我們僅考慮前m年內(nèi)利潤，因為今后需求量開始下降。

考慮每年播種量在前一年收獲量中占份額是固定這種策略，

于是a取為常量。

假設(shè)第n年種子播種，

所以第一年播種量是P1（P表示重量單位），

第n年末收獲量是(假定1，2)。

因為種子播種是上一年收獲量a倍，

18第18頁于是第n+1年種子播種量

而出售量則是，

第n年利潤

到第m年年底總利潤

19第19頁故而到m年年底總利潤￡T由下式給出于是問題就是選取a，以使T為最大。

4．上述模型兩個結(jié)論

A：當種子供給量遠低于需求量時，就要增加留作再生產(chǎn)用種子量，以使得以后幾年中有更多種子可供出售。

20第20頁按此它給出

（當r>1與a<1，收獲量就大于播種量）。

種子播種量恰到好處，

即企業(yè)每年售量都相同，滿足需求，這是平衡狀態(tài)。

當最初種子量不能滿足需求時，有幾年就要提升留作再生產(chǎn)用份額，這就要21第21頁然而，當在某年需求被滿足了，那末以后幾年中我們要取使得不會產(chǎn)生有賣不出去種子。當今我們假定這段時期內(nèi)供給量均不能滿足需要，所以。

B：每年利潤應(yīng)該是正，于是第n年利潤￡Yn

它給出

不等式（6.2-1）與（6.2-2）給出了a界，即

22第22頁4

a一些解

我們選取r,s與c某適當值，再對不一樣m值（從第一年到需求量開始下降這一年之間年數(shù)）來求使T為最大值a值，并記這個值為此模型適合用于各種作物，但對于不一樣作物，r,s與c值是不一樣。

比如對馬鈴薯r大致是10，冬小麥r大約是20，而卷心菜r能夠是幾百。

下面我們對r與不一樣數(shù)值對來找，當然求方法很多，不限于此法。

對某個品種馬鈴薯，我們假定r=8,(為何假定)，記，有23第23頁24第24頁表6.2表示了對不一樣m值所求得值。

表6.22345670.250.390.450.500.520.53我們用m=6來作解釋。m=6，即在6年期限內(nèi)使利潤最大經(jīng)營策略是：

企業(yè)應(yīng)該把每年收獲量52%用作下一年播種用，這么總利潤是￡1377(鎊)。

25第25頁再考慮這6年土地使用量。

對a=0.52，每年種子播種量由表6.3查出，表中數(shù)值是由算得。年123456種子播種量當?shù)?年馬鈴薯種子量是1噸，那末第6年就要播種1246噸馬鈴薯種子。每英畝土地大致可種1噸，于是企業(yè)需要1200英畝以上土地。

26第26頁在英國，農(nóng)場平均規(guī)模大致是260英畝。所以企業(yè)需要用相當5個農(nóng)場土地來種馬鈴薯。在這個解中，土地使用面積幾乎每年都是前一年四倍，這分明是一個不足之處。

我們能夠用下面方法來修正上面經(jīng)營策略；

對用于播種土地面積限制為A英畝，這么所需種子量就是A（噸），即企業(yè)每年只要留下A噸種子作播種用。這是一個穩(wěn)定狀態(tài)，在這個穩(wěn)定狀態(tài)中值就從最優(yōu)值減小成。

比如，取A=300P1，由表2知在第5年取這個值，那末在第5年可生產(chǎn)出馬鈴薯種子2400P1。

27第27頁保留其中300P1噸作第6年播